數(shù)學八年級上冊15.2 分式的運算綜合與測試優(yōu)質(zhì)教案

這是一份數(shù)學八年級上冊15.2 分式的運算綜合與測試優(yōu)質(zhì)教案，共20頁。教案主要包含了教學建議，知識導圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第14講


講























分式的運算












































概 述














【教學建議】


分式的乘除在有關(guān)分式的運算中占有非常重要的地位，是有關(guān)分式運算的基礎(chǔ).分式的乘除法是分數(shù)乘除法的延伸和拓展，它們的本質(zhì)相同，可以類比分數(shù)的乘除法法則得到分式的乘除法法則.分式的乘法法則是除法法則的基礎(chǔ)，分式的除法必須轉(zhuǎn)化為分式的乘法運算.


學生在小學時已經(jīng)學習過同分母分數(shù)加減及異分母分數(shù)加減的運算法則，并且經(jīng)歷過用字母表示現(xiàn)實情境中數(shù)量關(guān)系的過程。由此類比分式的加減法，可以猜想分式的加減運算法則。在相關(guān)知識的學習過程中，學生經(jīng)歷過一些從實際問題建模的思想，因此本節(jié)課從實際問題入手，能夠引起學生的有意記憶；同時，還與整式運算、分解因式等有密切聯(lián)系，因此可以加強知識之間的縱向聯(lián)系。





【知識導圖】

















教學過程








一、導入








【教學建議】


導入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生盡快進入學習狀態(tài)。


導入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識體系中，從學生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學生建立知識網(wǎng)絡(luò)。


提供一個教學設(shè)計供講師參考：


復習預習


上節(jié)課，我們學習了分式的基本性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)它與分數(shù)的基本性質(zhì)類似，那么分式的運算是否也和分數(shù)的運算類似呢？


探索、交流——觀察下列算式：


×=, ×=,


÷=×=, ÷=×=


觀察上面運算，可知：


兩個分數(shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；


兩個分數(shù)相除，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘.


對比分數(shù)的乘除法猜猜








二、知識講解








考點1 分式的乘法法則








【教學建議】通過前面的引導，得到分式乘法法則，注意區(qū)別在字母部分。





分式的乘法法則


與分數(shù)的乘法法則類似，我們得到分式的乘法法則：兩個分式相乘，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．


符號表示： ．


說明：


分式與分式相乘時，若分子和分母都是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再相乘。


（2）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變，當然能約分的要約分。








考點2 分式的除法法則








與分數(shù)的除法法則類似，我們得到分式的除法法則：兩個分式相除，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．


符號表示： ．


說明：


當分式的分子與分母都是單項式時，運算步驟是：把除式中的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘，其它與乘法運算步驟相同。


（2）當分子與分母都是多項式時：運算步驟是：


①把各個分式的分子與分母分解因式；


②把除式的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘；


③約分，得到計算結(jié)果.








考點3 分式的乘方法則








分式的乘方


幾個相同分式的積的運算叫做分式的乘方。法則：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分別乘方。


符號表示：（為正整數(shù)）。


說明：


（1）分式的乘方，必須把分式加上括號。


（2）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應(yīng)先算乘方，再算乘、除，有多項式時應(yīng)先分解因式，再約分。


3. （1）同底數(shù)冪的除法法則： (a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n).


同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減. 規(guī)定：


（2）一般地，我們規(guī)定： （a≠0，n是正整數(shù)）


這就是說，任何不等于零的數(shù)的－n （n為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n 次冪的倒數(shù).


（3）（a,b為實數(shù)且ab≠0，m是正整數(shù)）








考點4 同分母分式的加減法








同分母分式的加減法則


同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；


符號表示： ．


說明：


同分母分式相加減時應(yīng)注意：


①當分式的分子是多項式時，應(yīng)先添括號，再去括號合并同類項，從而避免符號錯誤。


②分式的分子相加減后，若結(jié)果為多項式，應(yīng)先考慮因式分解后與分母約分，將結(jié)果化為最簡分式或整式。








考點5 單調(diào)區(qū)間的定義








異分母分式的加減法則


異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p．


說明：


異分母分式相加減時應(yīng)注意：


①把異分母的分式化成同分母的分式，在這個過程中必須保證化成的分式與其原來的分式相等；


②通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，分母需要乘“什么”，分子也必須隨之乘“什么”；分式的分子、分母同時乘的整式是最簡公分母除以分母所得的商。


符號表示：








三 、例題精析








類型一 分式乘除








例題1








計算：1）·; （2）·.


【解析】將算式對照乘法運算法則，進行運算；


（1）·===;


（2）·==.





【總結(jié)與反思】強調(diào)運算結(jié)果如不是最簡分式時，一定要進行約分，使運算結(jié)果化為最簡分式.學生在此部分學習時，因式分解正確是主要的前提，依據(jù)法則進行，計算步驟要求清晰，準確。








例題2








【教學建議】提醒學生除法法則，注意乘除換算，把握倒數(shù)特征及符號特征.


計算：（1）3xy2÷;（2）÷


【解析】將算式對照分式的除法運算法則，進行運算


（1）÷=·==x2;


（2）÷=×=


==





【總結(jié)與反思】當分子、分母是多項式時，一般應(yīng)先分解因式，并在運算過程中約分，可以使運算簡化，避免走彎路.





類型二 分式的乘方





例題1








計算：（1） ; (2)





【解析】（1）原式=


（2）原式= =





【總結(jié)與反思】是分式乘方的運用，可直接運用公式。運算順序是先乘方，然后是乘除。要注意運算時的符號。注意在解題時正確地利用冪的乘方及符號 。





類型三 同分母相加減





例題1








計算：（1）；（2）





【解析】同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減


（1） ＝


＝ ＝


（2）＝


＝ ＝＝4





【總結(jié)與反思】 同分母分式相加減，依照法則進行，把握分解計算及符號特征。





類型四 異分母相加減





例題1








計算：.(2)


【解析】


(1)＝＝


＝＝＝＝


(2)





【總結(jié)與反思】 (1)這里兩個加項的分母不同，要先通分.為此，先找出它們的最簡公分母.


