期末復(fù)習(xí)一















































概 述














【教學(xué)建議】


1.做好復(fù)習(xí)動員，向?qū)W生明確復(fù)習(xí)計劃，指出復(fù)習(xí)重要性，鼓舞學(xué)生，激發(fā)學(xué)生自信。


2.根據(jù)學(xué)生各章掌握的具體情況與期末復(fù)習(xí)課的節(jié)數(shù)，制定具體的復(fù)習(xí)計劃，落實每節(jié)課的復(fù)習(xí)任務(wù)。


3.指導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，明確每一章的知識要點，落實基本方法，基本計算，基本證明等。


4.例題及習(xí)題的選用應(yīng)有明確的目的, 習(xí)題勿偏難繁，要回歸基礎(chǔ)，回歸教材。例題的選擇, 要明確針對學(xué)生易出現(xiàn)的錯誤類型, 使知識的復(fù)習(xí)達到再現(xiàn)和糾錯的目的, 對再次出現(xiàn)的問題應(yīng)重點鞏固。


5.制定適用于不同層次學(xué)生的復(fù)習(xí)安排，使不同學(xué)習(xí)程度的學(xué)生通過復(fù)習(xí)都能有收獲和提高。


























【知識導(dǎo)圖】

















教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識體系中，從學(xué)生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)。





復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)


1、復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)性質(zhì)


2、復(fù)習(xí)三角形全等的幾種證明方法


3、復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)性質(zhì)及判定方法


4、復(fù)習(xí)軸對稱圖形的性質(zhì)


5、復(fù)習(xí)等腰三角形，等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)


6、復(fù)習(xí)最短路徑問題








二、知識講解








考點1 三角形相關(guān)概念








【教學(xué)建議】通過前面的引導(dǎo)復(fù)習(xí)，形成基本框架，梳理填充。


不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形


組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點


三角形ABC用符號表示為△ABC。三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c 表示,頂點B所對的邊AC可用b表示,頂點A所對的邊BC可用a表示.


三角形的分類





三角形三邊的關(guān)系


三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊











考點2 三角形的角








三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°


用平行線的性質(zhì)證明內(nèi)角和180°


已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°。


證明：過點C作CM∥AB，則∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，


又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°


∴∠A+∠B+∠ACB=180°。


即：三角形的內(nèi)角和等于180°。








三角形外角的概念





∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。


三角形的外角共有六個。


注意：每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角。研究與三角形外角有關(guān)的問題時，通常每個頂點處取一個外角





三角形的外角∠ACD與相鄰的內(nèi)角∠ACB是鄰補角。


如圖，這是我們證明三角形內(nèi)角和定理時畫的輔助線，你能就此圖說明∠ACD與∠A、 ∠B的關(guān)系嗎？





∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2


∴∠ACD=∠A+∠B


三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。


三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。





考點3 三角形內(nèi)的重要線段








從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高，表示為AD⊥BC于點D。


注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。


再畫出這個三角形AB 、AC邊上的高，三角形的三條高相交于一點。


現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。


A


B


C


O


D


E


F





再畫出一個直角三角形三邊上的高，上面的結(jié)論還成立。


請畫出下列三角形的高


（1）


（2）


（3）





如圖，我們把連結(jié)△ABC的頂點A和它的對邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線，表示為BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.


在圖中畫出△ABC的另兩條邊上的中線，三角的三條中線相交于一點。





三角形的三條中線相交于一點，交點叫做三角形的重心。


請畫出下列三角形的中線


（1）


（2）


（3）





如圖，畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線,表示為∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。





三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。三角形三個角的平分線相交于一點。


如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結(jié)論仍然成立。


請畫出下列三角形的角平分線


（1）


（2）


（3）





角平分線性質(zhì)及判定


角平分線上的點到角兩邊的距離相等。


角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。








考點4 多邊形








多邊形概念


在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（p1ygn）


多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形。如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形。如圖7.3—2，螺母底面的邊緣可以設(shè)計為六邊形，也可以設(shè)計為八邊形。





多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。圖7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五邊形ABCDE的5個內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。圖7.3－4中的∠l是五邊形ABCDE的一個外角。





多邊形的對角線


連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線（diagnal）。圖7.3—5中，AC、AD是五邊形ABCDE的兩條對角線。


