15.3.1 分式方程及其解法(1)
人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)
1.理解分式方程的概念，并會(huì)判斷一個(gè)方程是否是分式方程.2.掌握解分式方程的基本思路和解法.(重點(diǎn)、難度)
1.什么叫一元一次方程？
只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1(次)的整式方程叫做一元一次方程.
√
×
×
√
3.請(qǐng)解上述方程(4).
解：去分母(方程兩邊乘12)，得 4(2x-1)=3(x+2)-12去括號(hào)，得 8x-4=3x+6-12移項(xiàng)，得 8x-3x=6-12+4合并同類項(xiàng)，得 5x=-2化系數(shù)為1，得 x=
章前引言 一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大船速沿江順流航行90km所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行60km所用的時(shí)間相等，江水的流速是多少？
如果設(shè)江水的流速為vkm/h，則輪船順流航行90km所用時(shí)間為_________h，逆流航行60km所用時(shí)間為_________h，由方程_________________可以解出 v 的值.
有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg，已知第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求這兩塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量.
解：設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為xkg，那么第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量是_________kg. 根據(jù)題意，可得方程：______________.
(x+3000)
方程有什么共同特點(diǎn)？
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知數(shù). (2)分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù).
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
【點(diǎn)睛】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：π不是未知數(shù))．
分式方程
整式方程
分式方程
分式方程
分式方程
分式方程
整式方程
整式方程
如何解分式方程：
上述分式方程中各分母的最簡(jiǎn)公分母是(30+v)(30-v)解：方程兩邊乘(30+v)(30-v)，得 90(30-v)=60(30+v) 解得 v=6
?
將分式方程化成整式方程的關(guān)鍵步驟是什么？
解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母.
解：方程兩邊乘x(x+3000)，得 9000(x+3000)=15000x 解得 x=4500檢驗(yàn)：將x=4500代入原方程中，左邊=2=右邊，因此x=4500是原分式方程的解.兩塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量分別是4500kg、7500kg.
下面我們?cè)俳庖粋€(gè)分式方程：
解：方程兩邊同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解嗎？
真相揭秘:分式兩邊同乘了不為0的式子,所得整式方程的解與分式方程的解相同.
我們?cè)賮碛^察去分母的過程:
真相揭秘：分式兩邊同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母為0,這個(gè)整式方程的解就不是原分式方程的解.
在這里，我們把x=5稱它為方程②的增根.
解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為0，所以分式方程的解必須檢驗(yàn)．
分式方程解的檢驗(yàn)----必不可少的步驟
檢驗(yàn)方法： 將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.
例1.解方程:
解：方程兩邊乘x(x-3),得 2x=3x-9 解得 x=9 檢驗(yàn):當(dāng)x=9時(shí)，x(x-3) ≠0所以,原分式方程的解為x=9.
?
解方程：
解：(1)方程兩邊乘2x(x+3)，得 x+3=4x 解得 x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，2x(x+3)≠0所以，原分式方程的解為x=1.
解：(2)方程兩邊乘3(x+1)，得 3x=2x+3(x+1) 解得 x=-1.5檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1.5時(shí)，3(x+1)≠0所以，原分式方程的解為x=-1.5.
例2.解方程:
解：方程兩邊乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得 x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程無解.
解：(1)方程兩邊乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4 解得 x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，(x+1)(x-1)=0，因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程無解.
解:(2)方程兩邊乘(x-2),得1=-(1-x)-3(x-2)解得x=2檢驗(yàn):當(dāng)x=2時(shí), x-2=0，因此x=2不是原分式方程的解.所以，原分式方程無解.
解方程：
1.在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程.2.解這個(gè)整式方程.3.把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則原分式方程無解；4.寫出原方程的根.
簡(jiǎn)記為：“一化二解三檢驗(yàn)”.
“去分母法”解分式方程的步驟：
解分式方程的一般步驟如下：
分式方程
整式方程
去分母
x=a
解整式方程
檢驗(yàn)
最簡(jiǎn)公分母為0
x=a不是分式方程的解
最簡(jiǎn)公分母不為0
x=a是分式方程的解
?
A
D
?
C
?
D
B
B
?
等式的基本性質(zhì)2
?
等式的基本性質(zhì)1
?
?
?
?
?
?
?
?
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知數(shù). (2)分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù).
1.在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程.2.解這個(gè)整式方程.3.把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則原分式方程無解；4.寫出原方程的根.
簡(jiǎn)記為：“一化二解三檢驗(yàn)”.
“去分母法”解分式方程的步驟：
解分式方程的一般步驟如下：
分式方程
整式方程
去分母
x=a
解整式方程
檢驗(yàn)
最簡(jiǎn)公分母為0
x=a不是分式方程的解
最簡(jiǎn)公分母不為0
x=a是分式方程的解

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15.3 分式方程

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