22.1__二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)__


22．1.1 二次函數(shù) [見(jiàn)B本P12]





1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( C )


A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1


C．y＝x2＋2 D．y＝x－2


2．二次函數(shù)y＝3x2－2x－4的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是( B )


A．1 B．－1 C．7 D．－6


3．自由落體公式h＝eq \f(1,2)gt2(g為常量)中，h與t之間的關(guān)系是( C )


A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù)


C．二次函數(shù) D．以上答案都不對(duì)


4．已知二次函數(shù)y＝3(x－2)2＋1，當(dāng)x＝3時(shí)，y的值為( A )


A．4 B．－4 C．3 D．－3


5．如圖22－1－1所示，在直徑為20 cm的圓形鐵片中，挖去了四個(gè)半徑都為x cm的圓，剩余部分的面積為y cm2，則y與x間的函數(shù)關(guān)系式為( C )





圖22－1－1


A．y＝400π－4πx2


B．y＝100π－2πx2


C．y＝100π－4πx2


D．y＝200π－2πx2


【解析】 S剩余＝S大圓－4S小圓＝π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,2)))eq \s\up12(2)－4πx2＝100π－4πx2，故選C.


6．二次函數(shù)y＝2x(x－3)的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和為( D )


A．2 B．－2 C．－1 D．－4


【解析】 y＝2x(x－3)＝2x2－6x，所以二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和＝2＋(－6)＝－4，故選D.


7．下列函數(shù)關(guān)系式，可以看作二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( D )


A．圓的周長(zhǎng)與圓的半徑之間的關(guān)系


B．我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%，我國(guó)人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系


C．在一定距離內(nèi)，汽車行駛速度與行駛時(shí)間的關(guān)系


D．正方體的表面積與棱長(zhǎng)的關(guān)系


【解析】 A中，圓的周長(zhǎng)C與圓的半徑r是一次函數(shù)C＝2πr；B中，若我國(guó)原有人口為a，x年后人口數(shù)為y＝a(1＋1%)x也不屬于二次函數(shù)；C中距離一定，速度與時(shí)間為反比例函數(shù)；只有D中表面積S與棱長(zhǎng)a的關(guān)系為S＝6a2，符合二次函數(shù)關(guān)系式．


8．二次函數(shù)y＝ax2中，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝8，則a＝__8__．


【解析】 將x＝－1，y＝8代入y＝ax2中，解得a＝8.





圖22－1－2


9．如圖22－1－2所示，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為x cm的正方形，高為6 cm，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示這個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖的面積S＝__24x__，長(zhǎng)方體的體積為V＝__6x2__，各邊長(zhǎng)的和L＝__8x＋24__，在上面的三個(gè)函數(shù)中，__V＝6x2__是關(guān)于x的二次函數(shù)．


【解析】 長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖的面積S＝4x×6＝24x；長(zhǎng)方體的體積為V＝x2×6＝6x2；各邊長(zhǎng)的和L＝4x×2＋6×4＝8x＋24，其中，V＝6x2是關(guān)于x的二次函數(shù)．


10．若y＝xm是關(guān)于x的二次函數(shù)，則(eq \r(m＋2 011))2＝__2__013__．


【解析】 由y＝xm是關(guān)于x的二次函數(shù)，得m＝2，所以(eq \r(m＋2 011))2＝(eq \r(2 013))2＝2 013.


11．已知函數(shù)y＝(a＋2)x2＋x－3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則常數(shù)a的取值范圍是__a≠－2__．


【解析】 ∵二次函數(shù)中，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，∴a＋2≠0，即a≠－2.


12．已知函數(shù)y＝(k2－4)x2＋(k＋2)x＋3，


(1)當(dāng)k__≠±2__時(shí)，它是二次函數(shù)；


(2)當(dāng)k__＝2__時(shí)，它是一次函數(shù)．


【解析】 根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)定義求解．


(1)k2－4≠0，即k≠±2時(shí)，它是二次函數(shù)．


(2)∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2－4＝0，,k＋2≠0，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝±2，,k≠－2.)) ∴k＝2.


