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課時(shí)分層作業(yè)(四十八) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

(建議用時(shí)：40分鐘)

一、選擇題

1.eq \f(sin 20°cs 20°,cs2155°－sin2155°)的值是( )

A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)

C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)

A [原式＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cs 310°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).]

2．若sineq \f(α,2)＝eq \f(12,13)，cseq \f(α,2)＝－eq \f(5,13)，則角α是( )

A．第一象限的角 B．第二象限的角

C．第三象限的角 D．第四象限的角

C [∵sin α＝2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝2×eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＜0，

cs α＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up12(2)＜0，

∴α是第三象限的角．]

3．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，則sin 2α＝( )

A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9)

C.eq \f(2,9) D．eq \f(7,9)

A [∵sin α－cs α＝eq \f(4,3)，

∴1－2sin αcs α＝eq \f(16,9)，

即1－sin 2α＝eq \f(16,9)，∴sin 2α＝－eq \f(7,9).]

4．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，則tan 2α＝( )

A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4)

C．－eq \f(4,3) D．eq \f(4,3)

B [因?yàn)閑q \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，

整理得tan α＝－3，

所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×?－3?,1－?－3?2)＝eq \f(3,4).]

5．已知等腰三角形底角的正弦值為eq \f(\r(5),3)，則頂角的正弦值是( )

A.eq \f(4\r(5),9) B.eq \f(2\r(5),9)

C．－eq \f(4\r(5),9) D．－eq \f(2\r(5),9)

A [設(shè)底角為θ，則θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，頂角為180°－2θ.

∵sin θ＝eq \f(\r(5),3)，∴cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(2,3)，

∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcs θ

＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).]

二、填空題

6．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，則cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .

eq \f(1,6) [cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6).]

7．已知tan α＝－eq \f(1,3)，則eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝ .

－eq \f(5,6) [eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)

＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6).]

8．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq \f(4,3)，則tan α＝ .

－eq \f(1,2) [∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(4,3)，

∴tan α＝－eq \f(1,2)或tan α＝2.

∵α在第二象限，∴tan α＝－eq \f(1,2).]

三、解答題

9．求證：eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝taneq \f(θ,2).

[證明] eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)

＝eq \f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2))

＝eq \f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2))),2cs\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))))＝taneq \f(θ,2).

10．已知cs x＝eq \f(\r(10),10)，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．

[解] ∵cs x＝eq \f(\r(10),10)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，

∴sin x＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3\r(10),10)，

∴sin 2x＝2sin xcs x＝－eq \f(3,5)，

∴eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x

＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs \f(π,4)－sin 2xsin \f(π,4)))＋eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2x＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(4,5).

11．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于( )

A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)

C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(1,3)

C [因?yàn)閏seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))

＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，

所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1

＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,9).]

12．tan 70°cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)＝( )

A．1 B．－1

C.eq \f(1,2) D．2

B [原式＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin 20°,cs 20°)－1))

＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)

＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(2sin?－10°?,cs 20°)

＝－eq \f(sin 70°,cs 70°)·eq \f(sin 20°,cs 20°)

＝－1.]

13．已知sin22α＋sin 2αcs α－cs 2α＝1，則銳角α＝ .

eq \f(π,6) [由原式，得sin22α＋sin 2αcs α－2cs2α＝0，

∴(2sin αcs α)2＋2sin αcs2α－2cs2α＝0，

∴2cs2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，

∴2cs2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.

∵α為銳角，

∴cs2α≠0，sin α＋1≠0，

∴2sin α－1＝0，

∴sin α＝eq \f(1,2)，

∴α＝eq \f(π,6).]

14．(一題兩空)已知α，β均為銳角，且3sin α＝2sin β，3cs α＋2cs β＝3，則sin α＝，α＋2β＝ .

eq \f(4\r(2),9) π [由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(2,3)sin β， ①,cs α＝1－\f(2,3)cs β， ②))

①2＋②2得cs β＝eq \f(1,3)，cs α＝eq \f(7,9)，

由α，β均為銳角知，sin β＝eq \f(2\r(2),3)，sin α＝eq \f(4\r(2),9)，

∴tan β＝2eq \r(2)，tan α＝eq \f(4\r(2),7)，

∴tan 2β＝－eq \f(4\r(2),7)，

∴tan(α＋2β)＝0.

又α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，

∴α＋2β＝π.]

15．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且α∈(0，π)．

(1)求tan 2α的值；

(2)求2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))).

[解] (1)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，得sin αcs α＝－eq \f(12,25)，因?yàn)棣痢?0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，

所以sin α－cs α

＝eq \r(2－?sin α＋cs α?2)＝eq \f(7,5)，

解得sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，

故tan α＝－eq \f(4,3)，

所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).

(2)2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))

＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))

＝1－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(1,2)cs α

＝1－cs α

＝eq \f(8,5).

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