第15講


講























分式方程












































概 述














【教學(xué)建議】


分式方程的數(shù)學(xué)模型是從具體的實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，而分式方程區(qū)別于整式方程的結(jié)構(gòu)特征，決定了它的解法上與整式方程的本質(zhì)區(qū)別，但只有理解了它的解法的內(nèi)在依據(jù)，才可能真正建構(gòu)起分式方程的概念。


分式方程的教學(xué)立足于分式的加減運(yùn)算和利用等式的性質(zhì)解方程這兩個(gè)基本點(diǎn)。剛剛進(jìn)行了分式運(yùn)算教學(xué)，學(xué)生有分式運(yùn)算的基礎(chǔ)，那就可以充分應(yīng)用這個(gè)基礎(chǔ)進(jìn)行延伸。而分式方程與整式方程的相同之處是都是方程，含有未知數(shù)的等式，都能利用等式的性質(zhì)進(jìn)行有目的的變形，驗(yàn)根的方法本質(zhì)上都是一樣的，因?yàn)榉匠痰母浔举|(zhì)屬性是完全一樣的，驗(yàn)根就是看所求未知數(shù)的能不能使方程左右兩邊相等，這樣強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的聯(lián)系降低了新課的難度，有效提高了學(xué)生的運(yùn)算準(zhǔn)確度。





【知識(shí)導(dǎo)圖】





























教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。


提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：


復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)


問(wèn)題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí),它沿江以最大航速順流航行100千米所用時(shí)間, 與以最大航速航行60千米所用時(shí)間相等, 江水的流速為多少?


分析：設(shè)江水的流速為v千米/時(shí)，


則輪船順流航行的速度為（20＋v）千米/時(shí)，逆流航行的速度為（20－v）千米/時(shí)，順流航行100千米所用的時(shí)間為小時(shí)，逆流航行60千米所用的時(shí)間為小時(shí)。可列方程


這個(gè)方程和我們以前所見(jiàn)過(guò)的方程不同，它的主要特點(diǎn)是：分母中含有未知數(shù)，這種方程就是我們今天要研究的分式方程

















二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 分式方程的定義胞











分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。








考點(diǎn)2 解分式方程








1.解分式方程


解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程.具體做法是 “去分母”.即方程 兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母.這也是解分式方程的一般思路和做法.


解分式方程的步驟


①去分母


方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數(shù)時(shí).不要忘了改變符號(hào)。


②按解整式方程的步驟


移項(xiàng)，若有括號(hào)應(yīng)去括號(hào),注意變號(hào),合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化為1 求出未知數(shù)的值;


③驗(yàn)根


求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根.


驗(yàn)根時(shí)把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母等于0，這個(gè)根就是增根。否則這個(gè)根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無(wú)解。


2. 由增根求參數(shù)值的步驟


確定增根


將原分式方程化為整式方程


將增根代入變形后的整式方程，求出參數(shù)值

















考點(diǎn)3 分式方程實(shí)際應(yīng)用








分式方程應(yīng)用的步驟：(1)審清題意


(2)設(shè)未知數(shù)；


(3)根據(jù)題目中的相等關(guān)系，列出分式方程


(4)解分式方程；


(5)驗(yàn)根，先檢驗(yàn)是否是增根，再檢驗(yàn)是否符合題意．


（6）寫(xiě)出答案


分式方程的類型：營(yíng)銷類、工程類、行程類、濃度類，其中營(yíng)銷問(wèn)題及行程問(wèn)題中航行問(wèn)題、總工作量為單位1的工程問(wèn)題。








三 、例題精析








類型一 分式方程的識(shí)別








例題1








下列各式是是分式方程的是（ ）

















【解析】A為一元二次方程，B為分式，不是方程，C為分式方程，D為一元一次方程





【總結(jié)與反思】方程類型識(shí)別，把握方程特征是關(guān)鍵，分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。








例題2








下列關(guān)于x的方程①②③④，其中是分式方程的有（ ）


A. 1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)





【解析】B.關(guān)于x的分式方程，特征是分母中含有未知數(shù)x的方程，只有②③，2個(gè)。





【總結(jié)與反思】方程類型識(shí)別，明確未知數(shù)，把握方程特征是關(guān)鍵，分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。





