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24.1.4 圓周角(第二課時)
人教版數(shù)學九年級上冊
學習目標1）掌握圓周角定理推論。2）理解圓內(nèi)接四邊形定義及性質(zhì)。重點掌握圓周角定理推論。難點1）利用圓周角定理推論進行計算。2）利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)進行計算。
圓周角概念：
圓周角定理：
頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
在同圓或等圓中，同弧所對應(yīng)的圓周角有什么關(guān)系？
同弧所對的圓周角相等．
?
在同圓或等圓中，兩條弧相等，則他們所對應(yīng)的圓周角有什么關(guān)系？
?
等弧所對的圓周角相等．
∴∠BDC=∠CAE
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等
.
典例1 如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，則∠B等于（　　）A．30° B．35° C．40° D．50°
【解析】解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；∵∠A=20°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD-∠A=50°；∴∠B=∠C=50°；故選D．
變式1-1 如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數(shù)為（　　）A．15° B．25° C．30° D．50°
?
變式1-2 如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，弧AB=弧BC,若∠AOB=58°，則∠BDC=____度
如圖，AB為⊙O的直徑，它所對的圓周角是多少？
AB為⊙O的直徑，改變C點的位置，它所對的圓周角度數(shù)會改變嗎？
不變
90°
如圖，圓周角∠C=90°，連接AB，弦AB經(jīng)過圓心嗎？為什么？
∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°∴弦AB過圓心。
推論2：直徑(或半圓)所對的圓周角是直角； 90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓。
典例2 如圖，AB是⊙O的直徑，∠A=35°，則∠ABC=______.
55°
變式2-1 如圖，AB為⊙O直徑，CD為⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度數(shù)為_______．?
【詳解】解:∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°．∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
65°
變式2-2 如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為 6 cm，?ACB 的平分線交⊙O 于點 D，求 BC，AD，BD 的長．
解：連接 OD. ∵　AB 是⊙O 的直徑，∴　?ACB=?ADB=90°．在 Rt△ABC 中，∵　CD 平分?ACB，∴　?ACD=?BCD， ∴　?AOD=?BOD ．∴　AD=BD．在 Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2 ，　　
10
6
變式2-3 如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，則∠BCD等于（?。〢．116° B．32° C．58° D．64°
【解析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，繼而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．故選B．
變式2-4 如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是圓上兩點，連接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。〢．55° B．45° C．35° D．25°
變式2-5．如圖，在⊙A中，已知弦BC=8 DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，則⊙A的半徑長為（　?。〢．10 B．6 C．5 D．8
?
變式2-6 有一個圓形模具，現(xiàn)在只有一個直角三角板，請你找出它的圓心，你現(xiàn)在能解決嗎？
O
如果一個四邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個是四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個圓叫做這個四邊形的外接圓。例：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓。
圓內(nèi)接四邊形的四個角之間有什么關(guān)系？
情況一圓心在內(nèi)接四邊形對角線上
情況二圓心不在內(nèi)接四邊形對角線上
O
圓內(nèi)接四邊形的四個角之間有什么關(guān)系？
情況一圓心在內(nèi)接四邊形對角線上
證明：∵BD是⊙O的直徑 ∴∠C=90°，∠A=90° 則∠A與∠C互補，而四邊形內(nèi)角和為360° 可知∠ABC與∠ADC互補
O
圓內(nèi)接四邊形的四個角之間有什么關(guān)系？
情況二圓心不在內(nèi)接四邊形對角線上
O
A
D
C
B
O
A
D
C
B
?
?
?
?
變式3-2 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度數(shù)．
?
圓周角的定義：
頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角.
圓周角定理及其推論：
定理:
推論
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
①同弧或等弧所對的圓周角相等。
②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓內(nèi)接四邊形：
圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角和為360°,并且四邊形的對角互補.
圓周角