特別提醒：n邊形（n≥3）從一個頂點可引出（n－3）條對角線，把n邊形分割成（n－2）個三角形，共有對角線條。


例如：十邊形有________條對角線。在這里n=10，就可套用對角線條數(shù)公式（條）。





多邊形的內(nèi)角和


從四邊形的一個頂點出發(fā)可以引一條對角線，它們將四邊形分成兩個三角形，因此，四邊形的內(nèi)角和=△ABD的內(nèi)角和+△BDC的內(nèi)角和=2×180°=360°。


A


B


C


D





觀察下面的圖形





五邊形 六邊形


從五邊形一個頂點出發(fā)可以引兩條對角線，它們將五邊形分成三個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于540°；


從六邊形一個頂點出發(fā)可以引三條對角線，它們將六邊形分成四個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于720°；


從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引（n-3）對角線，它們將n邊形分成（n-2）三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n一2）·180°。


n邊形的內(nèi)角和等于（n一2）·180°．








考點5 三角形全等








全等三角形的判定


三角形全等的五種判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL


判定三角形全等的基本思路：








……








考點6 線段垂直平分線








要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，又由兩點確定一條直線這個公理，那么必須找到兩個到線段兩端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．


[例]如圖（1），點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？





已知：線段AB【如圖（1）】．


求作：線段AB的垂直平分線．


作法：如圖（2）


(1)．分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C和D兩點；


(2)．作直線CD．


直線CD就是線段AB的垂直平分線．





求直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題


講解內(nèi)容：只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置。








考點7 特殊三角形








等腰三角形的概念


有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形


相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，第三邊叫做底邊


腰與底邊的夾角叫做底角


兩腰的夾角叫做頂角


等腰三角形的特征


等腰三角形是軸對稱圖形


等腰三角形頂角的角平分線、底邊的中線、底邊上的高互相重合（也稱等腰三角形三線合一），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸


等腰三角形的兩個底角相等


等邊三角形


（1）性質(zhì)：①等邊三角形各邊都相等；②等邊三角形各角都相等，并且都等于60°。


（2）判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個角都相等的三角形是等邊三角形。③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形


特殊直角三角形


（1）含30°的直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊一半，且三邊長度比為1：：2；


（2）等腰直角三角形各邊長比為1：1：





三 、例題精析








類型一 三角形相關(guān)概念








例題1








如圖所示，三角形的個數(shù)是（ ）





A．3個 B．4個 C．5個 D．6個





【解析】BD，BE，BC，DE，DC，EC六條線段分別和A組成6個三角形．故選D





【總結(jié)與反思】數(shù)三角形的個數(shù)，不要漏，不要重，同數(shù)角或線段的方法。





例題2








【教學(xué)建議】本題有一定難度，需要考慮等腰三角形邊的分類。


用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形。


（1）如果腰長是底長的2倍，那么各邊的長是多少？


（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？


【解析】（1）設(shè)底邊長為xcm，


∵腰長是底邊的2倍，∴腰長為2xcm，


∴2x+2x+x=18，解得，x=cm，


∴2x=2×=cm，∴各邊長為：cm，cm，cm


（2）①當(dāng)4cm為底時，腰長==7cm；


②當(dāng)4cm為腰時，底邊=18-4-4=10cm，


∵4+4＜10，


∴不能構(gòu)成三角形，故舍去；


∴能構(gòu)成有一邊長為4cm的等腰三角形，另兩邊長為7cm，7cm．





【總結(jié)與反思】


本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，在解答此類題目時要注意分類討論，不要漏解


（1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm，根據(jù)周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長；


（2）題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應(yīng)該分情況進行分析，注意利用三角形三邊關(guān)系進行檢驗





類型二 三角形的高與中線





例題1








下面四個圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（ ）


A． B．C． D．





【解析】根據(jù)高的畫法知，過點B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，答案D符合。





【總結(jié)與反思】 注意高的定義是由頂點向所對邊作垂線段，把握特征，牢記定義。








例題2








BM是△ABC中AC邊上的中線，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM與△BCM的周長之差





【解析】5-3=2cm．答：△ABM與△BCM的周長之差為2cm．





【總結(jié)與反思】 根據(jù)三角形的中線的概念，由BM是△ABC中AC邊上的中線得AM=CM．所以△ABM與△BCM的周長之差為AB與BC的差．





類型三 角平分線





例題1








如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則求∠AEC的度數(shù)？








【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，


∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；


又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形內(nèi)角和定理），


∴∠DAC+∠ACF


=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）


=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），


∴∠AEC=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°；


故答案是：66.5°．











【總結(jié)與反思】同一三角形兩個不同角的外角的角平分線，形成的角，與第三個角的關(guān)系是∠E=90°-∠B.








