課時(shí)目標(biāo)
1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感、推理能力和模型意識(shí).
2.能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),感悟整體思想.
3.通過(guò)合作學(xué)習(xí),體會(huì)在解決具體問(wèn)題過(guò)程中與他人合作的重要性,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索性和創(chuàng)造性.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
平方差公式的運(yùn)算法則.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
平方差公式的運(yùn)算法則的靈活應(yīng)用.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
情境引入
麗麗去商店買了單價(jià)是9.8元的糖果10.2千克,售貨員剛拿起計(jì)算器,麗麗就說(shuō)出應(yīng)付99.96元,結(jié)果與售貨員計(jì)算出的結(jié)果相吻合.售貨員很驚訝地說(shuō):“你好像是個(gè)神童,怎么算得這么快?”
麗麗說(shuō):“過(guò)獎(jiǎng)了,我利用了在數(shù)學(xué)上剛學(xué)過(guò)的一個(gè)公式.”
猜想麗麗運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)公式?大家會(huì)用什么方法計(jì)算應(yīng)付全額?
設(shè)計(jì)意圖:用學(xué)生身邊的事做例子,符合他們的生活經(jīng)驗(yàn),激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣.
探究新知
問(wèn)題1:計(jì)算下列多項(xiàng)式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
(1)(x+1)(x-1)- x2-1 ;(2)(m+2)(m-2)= m2-4 ;(3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 .
解:規(guī)律為:左邊為兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)差的積,右邊為這兩個(gè)數(shù)的平方差.
追問(wèn):你能用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)嗎?說(shuō)說(shuō)你的猜想.
師生活動(dòng):教師鼓勵(lì)學(xué)生小組討論,總結(jié)規(guī)律.
運(yùn)用符號(hào)表示:(a+b)(a-b)=a2-b2.
問(wèn)題2:你能借助圖形的面積,說(shuō)明猜想的正確性嗎?
學(xué)生小組合作,完成拼剪活動(dòng),利用幾何圖形面積的相等關(guān)系,驗(yàn)證平方差公式:
左圖中藍(lán)色區(qū)域面積=大正方形-小正方形=a2-b2;
右圖中藍(lán)色區(qū)域面積=長(zhǎng)×寬=(a+b)(a-b);
得到(a+b)(a-b)=a2-b2.
師生共同歸納得出公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,這個(gè)公式叫做平方差公式.
師生活動(dòng):教師強(qiáng)調(diào)公式中的a,b既可以表示單項(xiàng)式,也可以表示具體的數(shù)或多項(xiàng)式.
在此基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言敘述公式并總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征.
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這個(gè)公式叫做(乘法的)平方差公式.
結(jié)構(gòu)特征:
(1)公式中的a和b,既可以是具體的數(shù),也可以是單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式;
(2)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積,并且有一項(xiàng)完全相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù);
(3)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的絕對(duì)值的平方.
設(shè)計(jì)意圖:由特殊到一般,通過(guò)引導(dǎo),與學(xué)生共同抽象概括出平方差公式.利用幾何圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證平方差公式,滲透數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面思考問(wèn)題.
典例精講
例1 計(jì)算:
(1)(3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y).
解:(1)原式=(3x)2-22=9x2-4. (2)原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
例2 計(jì)算:
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (2)102×98.
解:(1)原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
(2)原式=(100+2)(100-2)=1002-22=10 000-4=9 996.
例3 先化簡(jiǎn),再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
解:原式=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2.
當(dāng)x=1,y=2時(shí),原式=5×12-5×22=-15.
設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)設(shè)置了兩種類型的題.一類為混合運(yùn)算,讓學(xué)生理解一般形式的乘法運(yùn)算與特殊形式的乘法運(yùn)算的區(qū)別和聯(lián)系;一類為簡(jiǎn)便運(yùn)算,強(qiáng)調(diào)只有符合公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的乘法,才能用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí).
鞏固訓(xùn)練
1.利用平方差公式計(jì)算:
(1)(3+2a)(-3+2a); (2)(a+3b)(a-3b); (3) (-2x2-y)(-2x2+y).
解:(1)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9.
(2)原式=(a)2-(3b)2=a2-9b2.
(3)原式=(-2x2)2-y2=4x4-y2.
2.利用平方差公式計(jì)算:
(1) (a-2)(a+2)(a2+4); (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解:(1)原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.
(2)原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.
3.先化簡(jiǎn),再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2.
解:原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1.
將x=2代入上式,原式=2×22-1=7.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)鞏固訓(xùn)練,進(jìn)一步鞏固所學(xué)新知,同時(shí)檢測(cè)學(xué)習(xí)效果.
