第6講


講














二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷研究函數(shù)的一般過程，去探索最簡單的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，為以后的類比遷移做好鋪墊。在授課過程中，教師要注重從研究函數(shù)的五個方面引導(dǎo)學(xué)生去觀察二次函數(shù)的圖象，體會數(shù)形結(jié)合在解題中的作用。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時可能會在以下三個方面感到困難：


1.對二次項系數(shù)a的理解；


2.對拋物線的開口方向和大小、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、增減性的理解；


3.什么樣的二次函數(shù)可以相互平移及其原因。


【知識導(dǎo)圖】

















教學(xué)過程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


二次函數(shù)在中考中占有的地位毋容置疑，本節(jié)作為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)，學(xué)好本節(jié)可以很好地遷移到后續(xù)復(fù)雜的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中去。教師在教學(xué)中要注重對二次項系數(shù)a的理解以及二次函數(shù)的上下平移及其增減性，這是中考常出題型。





二、知識講解








知識點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)











知識點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)











知識點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)


形








三、例題精析








例題1





【題干】在直角坐標(biāo)系中，畫出y=3x2的圖象


【答案】列表如下：


畫圖如圖：





【解析】按照列表-描點(diǎn)-連線的步驟進(jìn)行即可。





例題2





【題干】在同一直角坐標(biāo)系中，畫函數(shù)y=x2,y=-x2,y=的圖象，它們的共同特點(diǎn)是（ ）


A.對稱軸都是x軸B.頂點(diǎn)都是（0,0）


C.開口都向上D.在x＜0時，y都隨x的增大而減小





【答案】B


【解析】如圖，在同一直角坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)的圖象，從圖象知，它們的對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)都是(0,0)，函數(shù)y=-x2的向下，其余兩個的開口向上；函數(shù)y=-x2在x＜0時，y隨x的增大而增大，另外兩個均是在x＜0時，y隨x的增大而減小.











例題3





【題干】二次函數(shù)y=ax2的圖象與直線y=3x-4的圖象交于點(diǎn)A（b,2）.


（1）求出a的值；并寫出該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及其對稱軸；


（2）寫出這個二次函數(shù)的增減性.


【答案】見解析


【解析】（1）∵二次函數(shù)y=ax2的圖象與直線y=3x-4的圖象交于點(diǎn)（b,2）.


∴將點(diǎn)（b,2）代入直線y=3x-4中，有：2=3b-4，得：b=2，


又∵點(diǎn)（2,2）在二次函數(shù)y=ax2的圖象上，得，


即：∴二次函數(shù)的表達(dá)式為.頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0），對稱軸y軸.


（2）當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大.








例題4





【題干】已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1,4），將其圖象沿y軸向下平移3個單位，求所得函數(shù)的表達(dá)式，并指出當(dāng)x取3時，這兩個函數(shù)哪一個函數(shù)的值比較大？





【答案】見解析


【解析】因為點(diǎn)（-1,4）是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，所以，則函數(shù)的表達(dá)式為.將其圖象沿y軸向下平移3個單位，


根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”得平移后函數(shù)表達(dá)式為,根據(jù)平移規(guī)律可知，的圖象在的圖象的上方，因此，當(dāng)x取3時，的函數(shù)值比較大。也可將x=3代入二次函數(shù)表達(dá)式，求得=36，=33，由于36>33,因此的函數(shù)值比較大。








四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，重點(diǎn)放在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)上以及如何通過平移得到的等，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對性的練習(xí)，注意從（開口方向和開口大小、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、增減性）五方面去總結(jié)。





基礎(chǔ)





1. 已知A(m,a)B(n,a)都在拋物線上，則m,n之間的關(guān)系正確的是（ ）


A.m=n B.m+n=0 C.m+n＞0 D.m+n＜0


【答案】B


【解析】帶入計算即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律。





2.在同一坐標(biāo)系中，拋物線，，的共同特點(diǎn)是（ ）


A. 關(guān)于y軸對稱，開口向上


B. 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而增大


C. 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而減小


D. 關(guān)于y軸對稱，頂點(diǎn)是原點(diǎn)


【答案】D


【解析】參照前面的知識點(diǎn)總結(jié)即可.





3.已知a>0，則函數(shù)y=ax2+a的圖象經(jīng)過的象限是（ ）


A．第三、四象限B．第一、二象限C．第二、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、三象限


【答案】B


【解析】參考前面知識點(diǎn)中的圖象即可得。





鞏固





1.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的敘述,錯誤的是( )


A. 對稱軸是y軸B. 頂點(diǎn)是原點(diǎn)


C. 當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大D. y有最大值


【答案】D


【解析】開口向上有最小值





2.已知函數(shù)y=2x和拋物線y=ax2+3相交于點(diǎn)(2,b).


(1)求a，b的值；


(2)若函數(shù)y=2x的圖象上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)為A,拋物線y=ax2+3的頂點(diǎn)為B,求S△AOB.





【答案】見解析


【解析】(1)∵點(diǎn)(2,b)在直線y=2x上，∴b=4，


又∵(2,b)即(2,4)在拋物線y=ax2+3上，∴4a+3=4，∴a=1/4；


(2)


3.已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)


（1）求m的值；


（2）當(dāng)m為何值時,該函數(shù)的圖象開口向下?