例題2








（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O．


①已知∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)，∠A與∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？


②若∠A=n°，則∠A與∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？


（2）如圖2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分線與∠A′C′B′的外角平分線相交于O′，請你探索∠A′與∠O′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？











【解析】（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：


∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，


∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，


而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，


∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，


∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），


∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，


∴2∠BOC=180°+∠A，


∴∠BOC=90°+∠A．


①當(dāng)∠A=40°，∠BOC=110°；


②當(dāng)∠A=n°，∠BOC=90°+°


（2）∠B′O′C′=∠A′．理由如下：


∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′，


而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′D，


∴∠A′C′D=2∠O′C′D，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，


∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，


∴2∠B′O′C′=∠A′，


即∠B′O′C′=∠A′．





【總結(jié)與反思】


（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．


（2）根據(jù)角平分線的定義得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性質(zhì)有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；





類型四 多邊形





例題1








如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角．若∠A=120°，則∠1+∠2+∠3+∠4= ．








【解析】由題意得，∠5=180°-∠EAB=60°，


又∵多邊形的外角和為360°，


∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．


故答案為：300°





【總結(jié)與反思】 多邊形外角和為360°，不隨邊數(shù)的改變而改變。每一個頂點處有兩個外角，求外角和只需選其中一個，加起來即為外角之和360°.





類型五 全等





例題1








如圖，小華不小心把一塊三角形玻璃打碎為三塊，他能否只帶其中一塊碎片到商店，就能配出一塊和原來一樣的三角形玻璃？如果能，帶哪一塊去？為什么？








【解析】a只保留了一個角及部分邊，不能配成和原來一樣的三角形玻璃；


b則只保留了部分邊，不能配成和原來一樣的三角形玻璃；


而c不但保留了一個完整的邊還保留了兩個角，所以應(yīng)該帶“C”去，根據(jù)全等三角形判定“ASA”可以配出一塊和原來一樣的三角形玻璃．





【總結(jié)與反思】此題是對全等三角形的判定方法在實際生活中的考查，通過實際情況來考查學(xué)生對常用的判定方法的掌握情況．








例題2








已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E


求證：PD=PE．








【解析】證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠PDO=∠PEO=90°


在△PDO和△PEO中，





∴△PDO≌△PEO（AAS）


∴PD=PE


【總結(jié)與反思】 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．





類型六 軸對稱與軸對稱圖形





例題1








下列圖案屬于軸對稱圖形的是（ ）











【解析】C.軸對稱圖形是將一個圖形沿一條直線折疊，直線兩邊的部分能夠完全重合的圖形。符合題意的是C.





【總結(jié)與反思】 識別軸對稱圖形，關(guān)鍵確定對稱軸，在實際操作時可以拿一條直尺或?qū)D形對折，驗證即可。








四 、課堂運用








基礎(chǔ)











用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是( ).


A．SAS B．SSSC．ASA D．AAS


D


A


B


C


O


D’


A’


B’


C’


O’











下列說法中：


①P是線段AB上的一點，直線l經(jīng)過點P且l⊥AB，則l是線段AB的垂直平分線；


②直線l經(jīng)過線段AB的中點，則l是線段AB的垂直平分線；


③若AP=PB，且直線l垂直于線段AB，則l是線段AB的垂直平分線；


④經(jīng)過線段AB的中點P且垂直于AB的直線l是線段AB的垂直平分線．


其中正確的個數(shù)有（ ）


A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，則AE


的值是（ ）


A．63 B．43 C．6 D．4











如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線。求∠ADB得度數(shù)。








答案與解析


1.【答案】B


【解析】尺規(guī)作圖中，圓規(guī)起到截取等長線段的作用，故截出三段等長，用SSS可證全等，得對應(yīng)角相等。





2. 【答案】C


【解析】①P不是AB的中點，則l不平分線段AB，故錯誤；


②直線l經(jīng)過線段AB的中點，且垂直于AB則l是線段AB的垂直平分線，故錯誤；


③若AP=PB，則P在線段AB的垂直平分線上，但l不一定是線段AB的垂直平分線，故錯誤；④正確．故選A





3. 【答案】C


【解析】由角平分線的定義得到∠CBE=∠ABE，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，則∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．