注意到=,所以最簡公分母是；(2)整式的分母為1.











四 、課堂運用











基礎(chǔ)








下列各式中，正確的是（ ）．


A． B．


C． D．


用科學記數(shù)法表示 為 .


計算：





計算：





答案與解析


1.【答案】C


【解析】分式性質(zhì)應(yīng)用，注意符號，答案為C.





2. 【答案】


【解析】科學記數(shù)法表示小數(shù)，注意數(shù)位及符號。





3. 【答案】原式=


【解析】分式的乘除與乘方的混合運算，應(yīng)對學生強調(diào)運算順序：先做乘方，再做乘除.


4. 【答案】


=


=


=


=


【解析】這道題先做乘除，再做減法，把分子的“-”號提到分式本身的前邊.














鞏固








計算：= ．





化簡的結(jié)果是（ ）


A. B. C. D.





計算：





先化簡，再求值：，其中





答案與解析


1.【答案】3


【解析】同分母相加減，分母不變，分子相加減，再約分。





2.【答案】A


【解析】先通分，再約分化簡，得答案為A.





3. 【答案】原式＝ = =





【解析】（1)將算式對照分式的乘除法法則進行運算


（2）運算時注意符號，注意化簡約分





4.【答案】化簡得：，代入得原式的值為





【解析】化簡求值，先化簡，再求值。注意通分，因式分解，約分。











拔高








已知兩個分式：，，其中，則A與B 的關(guān)系是（ ）


A、相等 B、互為倒數(shù) C、互為相反數(shù) D、A大于B





先化簡，再求值： ，其中





3.用兩種方法計算：（－）·.








答案與解析


1.【答案】C


【解析】化簡，與A互為相反數(shù)。





2.【答案】先化簡代入，得原式的值為。


【解析】化簡求值，先化簡，再求值。注意通分，因式分解，約分。





3.【答案】解方法一：（按運算順序，先計算括號里的算式）


（－）·


=（－）·


=·


==2x+8.


方法二：（利用乘法分配律）.


（－）·


=－





【解析】 本題可用分配律簡便計算。








五 、課堂小結(jié)








1．分式的乘除法的法則


2．分式運算的結(jié)果通常要化成最簡分式或整式.


3. 學會類比的數(shù)學方法


六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








計算的結(jié)果是（ ）


A． B． C． D．





計算的結(jié)果是。





已知：a=3, , 求的值．





已知．求的值





答案與解析


1.【答案】B


【解析】乘方與乘除的混合運算，注意運算順序及運算法則。





2.【答案】0


【解析】化簡





3.【答案】先化簡，再代入a=3, ，得原式的值是1.


【解析】化簡求值，先化簡，再求值。注意通分，因式分解，約分。





4.【答案】先化簡，再有得a=-1,b=-2,代入上式求原式的值為-1.


【解析】化簡求值，先化簡，再求值。注意絕對值與平方的非負性應(yīng)用，還要把握通分，因式分解，約分。





鞏固











計算：





已知，求的值.





先化簡，再求值：，其中滿足





答案與解析





1.【答案】


【解析】注意整數(shù)指數(shù)冪的計算法則與冪的運算一致。





2.【答案】由得.


化簡,代入，則原式的值為.


【解析】化簡求值，已知與所求均需化簡，此題方法不惟一。也可將所求分式，分子、分母同除以xy，再整體代入求值，化簡即可。





3.【答案】先化簡：，由得x=-2,則原式的值為5.





【解析】化簡求值，先化簡，再求值。注意通分，因式分解，約分。再由已知的等式得x的值，代入化簡式中，求得原式的值。











拔高











計算：（1）


（2）








（1）已知, 求的值．


（2）已知，求的值


（3）若，則 _________.





先化簡, 再選擇一個適當?shù)膞值代入并求值．








答案與解析


1.【答案】（1）；


（2）


【解析】整數(shù)指數(shù)冪的有關(guān)運算，注意運算法則。





2.【答案】（1）由，得=2；


（2）將兩邊同除以x，得，同（1）得=14


（3）同（2）講兩邊同除以x，得，得從而





【解析】分式與配方的結(jié)合題目，屬于?？碱}型，把握題目特征。





3.【答案】先化簡，x的值不唯一，比如x=2,原式的值為1.


【解析】化簡求值，先化簡再求值，注意分子、分母因式分解，再通分，計算。此處的陷阱為x不是任意選擇，需要保證式子及運算過程中，均有意義。





七 、教學反思




















適用學科
初中數(shù)學
適用年級
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
分式的乘除法；分式的加減法；分式的混合運算
教學目標
1、讓學生通過實踐總結(jié)分式的乘除法，并能較熟練地進行式的乘除法運算。


2、使學生理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運用乘方規(guī)律進行分式的乘方運算


3、使學生掌握同分母、異分母分式的加減，能熟練地進行同分母，異分母分式的加減運算。


4、通過同分母、異分母分式的加減運算，復習整式的加減運算、多項式去括號法則以及分式通分，培養(yǎng)學生分式運算的能力。


5、引導學生通過分析、歸納，培養(yǎng)學生用類比的方法探索新知識的能力
教學重點
分式的乘除法、乘方運算；同分母、異分母分式的加減法
教學難點
分式的乘除法、混合運算，以及分式乘法，除法、乘方運算中符號的確定。


分式的分子是多項式的分式減法的符號法則，去括號法則應(yīng)用。