（3）當(dāng)m為何值時,該函數(shù)有最小值?


【答案】見解析


【解析】（1）x次數(shù)是2，所以m2+3m-2=2即m2+3m-4=0


(m-1)(m+4)=0，m=1,m=-4


（2）開口向下則系數(shù)小于0，所以m+3-3，又因為m=1或m=-4


所以m=1。








拔高





1.函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：


(1)滿足條件的m值；


(2)m為何值時，拋物線有最低點(diǎn)?求出這個最低點(diǎn)。這時，當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大?


(3)m為何值時，函數(shù)有最大值?最大值是多少?這時，當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減小。


【答案】見解析


【解析】(1)滿足條件的m值為2或?3；


(2) 拋物線解析式為，


所以拋物線的最低點(diǎn)為(0,0)，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；


(3)當(dāng)m=?3時，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；


拋物線解析式為，


所以二次函數(shù)的最大值是0，這時，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小。





已知函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)：A（x1，1），B（x2，2），C（x3，3）在拋物線上，關(guān)于所給x1、x2、x3的大小關(guān)系的四條結(jié)論：①x1＜x2＜x3；②x3＜x2＜x1； ③x1＜x3＜x2；④x2＜x1＜x3，其中正確的結(jié)論為 .（填寫其序號）





【答案】①、②、④


【解析】根據(jù)題意繪制出二次函數(shù)y=3x2的草圖，然后由其增減性將所給點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)標(biāo)注在圖象上，如解圖所示，當(dāng)在對稱軸兩側(cè)時，結(jié)論①、②成立，但當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A、C在對稱軸異側(cè)時，根據(jù)解圖③可知x2＜x1＜x3，因此結(jié)論④也成立，而結(jié)論③無法根據(jù)所做圖象滿足，故不成立.





第2題解題① 第2題解圖② 第2題解圖③








3.在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為（ ）








【答案】B


【解析】采取排除法處理本題，先觀察每個選項中的二次函數(shù)的圖象，由開口方向確定a值的正負(fù)問題，再由頂點(diǎn)坐標(biāo)所在的位置確定c值得正負(fù)問題，然后由確定好的a、c的值去判定一次函數(shù)所過的象限符不符合要求，符合要求的就成立，否則不成立.


A項，根據(jù)拋物線的開口向下，所以a＜0，因為拋物線的頂點(diǎn)在y軸的正半軸上，所以c＞0.根據(jù)a＜0，c＞0可知一次函數(shù)y=ax+c過第一、二、四象限，而A圖中的一次函數(shù)y=ax+c的圖象過得是第一、二、三，所以排除A項.同理可以排除C項和D項.











課堂小結(jié)





1.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì);


2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì);


3.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì);


4.二次函數(shù)與兩者之間的關(guān)系具體見下表:











拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 已知原點(diǎn)是拋物線y=(2m+4)x2的最低點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）


A. m-2


C. m－2.





2. 已知二次函數(shù)y=ax2+k的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）





A. B. C. D.


【答案】C


【解析】由函數(shù)圖象知圖象開口向上，所以a＞0，頂點(diǎn)在x軸下方，所以k＜0，所以選C.





3.下列哪組拋物線可以通過互相平移而得到（ ）


A.y=2x2與y=3x2 B.y=+2與y=2x2+


C.y=2x2與y=x2+2 D.y=x2+2與y=x2-2.


【答案】D


【解析】拋物線的開口方向、形狀和開口大小是由二次項系數(shù)a的值決定的，只有兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)的值相等時，才可以通過平移彼此而得到對方，只有D選項中的二次項的值才相等，都為1，所以可以通過平移彼此而得到對方.





鞏固





1.已知一個函數(shù)的圖象與拋物線y=-2x2關(guān)于x軸對稱，則該二次函數(shù)的表達(dá)式為_____________.


【答案】 y=2x2


【解析】因為拋物線y=ax2 與拋物線y=－ax2關(guān)于x軸對稱


∴拋物線y=-2x2關(guān)于x軸對稱的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x2。





2.拋物線y=ax2+c與y=3x2的開口方向、形狀大小都相同，且其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則其表達(dá)式為_______.


【答案】y=3x2+1


【解析】拋物線的開口方向、形狀和開口大小是由二次項系數(shù)a的值決定的，因為拋物線y=ax2+c與y=3x2的開口方向、形狀和開口大小都相同，所以a=3.又因為拋物線y=ax2+c得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），所以可以采取待定系數(shù)法求得c=1，所以此拋物線的表達(dá)式是y=3x2+1.





3.拋物線y1=x2，y2=x2+7，y3=x2-7，當(dāng)x=2時，這三個函數(shù)對應(yīng)的y值的大小順序為 ，在對稱軸的右側(cè)，y取同一值時，這三個函數(shù)對應(yīng)的x的取值大小順序為 .


【答案】y2>y1>y3 ； x3 < x 1 y1>y3 ，這三個函數(shù)的對稱軸為y軸，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，由此可得，當(dāng)y取同一值時， x3 < x 1

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2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

版本： 北師大版

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