解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，


∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，


∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．


故選C．





4. 【答案】∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°，


∴∠DAB=∠BAC=20°，


∵∠B=75°，


∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°


【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°。


根據(jù)角平分線定義求出∠DAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可．








鞏固








如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分線相交于點F，連接AF，則下列結(jié)論正確的


有（ ）


AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上結(jié)論都正確








若一個多邊形截去一個角后，變成十五邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（ ）


A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17





如下圖，Rt△ADC與Rt△BCD，AC=BD，求證AD=BC








答案與解析


1.【答案】B


【解析】解：過F點分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為E、G、D，


∵∠ABC、∠ACB外角的平分線相交于點F，


∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．


故選B．








2.【答案】A


【解析】一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，則多邊形的邊數(shù)是14，15或16．故選A．





3. 【答案】證明：在Rt△ADC與Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.


∴Rt△ADC與Rt△BCD.（HL）


∴AD=BC.（全等三角形的對應(yīng)邊相等）


【解析】HL（斜邊、直角邊）


即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。








拔高








如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DC=2，則D到AB邊的距離是______








如圖所示，DE是線段AB的垂直平分線，下列結(jié)論一定成立的是（ ）


A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°








如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AM+NB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）








答案與解析


1.【答案】2


【解析】過D作DE⊥AB于E，得出DE的長度是D到AB邊的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=ED，代入求出即可．


解：過D作DE⊥AB于E，則DE的長度就是D到AB邊的距離．


∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，


∴DC=DE=2（角平分線性質(zhì)），


故答案為：2．





2. 【答案】∵DE是線段AB的垂直平分線，


∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°


其它選項無法證明其是正確的．故選D


【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得等腰三角形ADB，運用等腰三角形的性質(zhì)得出盡量多的結(jié)論，與各選項進行比對，答案可得








3. 【答案】1.將點A沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到A'，


2.連接A'B交河對岸于點N,


則點N為建橋的位置，MN為所建的橋。





【解析】由平移的性質(zhì)，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'


所以A、B兩地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B


若橋的位置建在M'N'處，則AB兩地的距離為： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B


在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B


所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短。











五 、課堂小結(jié)








1、本次課主要針對期末考試前學(xué)習(xí)的幾何內(nèi)容進行綜合復(fù)習(xí)：


復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)性質(zhì)


復(fù)習(xí)三角形全等的幾種證明方法


復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)性質(zhì)及判定方法


復(fù)習(xí)軸對稱圖形的性質(zhì)


復(fù)習(xí)等腰三角形，等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)


復(fù)習(xí)最短路徑問題


六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








已知MN是線段AB的垂直平分線，下列說法正確的是（ ）


A．與AB距離相等的點在MN上


B．與點A和點B距離相等的點在MN上


C．與MN距離相等的點在AB上


D．AB垂直平分MN





如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC．下列結(jié)論：①BE=CD；②∠BOD=60°；


③∠BDO=∠CEO，正確的是 ．








等邊三角形ABC中BD是中線且為6cm，延長BC至E，使CE=CD，連接DE，則DE的長是


cm．








如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，若


△DEB的周長為10cm，求斜邊AB的長








答案與解析


1. 【答案】B


【解析】∵MN是線段AB的垂直平分線，


∴與點A和點B距離相等的點在MN上，MN垂直平分AB．


故B正確；A、C、D錯誤．故選B





2. 【答案】①②


【解析】∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，


在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC


=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正確；②正確；


∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根據(jù)已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴說∠BDO=∠CEO錯誤，∴③錯誤；





3. 【答案】6．


【解析】∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．


又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵BD是6cm，∴DE=BD=6CM





4. 【答案】∵AD平分∠BAC


∴DE=CD


∴△ACD≌△AED


∴AC=CB=AE


∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm


【解析】由AD平分∠BAC交BC于點D，可以知道本題滿足角平分線的性質(zhì)定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，則AC=CB=AE，則AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出





鞏固











如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F，若∠F=30°，DE=1，則EF的長是（ ）


A．3 B．2 C． D．1











如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=











如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度數(shù)．








答案與解析





1. 【答案】B


【解析】連接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．


解：連接AF，


∵DF是AB的垂直平分線，∴AF=BF，


∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，


∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，


∵DE=1，∴AE=2DE=2，∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2，


故選B．





2.【答案】2


【解析】作EG⊥OA于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠EFG=30°，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半解題





3. 【答案】因為AB=AC，BD=BC=AD，


所以∠ABC=∠C=∠BDC．


∠A=∠ABD（等邊對等角）．


設(shè)∠A=x，則


∠BDC=∠A+∠ABD=2x，


從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．


于是在△ABC中，有


∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，


解得x=36°．


在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．


【解析】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，我們可以得到


∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，


再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．


再由三角形內(nèi)角和為180°，就可求出△ABC的三個內(nèi)角．











拔高











如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，則∠A的度數(shù)


為








△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等；∠A=40°，則


∠BOC=_____.








