第1課時 二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)


[見B本P14]





1．拋物線y＝－2x2＋1的對稱軸是( C )


A．直線x＝eq \f(1,2) B．直線x＝－eq \f(1,2)


C．y軸 D．直線x＝2


2．下列函數(shù)中，圖象形狀、開口方向相同的是( B )


①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝eq \f(1,2)x2－1；


④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.


A．①④ B．②⑤


C．②③⑤ D．①②⑤


【解析】 a決定拋物線的開口方向與形狀大小，②⑤中a相同，選B.


3．如果將拋物線y＝x2＋2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是( C )


A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2


C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3


4．[2013·德州]下列函數(shù)中，當x>0時，y隨x的增大而增大的是( B )


A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1


C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－x2＋1


5．拋物線y＝－2x2－5的開口向__下__，對稱軸是__y軸__，頂點坐標是__(0，－5)__．


【解析】 根據(jù)拋物線y＝ax2＋c的特征解答即可．


6．拋物線y＝eq \f(1,3)x2－4可由拋物線y＝eq \f(1,3)x2沿__y__軸向__下__平移__4__個單位而得到，它的開口向__上__，頂點坐標是__(0，－4)__，對稱軸是__y軸__，當__x＝0__時，y有最__小__值為__－4__，當__x>0__時，y隨x的增大而增大，當__x4.2，故這輛貨運卡車能通過該隧道．








圖22－1－15


15．某水渠的橫截面呈拋物線狀，水面的寬度為AB(單位：米)，現(xiàn)以AB所在直線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖22－1－15所示的平面直角坐標系，設坐標原點為O.已知AB＝8米，設拋物線解析式為y＝ax2－4.


(1)求a的值；


(2)點C(－1，m)是拋物線上一點，點C關于原點O的對稱點為點D，連接CD，BC，BD，求△BCD的面積．





解：(1)∵AB＝8，由拋物線的性質(zhì)可知OB＝4，


∴B(4，0)，


把B點坐標代入解析式得：16a－4＝0，


解得：a＝eq \f(1,4)；


(2)過點C作CE⊥AB于E，過點D作DF⊥AB于F，


∵a＝eq \f(1,4)，


∴y＝eq \f(1,4)x2－4，


令x＝－1，


∴m＝eq \f(1,4)×(－1)2－4＝－eq \f(15,4)，


∴C(－1，－eq \f(15,4))，


∵C關于原點對稱點為D，


∴D的坐標為(1，eq \f(15,4))，則CE＝DF＝eq \f(15,4)


S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝eq \f(1,2)OB·DF＋eq \f(1,2)OB·CE＝eq \f(1,2)×4×eq \f(15,4)＋eq \f(1,2)×4×eq \f(15,4)＝15，


∴△BCD的面積為15平方米．





第2課時 二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)


[見A本P16]





1．與函數(shù)y＝2(x－2)2形狀相同的拋物線解析式是( D )


A．y＝1＋eq \f(1,2x2) B．y＝(2x＋1)2


C．y＝(x－2)2 D．y＝2x2


2．關于二次函數(shù)y＝－(x－2)2的圖象，下列說法正確的是( D )


A．是中心對稱圖形


B．開口向上


C．對稱軸是x＝－2


D．最高點是(2，0)


3．拋物線y＝(x－1)2的頂點坐標是( A )


A．(1，0) B．(－1，0)


C．(－2，1) D．(2，－1)


4．下列關于拋物線y＝4(x－1)2＋2的說法中，正確的是( B )


A．開口向下


B．對稱軸為x＝1


C．與x軸有兩個交點


D．頂點坐標為(－1，0)


5．二次函數(shù)y＝2(x－eq \f(3,2))2圖象的對稱軸是直線__x＝eq \f(3,2)__.


6．函數(shù)：①y＝eq \f(1,2)x－3，②y＝－eq \f(2,x)(x1)，其中y隨x的增大而增大的有__①②③__(填序號)．


解：∵y＝eq \f(1,2)x－3中，k＝eq \f(1,2)>0，


∴y隨x的增大而增大；


∵函數(shù)y＝－eq \f(2,x)中k＝－2，


∴當x1)中，開口向上，對稱軸為x＝1，


∴當x>1時，y隨x的增大而增大，


故答案為①②③.


7．二次函數(shù)y＝(x－2)2，當__x＜2__時，y隨x的增大而減?。?br/>

8．拋物線y＝－eq \f(2,3)(x＋2)2開口__向下__，對稱軸為__直線x＝－2__，頂點坐標為__(－2，0)__，當x＝__－2__時，函數(shù)有最__大__值為__0__．


9．拋物線y＝2(x－2)2與x軸交點A的坐標為__(2，0)__，與y軸交點B的坐標為__(0，8)__，S△AOB＝__8__．


【解析】 畫草圖幫助理解題意．


當x＝2時，y＝0；當x＝0時，y＝8，


S△AOB＝eq \f(1,2)×OA×OB＝eq \f(1,2)×2×8＝8.


10．已知：拋物線y＝－eq \f(1,4)(x＋1)2.


(1)寫出拋物線的對稱軸；


(2)完成下表；


(3)在下面的坐標系中描點畫出拋物線的圖象．





圖22－1－16


解：(1)拋物線的對稱軸為x＝－1.


(2)填表如下：








(3)描點作圖如下：





11．確定下列函數(shù)圖象的開口方向及對稱軸、頂點坐標．


(1)y＝2(x＋1)2


(2)y＝－4(x－5)2.


