數(shù)學必修第一冊第五章三角函數(shù)本章綜合與測試當堂達標檢測題-試卷下載-教習網(wǎng)

章末綜合測評(五) 三角函數(shù)

(滿分：150分時間：120分鐘))

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．cs275°＋cs215°＋cs 75°cs 15°的值等于( )

A.eq \f(\r(6),2) B．eq \f(3,2)

C.eq \f(5,4) D．1＋eq \f(\r(3),4)

C [∵cs 75°＝sin 15°，

∴原式＝sin215°＋cs215°＋sin 15°cs 15°

＝1＋eq \f(1,2)sin 30°＝1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4).]

2．化簡cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))得( )

A．sin 2α B．－sin 2α

C．cs 2α D．－cs 2α

A [原式＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))

＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin 2α.]

3．已知sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α＝eq \f(4,5)，且β在第三象限，則cseq \f(β,2)的值等于( )

A．±eq \f(\r(5),5) B．±eq \f(2\r(5),5)

C．－eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)

A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝eq \f(4,5)，

得sin β＝－eq \f(4,5).

∵β在第三象限，

∴cs β＝－eq \f(3,5)，

∴cseq \f(β,2)＝±eq \r(\f(1＋cs β,2))＝±eq \r(\f(1,5))＝±eq \f(\r(5),5).]

4．若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象(部分)如圖所示，則ω和φ的取值是( )

A．ω＝1，φ＝eq \f(π,3) B．ω＝1，φ＝－eq \f(π,3)

C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,6)

C [由圖象知，T＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝4π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(1,2).

又當x＝eq \f(2π,3)時，y＝1，

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2π,3)＋φ))＝1，

eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，當k＝0時，φ＝eq \f(π,6).]

5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝eq \f(4,5)，－eq \f(π,2)＜α＜0，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α等于( )

A．－eq \f(4\r(3),5) B．－eq \f(3\r(3),5)

C.eq \f(3\r(3),5) D．eq \f(4\r(3),5)

A [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝－eq \r(3)×eq \f(4,5)＝－eq \f(4\r(3),5).]

6．已知tan α和taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，則a，b，c的關(guān)系是( )

A．b＝a＋c B．2b＝a＋c

C．c＝a＋b D．c＝ab

C [由根與系數(shù)的關(guān)系得：

tan α＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(b,a)，

tan αtaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(c,a)，

taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))

＝eq \f(tan α＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),1－tan αtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))

＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，

得c＝a＋b.]

7．函數(shù)f(x)＝Asin ωx(ω＞0)，對任意x有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－a，那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))等于( )

A．a(chǎn) B．2a

C．3a D．4a

A [由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，

得f(x＋1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋\f(1,2)))

＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)－\f(1,2)))＝f(x)，

即1是f(x)的周期．而f(x)為奇函數(shù)，

則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝a.]

8．甲、乙兩人從直徑為2r的圓形水池的一條直徑的兩端同時按逆時針方向沿水池做勻速圓周運動，已知甲的速度是乙的速度的兩倍，乙繞水池一周停止運動，若用θ表示乙在某時刻旋轉(zhuǎn)角的弧度數(shù)，l表示甲、乙兩人的直線距離，則l＝f(θ)的大致圖象是( )

B [由題意知θ＝π時，兩人相遇排除A，C，兩人的直線距離大于等于零，排除D，故選B.]

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分．

9．已知函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，那么下列式子恒成立的是( )

A．f(x＋2π)＝f(x－2π) B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)－x))＝f(x)

C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－x))＝f(x) D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－x))＝－f(x)

AB [∵函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，

∴f(x＋2π)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(2π,3)))，f(x－2π)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(4π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(2π,3)))，故A成立．

∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－\f(x,2)－\f(π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(x,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，故B成立．∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\f(x,2)－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(x,2)))≠f(x)，故C不成立．

feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(x,2)－\f(π,3)))＝cs eq \f(x,2)≠f(x)，故D不成立．故選AB.]

10．已知f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,12)))，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是eq \f(5,3)π，則ω的值為( )

A．－eq \f(3,10) B.eq \f(5,3)

C.eq \f(3,10) D．－eq \f(5,3)

AC [由題可得eq \f(T,4)＝eq \f(5π,3)，故eq \f(2π,4|ω|)＝eq \f(5π,3)，所以ω＝±eq \f(3,10).