13．把8米長(zhǎng)的鋼筋，焊成一個(gè)如圖22－1－3所示的框架，使其下部為矩形，上部為半圓形．請(qǐng)你寫(xiě)出鋼筋所焊成框架的面積y(平方米)與半圓的半徑x(米)之間的函數(shù)關(guān)系式．





圖22－1－3


解：半圓面積：eq \f(1,2)πx2，


矩形面積：2x×eq \f(1,2)×(8－2x－πx)


＝8x－(2＋π)x2，


∴y＝eq \f(1,2)πx2＋8x－(2＋π)x2，


即y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋2))x2＋8x.





14．若y＝(m－1)xm2＋1＋mx＋3是二次函數(shù)，則m的值是( B )


A．1 B．－1 C．±1 D．2


【解析】 根據(jù)題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋1＝2，,m－1≠0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝±1，,m≠1，))∴m＝－1，故選B.


15．如果函數(shù)y＝(m－3)xm2－3m＋2＋mx＋1是二次函數(shù)，求m.


解：依題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－3m＋2＝2，,m－3≠0，))解得m＝0.


16．如圖22－1－4，已知等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為20 cm，AC與MN在同一條直線上，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合，讓△ABC以2 cm/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，求(1)重疊部分的面積y (cm2)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍．(2)當(dāng)t＝1，t＝2時(shí)，重疊部分的面積．





圖22－1－4


解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，


∴重疊部分也是等腰直角三角形，


又∵AN＝2t，


∴AM＝MN－AN＝20－2t，


∴MH＝AM＝20－2t，


∴重疊部分的面積為y＝eq \f(1,2)(20－2t)2＝2t2－40t＋200.


所以自變量的取值范圍為0≤t≤10.


(2)當(dāng)t＝1時(shí)，y＝162(cm2)


當(dāng)t＝2時(shí)，y＝128(cm2)．


17．如圖22－1－5，小亮家去年建了一個(gè)周長(zhǎng)為80 m的矩形養(yǎng)魚(yú)池．


(1)如果設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x m，那么另一邊的長(zhǎng)為_(kāi)_______m；


(2)如果設(shè)矩形的面積為y m2，那么用x表示y的表達(dá)式為y＝________，化簡(jiǎn)后為y＝________；


(3)根據(jù)上面得到的表達(dá)式填寫(xiě)下表：


(4)請(qǐng)指出上表中邊長(zhǎng)x為何值時(shí)，矩形的面積y最大．





圖22－1－5


【解析】 S矩形＝長(zhǎng)×寬，(1)另一邊長(zhǎng)為eq \f(1,2)(80－2x)＝(40－x)m.


解：(1)40－x.


(2)x(40－x)，－x2＋40x.


(3)175，300，375，400，375，300，175.


(4)當(dāng)x＝20時(shí)，y最大為400 m2.





18．如圖22－1－6，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，四邊形ABCD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．





圖22－1－6





第18題答圖


解：如圖，把△ABC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADE，則BC＝DE，AC＝AE.


設(shè)BC＝k，則AC＝AE＝4k，DE＝k，


過(guò)D作DF⊥AC于F，則AF＝DE＝k，


CF＝3k，DF＝4k，


由勾股定理得CF2＋DF2＝CD2，


∴(3k)2＋(4k)2＝x2，


∴x2＝25k2，∴k2＝eq \f(x2,25).


y＝S四邊形ABCD＝S梯形ACDE


＝eq \f(1,2)(DE＋AC)·AE＝eq \f(1,2)(k＋4k)·4k


＝10k2＝10×eq \f(x2,25)＝eq \f(2,5)x2，


故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq \f(2,5)x2.











x
5
10
15
20
25
30
35
y

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