第4講


講














三角函數(shù)的應(yīng)用及利用三角函數(shù)測(cè)高


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)是解直角三角形的進(jìn)一步深化，探究解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。在授課過(guò)程中，教師要注重解題思路的點(diǎn)撥，做好書寫格式方面的示范。通過(guò)典型試題的練習(xí)，增加學(xué)生一些重要的解題經(jīng)驗(yàn)，積累一些典型的解直角三角形的模型。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下三個(gè)方面感到困難：


1. 在復(fù)雜圖形中，如何找各個(gè)量之間的關(guān)系。


2. 如何選擇合適的三角函數(shù)。


3.如何把實(shí)際問(wèn)題抽象成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。


【知識(shí)導(dǎo)圖】














教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


解直角三角形為中考必考內(nèi)容，至少有一道是解答題，常是利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。在解直角三角形的綜合題中，常與非特殊角結(jié)合在一起考，這種題幾乎是中考數(shù)學(xué)的必考題。在教學(xué)中，一要注意強(qiáng)調(diào)書寫格式問(wèn)題；二是交給學(xué)生常用的找等量關(guān)系的方法；三是要給學(xué)生儲(chǔ)備典型的解直角三角形得模型（如：背靠背型和母子型等）。





二、知識(shí)講解








知識(shí)點(diǎn)1 三角函數(shù)的一般應(yīng)用





和學(xué)生一起回憶解直角三角形的方法和三種類型，進(jìn)一步鞏固相關(guān)知識(shí)，溫故而知新。





知識(shí)點(diǎn)2 用三角函數(shù)解方位角、視角問(wèn)題








提問(wèn)：


什么是方位角，請(qǐng)畫圖說(shuō)明；


什么是視角，請(qǐng)畫圖說(shuō)明。





知識(shí)點(diǎn)3 利用三角函數(shù)測(cè)高





請(qǐng)學(xué)生總結(jié)書上是如何利用三角函數(shù)測(cè)高的，用到了哪些三角函數(shù)，具體如何實(shí)施的？你還能想到其它的解決辦法嗎？





三、例題精析








例題1





【題干】如圖，某河的兩岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的點(diǎn)A處和點(diǎn)B處各有一棵大樹，AB=30米，某人在河岸MN上選一點(diǎn)C，AC⊥MN，在直線MN上從點(diǎn)C前進(jìn)一段路程到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求這條河的寬度．（≈1.732，結(jié)果保留到0.1）．








例題2





【題干】如圖，為測(cè)量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，則物體AB的高度為（ ）





A．10米B．10米C．20米D．米





例題3





【題干】如圖，線段AB、DC分別表示甲、乙兩座樓房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，兩建筑物間距離BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在點(diǎn)A測(cè)得D點(diǎn)的仰角α=45°，則乙建筑物高DC= 米．

















例題4





【題干】如圖，甲樓AB的高度為123m，自甲樓樓頂A處，測(cè)得乙樓頂端C處的仰角為450，測(cè)得乙樓底部D處的俯角為300，求乙樓CD的高度（結(jié)果精確到0.1m，取1.73）．














四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過(guò)程中，教師可以以中考真題入手，重點(diǎn)放在解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對(duì)性的練習(xí)，注意基本模型的總結(jié)和積累。





基礎(chǔ)





1. 為促進(jìn)我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，加快道路建設(shè)，某高速公路建設(shè)工程中需修隧道AB，如圖，在山外一點(diǎn)C測(cè)得BC距離為200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.81，cs54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精確到個(gè)位）











2.如圖，小明同學(xué)在東西走向的文一路A處，測(cè)得一處公共自行車租用服務(wù)點(diǎn)P在北偏東60°方向上，在A處往東90米的B處，又測(cè)得該服務(wù)點(diǎn)P在北偏東30°方向上，則該服務(wù)點(diǎn)P到文一路的距離PC為（ ）