故選AC.]

11．已知函數(shù)f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，對于任意的a∈[0,1)，方程f(x)－a＝1(0≤x≤m)僅有一個實數(shù)根，則m的一個取值可以為( )

A.eq \f(π,8) B.eq \f(π,2)

C.eq \f(5π,8) D．eq \f(3π,4)

AB [函數(shù)f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，對于任意的a∈[0,1)，方程f(x)－a＝1(0≤x≤m)僅有一個實數(shù)根，等價于函數(shù)y＝f(x)－1與函數(shù)y＝a的圖象的交點個數(shù)為1，

由函數(shù)y＝f(x)－1的最小正周期為π，與x軸的交點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋\f(kπ,2)，0))k∈Z，可知，

當a∈[0,1)時，eq \f(π,8)≤m＜eq \f(5π,8)，m的一個取值可以為eq \f(π,8)或eq \f(π,2)；

故選AB.]

12．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的最大值為eq \r(2)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為eq \f(π,2)，且f(x)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))對稱，則下列判斷正確的是( )

A．要得到函數(shù)f(x)的圖象只需將y＝eq \r(2)cs 2x的圖象向右平移eq \f(π,6)個單位

B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(5,12)π對稱

C．當x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))時，函數(shù)f(x)的最小值為－eq \f(\r(2),2)

D．函數(shù)f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增

AC [函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)中，A＝eq \r(2)，eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，

∴T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2，

又f(x)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))對稱，∴ωx＋φ＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＋φ＝kπ，

解得φ＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，∴φ＝eq \f(π,6)，

∴f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))；

對于A，y＝eq \r(2)cs 2x向右平移eq \f(π,6)個單位，得y＝eq \r(2)·cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的圖象，

且y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，∴A正確；

對于B，x＝eq \f(5π,12)時，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(5π,12)＋\f(π,6)))＝0，f(x)的圖象不關(guān)于x＝eq \f(5π,12)對稱，B錯誤；

對于C，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))時，2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，f(x)的最小值為－eq \f(\r(2),2)，C正確；

對于D，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))時，2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))，f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，D錯誤．

故選AC.]

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．

13．已知tan α＝－eq \r(3)，eq \f(π,2)＜α＜π，那么cs α－sin α的值是．

－eq \f(1＋\r(3),2) [因為tan α＝－eq \r(3)，eq \f(π,2)＜α＜π，所以α＝eq \f(2π,3)，

所以cs α＝－eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2)，

cs α－sin α＝－eq \f(1＋\r(3),2).]

14．設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上一點，且cs α＝eq \f(x,5)，則tan 2α＝ .

eq \f(24,7) [因為α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，所以x＜0，

因為cs α＝eq \f(x,5)＝eq \f(x,\r(x2＋16))，所以x＝－3，

所以tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3)，

所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).]

15．已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，α∈(0，π)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12))) .(本題第一空2分，第二空3分)．

eq \f(－2\r(2),3) eq \f(2\r(2)＋3,6) [∵sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),3)，

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，∵α∈(0，π)，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，

又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，

∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，

∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2\r(2),3).

sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sineq \f(π,6)＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(2)＋\r(3),6).]

16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，有下列說法：

①y＝f(x)的最大值為eq \r(2)；

②y＝f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；

③y＝f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上單調(diào)遞減；

④將函數(shù)y＝eq \r(2)cs 2x的圖象向左平移eq \f(π,24)個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．

其中正確說法的序號是．(把你認為正確的說法的序號都填上)

①②③ [∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)－\f(π,3)))

＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))

＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))，

∴f(x)max＝eq \r(2)，即①正確．

T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π，即②正確．

f(x)的遞減區(qū)間為2kπ≤2x－eq \f(π,12)≤2kπ＋π(k∈Z)，

即kπ＋eq \f(π,24)≤x≤kπ＋eq \f(13π,24)(k∈Z)，

k＝0時，eq \f(π,24)≤x≤eq \f(13π,24)，即③正確．

將函數(shù)y＝eq \r(2)cs 2x向左平移eq \f(π,24)個單位得

y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,24)))))≠f(x)，

所以④不正確．]

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．(本小題滿分10分)已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，且角α在第四象限，計算：

(1)sin(2π－α)；

(2)eq \f(sin[α＋?2n＋1?π]＋sin?π＋α?,sin?π－α?·cs?α＋2nπ?)(n∈Z)．

[解] 因為cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，

所以－cs α＝－eq \f(1,2)，cs α＝eq \f(1,2).

