1. 理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理；2. 理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運用圓周角定理解 決簡單的幾何問題；（重點、難點）3. 理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用. （難點）
問題1 什么是圓心角？
頂點在圓心的角叫圓心角.
問題2 圓心角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)是什么關(guān)系？
圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，這時A、B、C三點都在圓上. 思考：∠ACB有什么特點？
像這樣，頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有另一個公共點的角叫做圓周角.
判斷：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角，并簡述理由.
如圖，連接BO，CO，得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?
　?。?）在圓上任取BC，畫出圓心角∠BOC 和圓周角∠BAC，圓心角與圓周角有幾種位置關(guān)系？
（2）如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
證明：如圖，連接 AO 并延長交⊙O 于點 D∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
證明：如圖，連接 AO 并延長交⊙O 于點 D∵∠BAC=∠DAC-∠DAB
定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半
例1 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝50°，則∠A等于( ) A．40° B．50° C．60° D．70°
1．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點，∠AOC＝130°，則∠D等于 (　　)
A．25° B．30°C．35° D．50°
解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°. 故選A.
問題1 如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A ，D 是圓上任意兩點，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由.
∴∠BAC=∠BDC.
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等.
∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= .
如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，AC、BD為四邊形ABCD的對角線， 完成下列填空：
思考：如圖，AC是⊙O的直徑，
則∠ADC = ， ∠ABC= .
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.
例2 如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度數(shù).
解：連接BC，如圖，則∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD =90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.
方法總結(jié)：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．
例3 如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.(1) 求DC的長；
解：∵AC是⊙O的直徑，
∴ ∠ADC=90°.
(2) 若∠ADC的平分線交⊙O于B，求AB、BC的長．
解：∵ AC是⊙O的直徑，∴ ∠ABC=90°.∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB ，∠BAC=∠BDC .∴ ∠BAC=∠ACB,∴ AB=BC，∴△ABC為等腰直角三角形.
方法總結(jié)：解答圓周角有關(guān)問題時，若題中出現(xiàn)“直徑”這個條件，一般考慮構(gòu)造直角三角形來求解.
1．如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠A＝30°，則∠B的度數(shù)為(　　) A．15°　　　 B．30°　　　 C．45°　　　 D．60°
2．如圖，已知經(jīng)過原點的⊙P與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C是劣弧OB上一點，則∠ACB等于(　　)A．80° B．90° C．100° D．無法確定
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.
如圖，四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形.
猜想：∠A 與∠C，∠B 與∠D 之間的關(guān)系為：
∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
想一想： 如何證明你的猜想呢？
∵ ∠A 所對的圓心角是∠β，∠C 所對的圓心角是∠α，∴
同理，
性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.
1. 四邊形 ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形，且∠A = 110°， ∠B = 80°，則∠C = ° ，∠D = °.2. ⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，則∠D = °.
例4 如圖，AB 為⊙O 的直徑，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求證：∠FGD＝∠ADC.
證明：∵ 四邊形 ACDG 內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵ AB 為⊙O 的直徑，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD.∴ AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∴∠FGD＝∠ADC.

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24.1.4 圓周角

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