A．60米B．45米C．30米D．45米


3.為慶祝重慶市獲得“中國(guó)溫泉之都”的稱號(hào)，我區(qū)某溫泉城在中心大樓上掛出宣傳條幅AB（如圖），小明站點(diǎn)C處，看條幅頂端A，測(cè)得仰角∠ACB=50°，此時(shí)CB=10米，AB⊥BC，則宣傳條幅AB的長(zhǎng)為（ ）





A．10sin50°米B．10tan50°米C．米D．米





鞏固





1.在一次暑假旅游中，小亮在仙島湖的游船上（A處），測(cè)得湖西岸的山峰太婆尖（C處）和湖東岸的山峰老君嶺（D處）的仰角都是45°．游船向東航行100米后（B處），測(cè)得太婆尖，老君嶺的仰角分別為30°，60°．試問(wèn)太婆尖、老君嶺的高度為多少米？








2.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，胡老師帶領(lǐng)九（3）班的同學(xué)去測(cè)一條南北流向的河寬。如圖所示，張一凡同學(xué)在河?xùn)|岸點(diǎn)A出測(cè)到河對(duì)岸邊有一點(diǎn)C，測(cè)得C在A的北偏西31°的方向上，沿河岸向北前進(jìn)21m到達(dá)B處，測(cè)得C在B的北偏西45°的方向上。


請(qǐng)你根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度。（tan31°=）








3.如圖，海中有一小島B，它的周圍15海里內(nèi)有暗礁．有一貨輪以30海里/時(shí)的速度向正北航行，當(dāng)它航行到A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)B島在它的北偏東30°方向，當(dāng)貨輪繼續(xù)向北航行半小時(shí)后到達(dá)C處，發(fā)現(xiàn)B島在它的東北方向．問(wèn)貨輪繼續(xù)向北航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）











拔高





1.如圖，有一個(gè)晾衣架放置在水平地面上，在其示意圖中，支架OA、OB的長(zhǎng)均為108cm，支架OA與水平晾衣桿OC的夾角∠AOC為59°，求支架兩個(gè)著地點(diǎn)之間的距離AB．（結(jié)果精確到0.1cm）(參考數(shù)據(jù)：sin59°=0.86，cs59°=0.52，tan59°=1.66)．











2.如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與湖岸上涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東65°方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向東方向走了100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東45°方向（點(diǎn)A、B、C在同一平面上），請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)sin25°≈0.4226，cs25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cs65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）











3.某校學(xué)生去春游，在風(fēng)景區(qū)看到一棵漢柏樹，不知這棵漢柏樹有多高，下面是兩位同學(xué)的一段對(duì)話：


小明：我站在此處看樹頂仰角為。


小華：我站在此處看樹頂仰角為。


小明：我們的身高都是1.6m.


小華：我們相距20m。


請(qǐng)你根據(jù)這兩位同學(xué)的對(duì)話，計(jì)算這棵漢柏樹的高度。


（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到0.1）














課堂小結(jié)





你今天學(xué)到了哪些解直角三角形的方法；


2.什么是方位角、視角；


3.如何利用三角函數(shù)測(cè)高。











拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 水利部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對(duì)某水庫(kù)大壩進(jìn)行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD．如圖所示，已知迎水坡面AB的長(zhǎng)為16米，∠B=60°，背水坡面CD的長(zhǎng)為米，加固后大壩的橫截面積為梯形ABED，CE的長(zhǎng)為8米．


（1）已知需加固的大壩長(zhǎng)為150米，求需要填土石方多少立方米？


（2）求加固后的大壩背水坡面DE的坡度．











2. 如圖，在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C，測(cè)出看塔頂?shù)难鼋菫?0°，從C點(diǎn)向塔底走100米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)出看塔頂?shù)难鼋菫?5°，則塔AB的高為（ ）





A．50米B．100米C．米D．米


3.小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹夏季洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差．如圖，他利用測(cè)角儀站在C處測(cè)得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到達(dá)D處，測(cè)得∠ADC=34°，求落差A(yù)B．（測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）