如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.








答案與解析


1. 【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，


∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，


∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，


∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，


∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，


∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，


∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，


∴∠A=度


【解析】由已知根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠C與∠A之間的關(guān)系，從而再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可





2. 【答案】由已知，O到三角形三邊距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，


即三條角平分線交點，AO，BO，CO都是角平分線，


所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，


∠ABC+∠ACB=180-40=140°


∠OBC+∠OCB=70°


∠BOC=180-70=110°


【解析】由已知，O到三角形三邊距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．





3. 【答案】分別作點A關(guān)于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′A″，分別交OM，ON于點


B、點C，則點B、點C即為所求





【解析】若點取在B'、C'處∵A和A'關(guān)于OM對稱，A和A''關(guān)于ON對稱∴AB=A'B，AC=A''C，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC的周長=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周長=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''長度最小，∴點B和點C即為使三角形周長最小的點。








七 、教學(xué)反思


適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
三角形的相關(guān)概念；與三角形有關(guān)的邊；與三角形有關(guān)的角；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；軸對稱：最短路徑問題
教學(xué)目標(biāo)
理解三角形三邊不等的關(guān)系，會判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形,并能運用它解決有關(guān)的問題；


認識三角形的高、中線與角平分線；會畫三角形的高、中線與角平分線；了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點；掌握三角形內(nèi)角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性質(zhì)，能利用三角形外角的性質(zhì)解決問題


了解多邊形及有關(guān)概念，理解正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念；能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會應(yīng)用它們進行有關(guān)計算．


全等三角形及全等三角形的對應(yīng)元素；全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定；應(yīng)用角的平分線性質(zhì)定理；


軸對稱：最短路徑問題
教學(xué)重點
三角形三邊間的不等關(guān)系；三角形的高、中線與角平分線；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角和三角形外角的性質(zhì)


多邊形及有關(guān)概念、正多邊形的概念；多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和公式；應(yīng)用角的平分線性質(zhì)定理．


等腰三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)


軸對稱：最短路徑問題
教學(xué)難點
用三角形三邊不等關(guān)系判定三條線段可否組成三角形；三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別；理解三角形的外角；


多邊形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)；應(yīng)用角的平分線性質(zhì)定理．等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)


軸對稱：最短路徑問題

相關(guān)教案

初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊15.3 分式方程精品教學(xué)設(shè)計：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊15.3 分式方程精品教學(xué)設(shè)計，共21頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【精品講義】 人教版 八年級上冊數(shù)學(xué) 第16講 期末復(fù)習(xí)一（講義+練習(xí)）學(xué)生版：

這是一份人教版八年級上冊本冊綜合優(yōu)質(zhì)教案設(shè)計，共27頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識導(dǎo)圖，如圖（1），總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)八年級上冊15.2 分式的運算綜合與測試優(yōu)質(zhì)教案：

這是一份數(shù)學(xué)八年級上冊15.2 分式的運算綜合與測試優(yōu)質(zhì)教案，共20頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

數(shù)學(xué)八年級上冊15.1 分式綜合與測試獲獎教案

數(shù)學(xué)八年級上冊15.1 分式綜合與測試獲獎教案
初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊14.3 因式分解綜合與測試優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計

初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊14.3 因式分解綜合與測試優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計
【精品講義】 人教版 八年級上冊數(shù)學(xué) 第17講 期末復(fù)習(xí)二（講義+練習(xí)）教師版

【精品講義】 人教版 八年級上冊數(shù)學(xué) 第17講 期末復(fù)習(xí)二（講義+練習(xí)）教師版
【精品講義】 人教版 八年級上冊數(shù)學(xué) 第09講 期中復(fù)習(xí)（講義+練習(xí)）教師版

【精品講義】 人教版 八年級上冊數(shù)學(xué) 第09講 期中復(fù)習(xí)（講義+練習(xí)）教師版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊電子課本

本冊綜合

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部