解：(1)由y＝2(x＋1)2


可知，二次項系數(shù)為2＞0，


∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝－1，


頂點坐標為(－1，0)．


(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次項系數(shù)為－4＜0，


∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝5，


頂點坐標為(5，0)．


12．已知二次函數(shù)y＝－3(x－5)2，寫出拋物線的頂點坐標、對稱軸、x在什么范圍內(nèi)y隨x的增大而減小、x取何值時函數(shù)有最值，并寫出最值．


解：根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝－3(x－5)2，


知函數(shù)圖象的頂點為(5，0)，對稱軸為x＝5；


函數(shù)y＝－3(x－5)2的圖象開口向下，對稱軸x＝5，


故當x≥5時，函數(shù)值y隨x的增大而減小；


∵－3＜0，


∴二次函數(shù)的開口向下，


當x＝5時，二次函數(shù)圖象在最高點，函數(shù)的最大值為0.





13．已知拋物線y＝a(x－h(huán))2的對稱軸為x＝－2，與y軸交于點(0，2)．


(1)求a和h的值；


(2)求其關于y軸對稱的拋物線的解析式．


解：(1)∵對稱軸為x＝－2，


∴h＝－2，


∵與y軸交于點(0，2)，


∴a·22＝2，


∴a＝eq \f(1,2)；


(2)拋物線關于y軸的對稱拋物線的頂點坐標為(2，0)，


所以，關于y軸對稱的拋物線的解析式為y＝eq \f(1,2)(x－2)2.


14．(1)求拋物線y＝2(x－h(huán))2關于y軸對稱的拋物線的函數(shù)解析式．


(2)若將(1)中的拋物線變?yōu)閥＝a(x－h(huán))2，請直接寫出關于y軸對稱的拋物線的函數(shù)解析式，你還能寫出它關于x軸、關于原點對稱的新拋物線的函數(shù)解析式嗎？請嘗試研究，并與同伴交流．


解：(1)∵拋物線y＝2(x－h(huán))2的頂點坐標為(h，0)，


∴關于y軸對稱的拋物線的頂點坐標為(－h(huán)，0)，


∴關于y軸對稱的拋物線的函數(shù)解析式為y＝2(x＋h)2；


(2)拋物線y＝a(x－h(huán))2的頂點坐標為(h，0)，


∵關于y軸對稱的拋物線的頂點坐標為(－h(huán)，0)，拋物線開口方向不變，


∴關于y軸對稱的拋物線解析式為y＝a(x＋h)2；


∵關于x軸對稱的拋物線的頂點坐標為(h，0)，拋物線開口方向改變，


∴關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝－a(x－h(huán))2；


∵關于原點對稱的拋物線的頂點坐標為(－h(huán)，0)，拋物線開口方向改變，


∴關于原點對稱的拋物線解析式為y＝－a(x＋h)2.





15．在直角坐標平面內(nèi)，已知拋物線y＝a(x－1)2(a＞0)頂點為A，與y軸交于點C，點B是拋物線上另一點，且橫坐標為3，若△ABC為直角三角形時，求a的值．





圖22－1－17


解：∵y＝a(x－1)2(a＞0)的頂點為A，所以點A的坐標為(1，0)．


由x＝0，得y＝a，所以點C的坐標為(0，a)，


由x＝3，得y＝4a，所以點B的坐標為(3，4a)，


所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC2＝1＋a2,AB2＝4＋16a2,BC2＝9＋9a2))


(1)若BC2＝AC2＋AB2得


9＋9a2＝1＋a2＋4＋16a2


即a2＝eq \f(1,2)，a＝±eq \f(\r(2),2)，因為a>0，


∴a＝eq \f(\r(2),2)；


(2)若AB2＝AC2＋BC2


得4＋16a2＝1＋a2＋9＋9a2


即a2＝1，a＝±1.


∴a>0，


∴a＝1；


(3)若AC2＝AB2＋BC2


得1＋a2＝4＋16a2＋9＋9a2


即a2＝－eq \f(1,2)，無解．


綜上所述，當△ABC為直角三角形時，a的值為1或eq \f(\r(2),2).


第3課時 二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì) [見B本P16]








1．拋物線y＝2(x－3)2＋1的頂點坐標是( A )


A．(3，1) B．(3，－1)


C．(－3，1) D．(－3，－1)


2．對于拋物線y＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋3，下列結(jié)論：①拋物線的開口向下；②對稱軸為x＝1；③頂點坐標為(－1，3)；④x>1時，y隨x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的個數(shù)為( C )


A．1 B．2


C．3 D．4


【解析】 ①∵a＝－eq \f(1,2)－1時，y隨x的增大而減小∴x>1時，y隨x的增大而減小一定正確；綜上所述，結(jié)論正確的個數(shù)是①③④共3個．故選C.


3．下列二次函數(shù)中，圖象以x＝2為對稱軸，且經(jīng)過點(0，1)的是( C )


A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1


C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3


【解析】 設二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－2)2＋k，把點(0，1)代入檢驗．


4．如圖22－1－18，關于拋物線y＝(x－1)2－2，下列說法錯誤的是( D )





圖22－1－18





A．頂點坐標是(1，－2)


B．對稱軸是直線x＝1


C．開口方向向上


D．當x＞1時，y隨x的增大而減小


5．將拋物線y＝3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為( A )


A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3


C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3


6．[2013·雅安]將拋物線 y ＝(x－1)2＋3向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為( D )


A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6


C．y＝x2＋6 D．y＝x2


【解析】 根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．


將拋物線y＝(x－1)2＋3向左平移1個單位所得拋物線解析式為：y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；


再向下平移3個單位為：y＝x2＋3－3，即y＝x2.


故選D.


7．如圖22－1－19，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是( A )





圖22－1－19


A．m＝n，k>h B．m＝n，kn，k＝h D．m0，k>0 B．h0


C．h

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22.1.3 二次函數(shù)y＝a（x－h(huán)）2＋k的圖象和性質(zhì)

版本： 人教版

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