課時分層作業(yè)(四十二) 周期性與奇偶性


(建議用時：40分鐘)





一、選擇題


1．下列函數(shù)中最小正周期為π的偶函數(shù)是( )


A．y＝sineq \f(x,2) B．y＝cseq \f(x,2)


C．y＝cs x D．y＝cs 2x


D [A中函數(shù)是奇函數(shù)，B、C中函數(shù)的周期不是π，只有D符合題目要求．]


2．設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是( )





B [由f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱．


由f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期為2.故選B.]


3．函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期為eq \f(π,5)，其中ω＞0，則ω等于( )


A．5 B．10


C．15 D．20


B [由已知得eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(π,5)，又ω＞0，


所以eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,5)，ω＝10.]


4．函數(shù)y＝|cs x|－1的最小正周期為( )


A.eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


B [因為函數(shù)y＝|cs x|－1的周期同函數(shù)y＝|cs x|的周期一致，由函數(shù)y＝|cs x|的圖象(略)知其最小正周期為π，所以y＝|cs x|－1的最小正周期也為π.]


5．定義在R上的函數(shù)f(x)周期為π，且是奇函數(shù)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))的值為( )


A．1 B．－1


C．0 D．2


B [由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－1.]


二、填空題


6．關于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下說法：


①對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；


②存在φ，使f(x)是偶函數(shù)；


③存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；


④對任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)．


其中錯誤的是 (填序號)．


①④ [φ＝0時，f(x)＝sin x，是奇函數(shù)，φ＝eq \f(π,2)時，f(x)＝cs x是偶函數(shù)．]


7．若函數(shù)f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期為T，且T∈(1,4)，則正整數(shù)ω的最大值為 ．


6 [T＝eq \f(2π,ω)，1＜eq \f(2π,ω)＜4，則eq \f(π,2)＜ω＜2π，


∴ω的最大值是6.]


8．若f(x)為奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝cs x－sin x，當x＜0時，f(x)的解析式為 ．


f(x)＝－cs x－sin x [x＜0時，－x＞0，


f(－x)＝cs(－x)－sin(－x)＝cs x＋sin x，


因為f(x)為奇函數(shù)，


所以f(x)＝－f(－x)＝－cs x－sin x，


即x＜0時，f(x)＝－cs x－sin x．]


三、解答題


9．已知函數(shù)y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|.


(1)畫出函數(shù)的簡圖；


(2)此函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，求其最小正周期．


[解] (1)y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]?k∈Z?，,0，x∈[2kπ－π，2kπ]?k∈Z?，))圖象如下：





(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是2π.


10．判斷函數(shù)f(x)＝lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))的奇偶性．


[解] ∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋eq \r(1＋sin2?－x?)]


＝lg(eq \r(1＋sin2x)－sin x)＝lgeq \f(?1＋sin2x?－sin2x,\r(1＋sin2x)＋sin x)


＝lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))－1＝－lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))


＝－f(x)．


又當x∈R時，均有sin x＋eq \r(1＋sin2x)＞0，


∴f(x)是奇函數(shù)．





11．函數(shù)f(x)＝eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x)是( )


A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)


C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)


C [由1＋sin x≠0得sin x≠－1，


所以函數(shù)f(x)的定義域為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ－\f(π,2)，))k∈Z))，不關于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．]


12．設函數(shù)f(x)＝sineq \f(π,3)x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝( )


A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)


C．0 D．eq \r(3)


A [∵f(x)＝sineq \f(π,3)x的周期T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，


∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝336eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)＋sin\f(2,3)π＋sin π＋sin\f(4,3)π＋sin\f(5,3)π＋sin 2π))＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＋f(336×6＋4)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sineq \f(π,3)＋sineq \f(2,3)π＋sineq \f(3,3)π＋sineq \f(4π,3)＝eq \f(\r(3),2).]


13．已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當0＜x＜3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)cs x＜0的解集是 ．





eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) [∵f(x)是(－3,3)上的奇函數(shù)，∴g(x)＝f(x)·cs x是(－3,3)上的奇函數(shù)，從而觀察圖象(略)可知所求不等式的解集為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)).]


14．(一題兩空)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13，則函數(shù)f(x)的周期T＝ ，若f(1)＝2，則f(99)＝ .


4 eq \f(13,2) [因為f(x)·f(x＋2)＝13，


所以f(x＋2)＝eq \f(13,f?x?)，


所以f(x＋4)＝eq \f(13,f?x＋2?)＝eq \f(13,\f(13,f?x?))＝f(x)，


所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，


所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝eq \f(13,f?1?)＝eq \f(13,2).]





15．已知函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，若函數(shù)g(x)的最小正周期是π，且當x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))，求關于x的方程g(x)＝eq \f(\r(3),2)的解集．


[解] 當x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，


g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).


因為x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，


所以由g(x)＝eq \f(\r(3),2)


解得x＋eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)或eq \f(π,6)，


即x＝－eq \f(π,2)或－eq \f(π,6).


又因為g(x)的最小正周期為π，


所以g(x)＝eq \f(\r(3),2)的解集為


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,2)))或x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z)).


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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

5.4 三角函數(shù)的圖象與性質

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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