類型二 解分式方程





例題1








解方程





【解析】去分母，方程兩邊同時(shí)乘以x(x+1)得：


解整式方程：2x+2=3x


2x-3x=-2


-x=-2


X=2


驗(yàn)根：檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x(x+1)不為零，所以x=2是方程的根





【總結(jié)與反思】 解分式方程關(guān)鍵一步確定最簡(jiǎn)公分母，去分母，還有一步很重要即檢驗(yàn)。最簡(jiǎn)公分母不為0，則是解。需要學(xué)生遵照步驟，嚴(yán)格執(zhí)行。























例題2








解方程：





【解析】去分母：1-x=-1-2(x-2)


解整式方程：1-x=-1-2x+4


-x+2x=-1+4-1


X=2


檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0,使分母無(wú)意義，所以x=2為方程的增根，所以方程無(wú)解。





【總結(jié)與反思】解分式方程關(guān)鍵一步確定最簡(jiǎn)公分母，去分母，還有一步很重要即檢驗(yàn)。最簡(jiǎn)公分母不為0，則是解，若最簡(jiǎn)公分母為0，則是增根，此方程無(wú)解。需要學(xué)生遵照步驟，嚴(yán)格執(zhí)行。








類型三分式方程應(yīng)用








例題1








甲、乙分別從相距36千米的A、B兩地同時(shí)相向而行．甲從A出發(fā)到1千米時(shí)發(fā)現(xiàn)有東西遺忘在A地，立即返回，取過(guò)東西后又立即從A向B行進(jìn)，這樣二人恰好在AB中點(diǎn)處相遇，又知甲比乙每小時(shí)多走0.5千米，求二人速度．





【解析】設(shè)乙的速度為x千米/小時(shí)，則甲的速度為（x+0.5)千米/小時(shí)。


根據(jù)題意，得


解得 x=4.5．


經(jīng)檢驗(yàn)，x=4.5是這方程的解．當(dāng)時(shí)，


答：甲速度為5千米/小時(shí)，乙速度為4.5千米/小時(shí)．





【總結(jié)與反思】根據(jù)題意可知，等量關(guān)系為時(shí)間相等，時(shí)間=路程/速度，列式求解即可。








例題2








2017年第十三屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將在遼寧召開(kāi)，某市掀起了全民健身運(yùn)動(dòng)的熱潮．某體育用品商店預(yù)測(cè)某種品牌的運(yùn)動(dòng)鞋會(huì)暢銷，就用4800元購(gòu)進(jìn)了一批這種運(yùn)動(dòng)鞋，上市后很快脫銷，該商店又用10800元購(gòu)進(jìn)第二批這種運(yùn)動(dòng)鞋，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每雙鞋進(jìn)價(jià)多用了20元．


（1）求該商店第二次購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)鞋多少雙？


（2）如果這兩批運(yùn)動(dòng)鞋每雙的售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)率不低于20%，那么每雙鞋售價(jià)至少是多少元？





【解析】（1）設(shè)該商場(chǎng)第一次購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，由題意得：


，


解得：x=30。


經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，符合題意。


則第二次購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)鞋是30×2=60（雙）。


答：該商場(chǎng)第二次購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)鞋60雙。


（2）設(shè)每雙售價(jià)是y元，由題意得：


解這個(gè)不等式，得y≥208。


答：每雙運(yùn)動(dòng)鞋的售價(jià)至少是208元。





【總結(jié)與反思】 （1）設(shè)該商場(chǎng)第一次購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則第二次購(gòu)進(jìn)數(shù)量為2x雙，根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句“每雙進(jìn)價(jià)多了20元”可得等量關(guān)系：第一次購(gòu)進(jìn)運(yùn)動(dòng)鞋的單價(jià)+20=第二次購(gòu)進(jìn)運(yùn)動(dòng)鞋的單價(jià)，（2）設(shè)每雙售價(jià)是y元，根據(jù)數(shù)量關(guān)系：（總售價(jià)﹣總進(jìn)價(jià)）÷總進(jìn)價(jià)≥20%，列出不等式，解出不等式的解即可。





四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








滿足方程的x值是( )


A.1 B.2 C.0 D. 沒(méi)有


分式方程的解為( )


A. B. C. D.無(wú)解.


當(dāng)x_______時(shí),分式的值等于.


解方程：


答案與解析





1.【答案】C


【解析】解此方程，去分母，效果上看像“交叉相乘”，解得x=0，檢驗(yàn)是方程的解





2. 【答案】D


【解析】解此方程得x=2，檢驗(yàn)，使最簡(jiǎn)公分母為0.