課堂小結(jié)
1.兩數(shù) 和 與這兩數(shù) 差 的 積 ,等于這兩個(gè)數(shù)的 平方差 .
2.(a+b)(a-b)= a2-b2 .
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié),及時(shí)鞏固平方差公式的定義,加深學(xué)生對(duì)平方差公式的理解和掌握,為后面的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).
課堂8分鐘.
1.教材第112頁(yè)習(xí)題14.2第1題.
2.七彩作業(yè).
教學(xué)反思

14.2.2 完全平方公式
第1課時(shí) 完全平方公式
課時(shí)目標(biāo)
1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力.
2.能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),滲透整體、數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想.
3.通過(guò)合作學(xué)習(xí),體會(huì)在解決具體問(wèn)題過(guò)程中與他人合作的重要性,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索性和創(chuàng)造性.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
完全平方公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用公式.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
情境引入
現(xiàn)有如圖所示的三種規(guī)格的硬紙片各若干張,請(qǐng)你根據(jù)二次三項(xiàng)式a2+2ab+b2,選取相應(yīng)種類和數(shù)量的硬紙片,拼出一個(gè)正方形,并探究所拼出的正方形的代數(shù)意義.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)任務(wù)助推教學(xué)方式,讓學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí),幫助學(xué)生溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,促進(jìn)知識(shí)的遷移.
探究新知
問(wèn)題1:計(jì)算下列多項(xiàng)式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1;
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-4m+4.
師生活動(dòng):教師組織學(xué)生通過(guò)觀察上面的運(yùn)算結(jié)果中的每一項(xiàng),猜測(cè)它們的共同特點(diǎn).
分成小組,學(xué)生交流并且討論后回答:
解:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
教師引導(dǎo)學(xué)生用文字概括這個(gè)規(guī)律:兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.
問(wèn)題2:如果將該正方形田地的邊長(zhǎng)增加或者縮減b米生成新正方形,則新正方形的邊長(zhǎng)是多少?怎么表示新正方形各部分的面積?怎么表示新正方形的面積?
師生活動(dòng):學(xué)生小組討論,選擇三個(gè)小組代表分別回答三個(gè)問(wèn)題.
1.新正方形的邊長(zhǎng)=a+b.
2.大正方形的面積=a2;長(zhǎng)方形的面積=ab;小正方形的面積=b2.
3.①面積法求得新正方形的面積=(a+b)2;②通過(guò)新正方形各部分的面積相加求得新正方形的面積=a2+2ab+b2.
教師和學(xué)生共同討論第三個(gè)問(wèn)題,得到:(a+b)2=a2+2ab+b2.
教師總結(jié)完全平方公式:
文字?jǐn)⑹?兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.
符號(hào)敘述:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
設(shè)計(jì)意圖:教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何用圖形面積來(lái)探究完全平方公式.通過(guò)設(shè)問(wèn),降低難度,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)表示各部分的面積和整體的面積驗(yàn)證完全平方公式,體會(huì)完全平方公式的幾何背景.
典例精講
例1 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:
(1)(4m+n)2;(2)y-122.
解:(1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)原式=y2-2·y·12+122=y2-y+14.
例2 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:
(1)1022;(2)992.
解:(1)原式=(100+2)2=10 000+400+4=10 404.
(2)原式=(100-1)2=10 000-200+1=9 801.
例3 已知x-y=6,xy=-8.求:
(1)x2+y2的值;(2)(x+y)2的值.
解:(1)x2+y2=(x-y)2+2xy=62+2×(-8)=20.
(2)(x+y)2=(x-y)2+4xy=62+4×(-8)=4.
設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)知識(shí)最直接的應(yīng)用,也是體現(xiàn)公式優(yōu)越性的實(shí)例,對(duì)計(jì)算題的講解有利于學(xué)生掌握本節(jié)課所學(xué)知識(shí),通過(guò)設(shè)置不同類型的題目,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,拓展學(xué)生的思維.
鞏固訓(xùn)練
1.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:
(1)(6a+5b)2= 36a2+60ab+25b2 ;(2)(4x-3y)2= 16x2-24xy+9y2 ;
(3)(2m-1)2= 4m2-4m+1 ;(4)(-2m-1)2= 4m2+4m+1 .
2.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解:∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②,得4xy=48.∴xy=12.
設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步鞏固所學(xué)新知,同時(shí)檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,及時(shí)查漏補(bǔ)缺.
課堂小結(jié)
這節(jié)課你有什么收獲?
1.(a+b)2= a2+2ab+b2 ;(a-b)2= a2-2ab+b2 .
2.a2+b2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2 +2ab .
3.(a+b)2-(a-b)2= 4ab .
設(shè)計(jì)意圖:總結(jié)出本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn),加深學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解和掌握.