鞏固





1.某校有一露天舞臺(tái)，縱斷面如圖所示，AC垂直于地面，AB表示樓梯，AE為舞臺(tái)面，樓梯的坡角∠ABC=45°，坡長(zhǎng)AB=2m，為保障安全，學(xué)校決定對(duì)該樓梯進(jìn)行改造，降低坡度，擬修新樓梯AD，使∠ADC=30°．


（1）求舞臺(tái)的高AC（結(jié)果保留根號(hào)）；


（2）在樓梯口B左側(cè)正前方距離舞臺(tái)底部C點(diǎn)3m處有一株大樹，修新樓梯AD時(shí)底端D是否會(huì)觸到大樹？并說(shuō)明理由．








2.如圖，王強(qiáng)同學(xué)在甲樓樓頂A處測(cè)得對(duì)面乙樓樓頂D處的仰角為30°，在甲樓樓底B處測(cè)得乙樓樓頂D處的仰角為45°，已知甲樓高26米，求乙樓的高度．（≈1.7）





3.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測(cè)量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測(cè)得古塔頂端點(diǎn)的仰角為，再沿著的方向后退20m至處，測(cè)得古塔頂端點(diǎn)的仰角為，求該古塔BD的高度(，結(jié)果保留一位小數(shù)) ．








拔高





1.某廠家新開發(fā)一種摩托車如圖所示，它的大燈A射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°，大燈A與地面距離1 m．


（1）該車大燈照亮地面的寬度BC約是多少？


（2）一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是0.2 s，從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到摩托車完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離，某人以60km／h的速度駕駛該車，突然遇到危險(xiǎn)情況，立即剎車直到摩托車停止，在這過(guò)程中剎車距離是 m，請(qǐng)判斷該車大燈的設(shè)計(jì)是否能滿足最小安全距離的要求，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）


M N


B


C


A


N











2.如圖，一艘貨輪在A處發(fā)現(xiàn)其北偏東45°方向有一海盜船，立即向位于正東方向B處的海警艦發(fā)出求救信號(hào)，并向海警艦靠攏，海警艦立即沿正西方向?qū)ω涊唽?shí)施救援，此時(shí)距貨輪200海里，并測(cè)得海盜船位于海警艦北偏西60°方向的C處．


（1）求海盜船所在C處距貨輪航線AB的距離．


（2）若貨輪以45海里/時(shí)的速度在A處沿正東方向海警艦靠攏，海盜以50海里/時(shí)的速度由C處沿正南方向?qū)ω涊嗊M(jìn)行攔截，問(wèn)海警艦的速度應(yīng)為多少時(shí)才能搶在海盜之前去救貨輪？（結(jié)果保留根號(hào)）














3.在一次實(shí)踐活動(dòng)中，某課題學(xué)習(xí)小組用測(cè)傾器、皮尺測(cè)量旗桿的高度，他們?cè)O(shè)計(jì)了如下的方案（如圖1所示）：


（1）在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得旗桿頂部M的仰角∠MCE＝α；


（2）量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部N的水平距離AN＝m；


（3）量出測(cè)傾器的高度AC＝h。


根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，即可求出旗桿的高度MN。


如果測(cè)量工具不變，請(qǐng)參照上述過(guò)程，重新設(shè)計(jì)一個(gè)方案測(cè)量某小山高度（如圖2）


（1）在圖2中，畫出你測(cè)量小山高度MN的示意圖（標(biāo)上適當(dāng)?shù)淖帜福?br/>

（2）寫出你的設(shè)計(jì)方案。


適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1.三角函數(shù)的一般應(yīng)用


2.用三角函數(shù)解方位角、視角問(wèn)題


3.利用三角函數(shù)測(cè)高
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握三角函數(shù)的應(yīng)用


2.掌握利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

6 利用三角函數(shù)測(cè)高

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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