3. 【答案】3


【解析】根據(jù)題意得，解得x=3,經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根。





4. 【答案】解：





檢驗(yàn)：x=1代入=0，故原方程無(wú)解。


【解析】解方程，遵循求解步驟，注意驗(yàn)根，及根情況的表述。








鞏固








已知方程的解相同，則a等于（ ）


A．3 B．－3 C、2 D．－2


若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值為_(kāi)_________





一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100千米所用的時(shí)間，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？





答案與解析





1.【答案】B


【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，先求出的解并驗(yàn)證，得x=2，代入，得，解得a=-3.





2.【答案】


【解析】增根為使方程分母無(wú)意義的整式方程的根，所以此方程的增根為x=3，方程化為整式方程為,解得所以








3. 【答案】設(shè)江水的流速為v千米/時(shí)，則輪船順流航行的速度為（20＋v）千米/時(shí)，逆流航行的速度為（20－v）千米/時(shí)，


＝


解方程得：v＝5


檢驗(yàn)：v＝5為方程的解。


所以水流速度為5千米/時(shí)。


【解析】設(shè)江水的流速為v千米/時(shí)，則輪船順流航行的速度為（20＋v）千米/時(shí)，逆流航行的速度為（20－v）千米/時(shí)，順流航行100千米所用的時(shí)間為小時(shí)，逆流航行60千米所用的時(shí)間為小時(shí)?？闪蟹匠蹋?br/>







拔高








若分式方程有增根,那么k的值為( )


A.1 B. 3 C.6 D. 9


若方程有負(fù)數(shù)根,則k的取值范圍是__________.





某車隊(duì)要把4000噸貨物運(yùn)到雅安地震災(zāi)區(qū)（方案定后，每天的運(yùn)量不變）。


（1）從運(yùn)輸開(kāi)始，每天運(yùn)輸?shù)呢浳飮崝?shù)（單位：噸）與運(yùn)輸時(shí)間（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系式？


（2）因地震，到災(zāi)區(qū)的道路受阻，實(shí)際每天比原計(jì)劃少運(yùn)20%，則推遲1天完成任務(wù)，求原計(jì)劃完成任務(wù)的天數(shù)。








答案與解析


1.【答案】D


【解析】含參分式方程，先去分母解方程，再將增根，代入化簡(jiǎn)的方程中，求得k=9.





2.【答案】k＞2且k≠3.


【解析】有負(fù)數(shù)根，表示含參的方程，有解，且解為負(fù)數(shù)。先解方程得x=6-3k.根據(jù)題意得，解得k＞2且k≠3.





3.【答案】（1）∵每天運(yùn)量×天數(shù)=總運(yùn)量，∴nt=4000。


∴。


（2）設(shè)原計(jì)劃x天完成，


根據(jù)題意得：，


解得：x=4。


經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的根。


答：原計(jì)劃4天完成。


【解析】（1）根據(jù)每天運(yùn)量×天數(shù)=總運(yùn)量即可列出函數(shù)關(guān)系式。


（2）根據(jù)“實(shí)際每天比原計(jì)劃少運(yùn)20%，則推遲1天完成任務(wù)”列出方程求解即可。








五 、課堂小結(jié)








分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。


解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程.具體做法是 “去分母”.即方程 兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母.這也是解分式方程的一般思路和做法.


解分式方程的步驟


①去分母


方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數(shù)時(shí).不要忘了改變符號(hào)。


②按解整式方程的步驟


移項(xiàng)，若有括號(hào)應(yīng)去括號(hào),注意變號(hào),合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化為1 求出未知數(shù)的值;


③驗(yàn)根


求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根.


驗(yàn)根時(shí)把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母等于0，這個(gè)根就是增根。否則這個(gè)根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無(wú)解。


4、由增根求參數(shù)值的步驟


確定增根


將原分式方程化為整式方程


將增根代入變形后的整式方程，求出參數(shù)值





六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)





當(dāng) k等于（ ）時(shí)，是互為相反數(shù)。


A． EQ \F(6,5) B. EQ \F(5,6) C. EQ \F(3,2) D. EQ \F(2,3)





已知方程的解為,則a=_________.