課堂8分鐘.
1.教材第112頁(yè)習(xí)題14.2第2題.
2.七彩作業(yè).
教學(xué)反思

第2課時(shí) 添括號(hào)法則
課時(shí)目標(biāo)
1.掌握添括號(hào)法則,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.
2.熟練運(yùn)用添括號(hào)法則,滲透類比、轉(zhuǎn)化和整體思想.
3.會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行整式變形,使學(xué)生進(jìn)一步靈活運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算,發(fā)展模型意識(shí).
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
通過(guò)添括號(hào),構(gòu)造公式結(jié)構(gòu)形式,運(yùn)用公式計(jì)算.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
靈活運(yùn)用乘法公式.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
回顧引入
復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的乘法公式:
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
同學(xué)們,你會(huì)計(jì)算(x+2y-3)(x-2y+3)嗎?帶著這個(gè)問(wèn)題,我們走進(jìn)今天的課堂.
設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生回憶平方差公式和完全平方公式,進(jìn)一步鞏固平方差公式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)以及公式中a和b的意義.通過(guò)任務(wù)助推教學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí),幫助學(xué)生體會(huì)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,促進(jìn)知識(shí)的遷移.
探究新知
去括號(hào)法則
請(qǐng)同學(xué)們完成下列運(yùn)算并回憶去括號(hào)法則.
(1)a+(b+c)= a+b+c .
(2)a-(b-c)= a-b+c .
師生活動(dòng):師生共同回憶去括號(hào)法則,強(qiáng)調(diào)遇加不變,遇減都變,為學(xué)習(xí)添括號(hào)做好知識(shí)儲(chǔ)備.
教師引導(dǎo):把上面兩個(gè)等式的左右兩邊反過(guò)來(lái),也就是添括號(hào).同學(xué)們可不可以總結(jié)出添括號(hào)法則呢?
學(xué)生總結(jié):(1)a+b+c=a+(b+c).
(2)a-b+c=a-(b-c).
添括號(hào)其實(shí)就是把去括號(hào)反過(guò)來(lái),所以添括號(hào)法則是:
①添括號(hào)時(shí),如果括號(hào)前面是正號(hào),括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào);
②如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào),括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)比去括號(hào)法則,讓學(xué)生自主推導(dǎo)得出添括號(hào)法則,完成從去括號(hào)到添括號(hào)的過(guò)渡,體會(huì)添括號(hào)法則與去括號(hào)法則是互逆變形的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.
典例精講
例1 運(yùn)用乘法公式計(jì)算:
(1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2.
解:(1)原式=[x+(2y-3)] [x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12xy+9)=x2-4y2+12xy-9.
(2)原式=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
例2 計(jì)算:
(1)(a-b+c)2; (2) (1-2x+y)(1+2x-y).
解:(1)原式=[(a-b)+c]2=(a-b)2+c2+2(a-b)c=a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc.
(2)原式=[1-(2x-y)][1+(2x-y)]=12-(2x-y)2=1-4x2+4xy-y2.
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生獨(dú)立完成,教師巡視指導(dǎo).本題旨在讓學(xué)生熟練運(yùn)用法則簡(jiǎn)化運(yùn)算,進(jìn)一步突出重點(diǎn)、難點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì),也讓學(xué)生在解題過(guò)程中獲得成功的體驗(yàn).
鞏固訓(xùn)練
1.對(duì)整式-a+2b-c添括號(hào),正確的是( A )
A.-(a-2b+c) B.-(a-2b-c) C.-(a+2b-c) D.-(a+2b+c)
2.不改變x+(y-z)的值,把括號(hào)前的“+”變成“-”,其結(jié)果正確的是( D )
A.x-(y-z) B.x-(-y-z) C.x-(y+z) D.x-(-y+z)
3.計(jì)算:
(1)(3a+b-2)(3a-b+2); (2)(x-y-m+n)(x-y+m-n).
解:(1)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]=(3a)2-(b-2)2=9a2-b2+4b-4.
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]=(x-y)2-(m-n)2=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)鞏固訓(xùn)練,進(jìn)一步鞏固所學(xué)新知,同時(shí)檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并糾正.
課堂小結(jié)
1.你在本節(jié)課中有哪些收獲?
2.添括號(hào)時(shí),如果括號(hào)前面是正號(hào),括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào);如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào),括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié),強(qiáng)化添括號(hào)法則的記憶,加深學(xué)生對(duì)添括號(hào)法則的理解和掌握,為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).
課堂8分鐘.
1.教材第112頁(yè)習(xí)題14.2第3題.
2.七彩作業(yè).
教學(xué)反思

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)電子課本

本節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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