1.理解圓周角的概念，會(huì)敘述并證明圓周角定理.2.理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運(yùn)用圓周角定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.理解掌握?qǐng)A周角定理的推論及其證明過程和運(yùn)用.（難點(diǎn)）
問題1 什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？
頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角, ∠BOC.
問題2 如圖，∠BAC的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)?
∠BAC的頂點(diǎn)在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點(diǎn).
思考： 圖中過球門A、C兩點(diǎn)畫圓，球員射中球門的難易程度與他所處的位置B、D、E有關(guān)（張開的角度大?。?、僅從數(shù)學(xué)的角度考慮，球員應(yīng)選擇從哪一點(diǎn)的位置射門更有利？
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
（兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，缺一不可）
判一判：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡(jiǎn)述理由.
如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.
圓心O 在∠BAC的 內(nèi)部
圓心O在∠BAC的一邊上
圓心O在∠BAC的外部
圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圓心O在∠BAC的內(nèi)部
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧它所對(duì)的圓心角的一半；
問題1 如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點(diǎn)A ,D 是上任意兩點(diǎn)，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請(qǐng)說明理由.
(2)若CD是直徑，你能求出∠A的度數(shù)嗎？
同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.
試一試：1.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在☉O上，點(diǎn)A與點(diǎn)D在點(diǎn)B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35o.
(1)∠BOC= o，理由是 ;(2)∠BDC= o，理由是 .
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
(1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= .
2.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，AC、BD為四邊形ABCD的對(duì)角線.
如圖，線段AB是☉O的直徑，點(diǎn)C是 ☉O上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B外），那么，∠ABC就是直徑AB所對(duì)的圓周角，想一想，∠ACB會(huì)是怎樣的角？
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圓周角和直徑的關(guān)系： 半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°.
例1 如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.
解：∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°.
例2 如圖，分別求出圖中∠x的大小.
解：(1)∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠x=60°.
∵同弧所對(duì)圓周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例3：如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（1）求DC的長(zhǎng)；
（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B, 求AB、BC的長(zhǎng)．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直徑, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故選C.
方法總結(jié)：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．
例4 如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度數(shù).
解:連接BC,則∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
如果一個(gè)多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.
如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.
猜想：∠A與∠C, ∠B與∠D之間的關(guān)系為：
∠A+ ∠C=180o，∠B+ ∠D=180o
想一想：如何證明你的猜想呢？
∵ 弧BCD和弧BAD所對(duì)的圓心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
推論：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
∠BCD＋∠DCE＝180°.
圖中∠A與∠DCE的大小有何關(guān)系？
推論：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.
1．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C= ，∠D= .2．⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，則∠D= .
例5：如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求證：∠FGD＝∠ADC.
證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.
方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)．
如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故選A.
解：設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別對(duì)于2x，3x，6x，
例6 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比是2︰3︰6.求這個(gè)四邊形各角的度數(shù).
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°.
1.判斷（1）同一個(gè)圓中等弧所對(duì)的圓周角相等 （ ）（2）相等的弦所對(duì)的圓周角也相等 （ ）（3）同弦所對(duì)的圓周角相等 （ ）
2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 則∠AOB= ．
3.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點(diǎn)E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為（ ） A.30° B.40° C.50° D.60°
【規(guī)律方法】解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理.
4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果∠BOD=130°,則∠BCD的度數(shù)是（ ） A 115° B 130° C 65° D 50°5.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P是AB上的一點(diǎn)，則∠APB= .
6.如圖，已知圓心角∠AOB=100°,則圓周角∠ACB= ，∠ADB= .
7.如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，則⊙O的半徑是 .
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等邊三角形
∴OA=OB=AB=2，即半徑為2.
∴∠ACB=2∠BAC
8. 如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC. 求證：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
9.船在航行過程中，船長(zhǎng)通過測(cè)定角數(shù)來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，∠α與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？
解：當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外） ，與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”.
∵AB是圓的直徑，點(diǎn)D在圓上，
∵AB=AC， ∴BD=CD.
∵AD平分頂角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)弧相等）.
解:BD=CD.理由是:連接AD,
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角所對(duì)的弧相等.
1.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；2.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
1.頂點(diǎn)在圓上，2.兩邊都與圓相交的角（二者必須同時(shí)具備）
半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°（直角）.

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