解下列分式方程


(1) (2)








答案與解析


1.【答案】A


【解析】根據(jù)互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0，列等式得，經(jīng)檢驗(yàn)得k= EQ \F(6,5)





2.【答案】5


【解析】把解代入得a=5.





3.【答案】


（1） （2）


經(jīng)檢驗(yàn)，x=-5是原方程的解。 經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程增根，原方程無(wú)解。


【解析】遵循解方程步驟，不跳步，不丟步。














鞏固











若分式方程有增根，則的值是（ ）


A . 5 B . 0 C . 6 D . 3


關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù), 則a的取值范圍是（ ）


A. B. 且 C. D. 且


北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕前，某體育用品商場(chǎng)預(yù)測(cè)某品牌運(yùn)動(dòng)服能夠暢銷，就用32000元購(gòu)進(jìn)了


一批這種運(yùn)動(dòng)服，上市后很快脫銷，商場(chǎng)又用68000元購(gòu)進(jìn)第二批這種運(yùn)動(dòng)服，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元．該商場(chǎng)兩次共購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服多少套？








答案與解析


1.【答案】D


【解析】含參分式方程，先表示出解，本分式方程有增根，只能是x=2，故，解得a=3。





2.【答案】B


【解析】含參分式方程，先表示出解，解是負(fù)數(shù)則，解得且。





3.【答案】設(shè)商場(chǎng)第一次購(gòu)進(jìn)套運(yùn)動(dòng)服，由題意得：


，解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根．


．所以商場(chǎng)兩次共購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服600套．





【解析】找到數(shù)量關(guān)系“進(jìn)第二批這種運(yùn)動(dòng)服，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍”，與等式關(guān)系“但每套進(jìn)價(jià)多了10元”，注意量的前后。
































拔高











小明和小張兩人練習(xí)電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個(gè)字，小明打120個(gè)字所用的


時(shí)間和小張打180個(gè)字所用的時(shí)間相等。設(shè)小明打字速度為x個(gè)/分鐘，則列方程正確的是（ ）


A B C D





已知關(guān)于x的方程解為正數(shù),求m的取值范圍.





閱讀：


對(duì)于兩個(gè)不等的非零實(shí)數(shù)a、b，若分式的值為零，則或.又因?yàn)?，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，分別為，.


應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：


（1）方程的兩個(gè)解中較大的一個(gè)為 ；


（2）關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為、（），若與互為倒數(shù)，則，；


（3）關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為、（），求的值.





答案與解析


1.【答案】C


【解析】數(shù)量關(guān)系：小明每分鐘比小張少打6個(gè)字；等量關(guān)系：小明打120個(gè)字所用的


時(shí)間和小張打180個(gè)字所用的時(shí)間相等。根據(jù)題意列方程，得C正確。


2.【答案】解得x=6-m,根據(jù)題意，解得m＜6且m≠3.


【解析】含參分式方程，先表示出解，根據(jù)解為正，且暗含分母不為0，求得范圍。





3.【答案】（1）；（2） ，；


（3）∵，


∴.


∵，，，


∴，.


∴，.


∴.





【解析】新定義閱讀類，把握題目特點(diǎn)，考慮周全。








七 、教學(xué)反思




















適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
分式方程的定義；


分式方程的解


解分式方程


分式方程的增根


根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列分式方程
教學(xué)目標(biāo)
理解分式方程的意義;


了解解分式方程的基本思路和解法;


理解解分式方程時(shí)可能無(wú)解的原因,并掌握分式方程的驗(yàn)根方法.


發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題﹑解決問(wèn)題的能力,滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).


在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究﹑合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生努力尋找解決問(wèn)題的進(jìn)取心,體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.


通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷分析相等關(guān)系列方程的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)一步體會(huì)化歸思想。
教學(xué)重點(diǎn)
解分式方程的基本思路和解法．會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是原方程的增根
教學(xué)難點(diǎn)
理解解分式方程時(shí)可能無(wú)解的原因.[

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數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.2 分式的運(yùn)算綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.2 分式的運(yùn)算綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案，共20頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

八年級(jí)上冊(cè)15.3 分式方程獲獎(jiǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思：

這是一份八年級(jí)上冊(cè)15.3 分式方程獲獎(jiǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思，共14頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.1 分式綜合與測(cè)試獲獎(jiǎng)教案：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.1 分式綜合與測(cè)試獲獎(jiǎng)教案，共21頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

15.3 分式方程

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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