又角α在第四象限，

所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(3),2).

(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]

＝sin(－α)＝－sin α＝eq \f(\r(3),2).

(2)eq \f(sin[α＋?2n＋1?π]＋sin?π＋α?,sin?π－α?·cs?α＋2nπ?)

＝eq \f(sin?α＋2nπ＋π?－sin α,sin αcs α)

＝eq \f(sin?π＋α?－sin α,sin αcs α)

＝eq \f(－2sin α,sin αcs α)＝eq \f(－2,cs α)＝－4.

18．(本小題滿分12分)已知α，β為銳角，sin α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝eq \f(3,5).

(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值；

(2)求cs β的值．

[解] (1)∵α為銳角，sin α＝eq \f(1,7)，

∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4\r(3),7)，

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin αcseq \f(π,6)＋cs αsineq \f(π,6)

＝eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(3),14).

(2)∵α，β為銳角，∴α＋β∈(0，π)，

由cs(α＋β)＝eq \f(3,5)得，sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2?α＋β?)＝eq \f(4,5)，

∴cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \f(3,5)×eq \f(4\r(3),7)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,7)＝eq \f(4＋12\r(3),35).

19．(本小題滿分12分)已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(3,2)，x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝sin 2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

[解] (1)T＝eq \f(2π,2)＝π，由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，知kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)．

所以所求函數(shù)的最小正周期為π，所求的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．

(2)變換情況如下：

20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,2)))上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值．

[解] (1)因為f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq \f(2π,2)＝π.

由－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，

得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z)，

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)．

(2)因為f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,8)))上為增函數(shù)，在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(π,2)))上為減函數(shù)，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝eq \r(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝－eq \r(2)cseq \f(π,4)＝－1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,2)))上的最大值為eq \r(2)，此時x＝eq \f(π,8)；最小值為－1，此時x＝eq \f(π,2).

21．(本小題滿分12分)已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，且滿足sin2(A＋C)＝eq \r(3)sin Bcs B，cs(C－A)＝－2cs 2A.

(1)試判斷△ABC的形狀；

(2)已知函數(shù)f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x(x∈R)，求f(A＋45°)的值．

[解] (1)∵sin2(A＋C)＝eq \r(3)sin Bcs B，

∴sin2B＝eq \r(3)sin Bcs B，

∵sin B≠0，∴sin B＝eq \r(3)cs B，∴tan B＝eq \r(3)，

∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，

又cs(C－A)＝－2cs 2A，

得cs(120°－2A)＝－2cs 2A，

化簡得sin 2A＝－eq \r(3)cs 2A，解得tan 2A＝－eq \r(3)，

又0°＜A＜120°，∴0°＜2A＜240°，

∴2A＝120°，∴A＝60°，∴C＝60°，

∴△ABC為等邊三角形．

(2)∵f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x

＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－\f(\r(3),2)cs x))

＝2(sin xcs 60°－cs xsin 60°)

＝2sin(x－60°)，

∴f(A＋45°)＝2sin 45°＝eq \r(2).

22．(本小題滿分12分)如圖，矩形ABCD的長AD＝2eq \r(3)，寬AB＝1，A，D兩點分別在x，y軸的正半軸上移動，B，C兩點在第一象限，求OB2的最大值．

[解] 過點B作BH⊥OA，垂足為H.

設(shè)∠OAD＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2)))，則∠BAH＝eq \f(π,2)－θ，

OA＝2eq \r(3)cs θ，

BH＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ，

AH＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ，

∴B(2eq \r(3)cs θ＋sin θ，cs θ)，

OB2＝(2eq \r(3)cs θ＋sin θ)2＋cs2θ

＝7＋6cs 2θ＋2eq \r(3)sin 2θ

＝7＋4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3))).

由0＜θ＜eq \f(π,2)，知eq \f(π,3)＜2θ＋eq \f(π,3)＜eq \f(4π,3)，

所以當θ＝eq \f(π,12)時，OB2取得最大值7＋4eq \r(3).

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