課時(shí)分層作業(yè)(四十九) 簡(jiǎn)單的三角恒等變換


(建議用時(shí)：40分鐘)





一、選擇題


1．函數(shù)f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈R，則f(x)( )


A．是奇函數(shù)


B．是偶函數(shù)


C．既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)


D．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)


D [原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))))


＝eq \f(1,2)(1－sin 2x)


＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2x，


此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．]


2．已知eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，則eq \f(cs α,sin α－1)的值為( )


A.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)


C.eq \r(3) D．－eq \r(3)


B [∵eq \f(cs α,1＋sin α)·eq \f(cs α,sin α－1)＝eq \f(cs2α,sin2α－1)＝eq \f(1－sin2α,sin2α－1)＝－1


且eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，∴eq \f(cs α,sin α－1)＝－eq \f(\r(3),3).]


3．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，則sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝( )


A．－eq \f(1,9) B.eq \f(1,9)


C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)


A [sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A


＝eq \f(1－cs?B＋C?,2)＋2cs2A－1


＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1


＝－eq \f(1,9).]


4．已知tan 2α＝eq \f(3,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，函數(shù)f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f(x)≥0恒成立，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值為( )


A．－eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)


C．－eq \f(2\r(3),5) D．－eq \f(\r(3),5)


A [由tan 2α＝eq \f(3,4)，即eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4)，得tan α＝eq \f(1,3)或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cs xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－eq \f(3,\r(10))，cs α＝eq \f(1,\r(10))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)－cs αsineq \f(π,4)＝－eq \f(2\r(5),5)，故選A.]


5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcs x，則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)減區(qū)間分別為( )


A．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))


C．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))


B [∵f(x)＝1－cs 2x＋sin 2x


＝1＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，


∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，


由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，


得f(x)的單調(diào)減區(qū)間為


eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(7π,8)＋kπ，k∈Z，


當(dāng)k＝0時(shí)，得f(x)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))，故選B.]


二、填空題


6．有以下四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：


①?x0∈R，sin2eq \f(x0,2)＋cs2eq \f(x0,2)＝eq \f(1,2)；②?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③?x∈[0，π]，eq \r(\f(1－cs 2x,2))＝sin x；④sin x＝cs y?x＋y＝eq \f(π,2).


其中假命題的序號(hào)為 ．


①④ [因?yàn)閟in2eq \f(x,2)＋cs2eq \f(x,2)＝1≠eq \f(1,2)，所以①為假命題；當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②為真命題；因?yàn)閑q \r(\f(1－cs 2x,2))＝eq \r(\f(1－?1－2sin2x?,2))＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③為真命題；當(dāng)x＝eq \f(π,2)，y＝2π時(shí)，sin x＝cs y，但x＋y≠eq \f(π,2)，所以④為假命題．]


7．化簡(jiǎn)下列各式：


(1)eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，則eq \r(1－sin 2α)＝ .


(2)α為第三象限角，則eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝ .


(1)sin α－cs α (2)0 [(1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α＞cs α，


∴eq \r(1－sin 2α)＝eq \r(1－2sin αcs α)


＝eq \r(sin2α－2sin αcs α＋cs2α)


＝eq \r(?sin α－cs α?2)＝sin α－cs α.


(2)∵α為第三象限角，∴cs α＜0，sin α＜0，


∴eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝eq \f(\r(2cs2α),cs α)－eq \f(\r(2sin2α),sin α)


＝eq \f(－\r(2)cs α,cs α)－eq \f(－\r(2)sin α,sin α)＝0.]


8．函數(shù)f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是 ．


[－5,3] [f(x)＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.


當(dāng)sin x＝1時(shí)，f(x)取得最大值3，


當(dāng)sin x＝－1時(shí)，f(x)取得最小值－5，


所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－5,3]．]


三、解答題


9．求證：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).


[證明] 法一：(由左推右)taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)


＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))


＝eq \f(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(sin x,cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(2sin x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))))


＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).


法二：(由右推左)eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x)


＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2).


10．已知函數(shù)f(x)＝2cs2eq \f(x,2)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2.


(1)求證：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)；


(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的單調(diào)區(qū)間，并求使h(x)取到最小值時(shí)x的值．


[解] (1)證明過(guò)程如下：f(x)＝2cs2eq \f(x,2)＝1＋cs x，


g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))eq \s\up12(2)


＝1＋2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)


＝1＋sin x，


∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋sin x，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)，


命題得證．


(2)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)＝cs x－sin x


＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs x－\f(\r(2),2)sin x))


＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


∵x∈[0，π]，


∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，


當(dāng)eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤π，


即0≤x≤eq \f(3π,4)時(shí)，h(x)遞減，


當(dāng)π≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，即eq \f(3π,4)≤x≤π時(shí)，h(x)遞增．


∴函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，


單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，


根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性，可知當(dāng)x＝eq \f(3π,4)時(shí)，函數(shù)h(x)取到最小值．





11．設(shè)a＝eq \f(1,2)cs 7°＋eq \f(\r(3),2)sin 7°，b＝eq \f(2tan 19°,1－tan219°)，c＝eq \r(\f(1－cs 72°,2))，則有( )


A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c


C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a


A [∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，


c＝sin 36°，


∴b＞a＞c.]


12．設(shè)α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs β,1－sin β)，則( )


A．2α＋β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)


C．α＋2β＝eq \f(π,2) D．α－2β＝eq \f(π,2)


B [由題意得sin α－sin αsin β＝cs αcs β，


sin α＝cs(α－β)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(α－β)．


∵eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴eq \f(π,2)－α＝α－β或eq \f(π,2)－α＋α－β＝0(舍去)，


∴2α－β＝eq \f(π,2).]


13．若函數(shù)f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x

相關(guān)試卷

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.1 任意角和弧度制達(dá)標(biāo)測(cè)試：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.1 任意角和弧度制達(dá)標(biāo)測(cè)試，共5頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)4.1 指數(shù)當(dāng)堂檢測(cè)題：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)4.1 指數(shù)當(dāng)堂檢測(cè)題，共4頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)3.3 冪函數(shù)當(dāng)堂檢測(cè)題：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)3.3 冪函數(shù)當(dāng)堂檢測(cè)題，共6頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)1.3 集合的基本運(yùn)算同步練習(xí)題

人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)1.3 集合的基本運(yùn)算同步練習(xí)題
人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)1.1 集合的概念鞏固練習(xí)

人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)1.1 集合的概念鞏固練習(xí)
數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)1.3 集合的基本運(yùn)算達(dá)標(biāo)測(cè)試

數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)1.3 集合的基本運(yùn)算達(dá)標(biāo)測(cè)試
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)1.1 集合的概念習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)1.1 集合的概念習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.5 三角恒等變換

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部