1.能應(yīng)用相似三角形的有關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題；2.了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
相似三角形的判定（1）通過(guò)平行線.（2）三邊對(duì)應(yīng)成比例.（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等 .（4）兩角相等.
根據(jù)下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？(1) ∠A=120°，AB=7 ，AC=14 ∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2) AB=4 ，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21 (3) ∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°
【例1】據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度.如圖，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影子FD長(zhǎng)為3m測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.
因此金字塔的高為134m.
解析：太陽(yáng)光是平行光線，因此∠BAO= ∠ EDF，又 ∠ AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF BO：EF=OA：FD
【例2】如圖為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q垂直P(pán)S的直線b的交點(diǎn)R，如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m.求河的寬度PQ.
解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST. PQ：PS=QR:ST， 即PQ：（PQ+QS）=QR：ST， PQ：（PQ+45）=60:90, PQ×90=(PQ+45) ×60， 解得PQ=90.因此河寬大約為90m.
如圖，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB.
解析：∵∠B=∠C=90°， ∠ADB=∠EDC， ∴△ABD∽△ECD， AB：EC=BD：DC， AB=50×120÷60 =100（m）
利用相似三角形測(cè)量瓶子的內(nèi)徑
學(xué)具準(zhǔn)備：等長(zhǎng)的兩根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺
過(guò)程：兩人合作先把兩根小木棒用橡皮筋捆好，然后將等長(zhǎng)的兩根小木棒的一端放進(jìn)瓶子里，使兩根小木棒抵住瓶底并緊靠瓶子的邊緣，再用刻度尺測(cè)出小木棒另兩端的距離．構(gòu)造相似并計(jì)算瓶子內(nèi)徑．
【解析】設(shè)點(diǎn)O將兩根小木棒都分成了1/n，如果我們測(cè)出線段AB的長(zhǎng)度為m，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，我們就可以求出內(nèi)徑CD的長(zhǎng)度了，即CD=mn．
【規(guī)律方法】相似三角形的性質(zhì)是我們常常用來(lái)證明線段等積式的重要方法，也是我們用來(lái)求線段的長(zhǎng)度與角度相等的重要方法．
如圖，已知△ACB的邊AB、AC上的點(diǎn)D、E，且∠ADE=∠C，求證：AD·AB=AE·AC．
【解析】 ∵∠ADE=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB（如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似） ∴AD︰AC=AE︰AB 即AD·AB=AE·AC．
1.（樂(lè)山中考）某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量學(xué)校旗桿AC的高度，在點(diǎn)F處豎立一根長(zhǎng)為1.5米的標(biāo)桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長(zhǎng)度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長(zhǎng)度為6米，那么旗桿AC的高度為（ ）（A）6米 （B）7米 （C）8.5米 （D）9米
2.（衡陽(yáng)中考）如圖，已知零件的外徑為25mm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等，OC=OD）量零件的內(nèi)孔直徑AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，則零件的厚度x= mm．
3.如圖：與小孔O相距32cm處有一枝長(zhǎng)30cm燃燒的蠟燭AB，經(jīng)小孔，在與小孔相距20cm的屏幕上成像，求像A′B′的長(zhǎng)度.
【解析】根據(jù)題意,得: △ABO∽△A′B′O過(guò)點(diǎn)O作AB、A′B′的垂線，垂足分別為Ｃ、Ｃ′，則由相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，得
解得：A′B′＝18.75(cm)
答：像A′B′的長(zhǎng)度為18.75cm.

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27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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