課時分層作業(yè)(四十) 公式五和公式六


(建議用時：40分鐘)





一、選擇題


1．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(1,2).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))


＝－sin α＝－eq \f(1,2).]


2．已知sin 10°＝k，則cs 620°的值為( )


A．k B．－k


C．±k D．不確定


B [cs 620°＝cs(360°＋260°)＝cs 260°


＝cs(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.]


3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于( )


A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)


C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)


A [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)＋\f(π,2)))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).故選A.]


4．若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，則cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )


A．－eq \f(2a,3) B．－eq \f(3a,2)


C.eq \f(2a,3) D．eq \f(3a,2)


B [由sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，


得－sin α－sin α＝－a，


即sin α＝eq \f(a,2)，


cs(270°－α)＋2sin(360°－α)


＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)a.]


5．化簡：eq \f(sin?θ－5π?cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs?8π－θ?,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin?－θ－4π?)＝( )


A．－sin θ B．sin θ


C．cs θ D．－cs θ


A [原式＝eq \f(sin?θ－π?cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,cs θsin?－θ?)


＝eq \f(?－sin θ??－sin θ?cs θ,cs θ?－sin θ?)＝－sin θ.]


二、填空題


6．化簡sin(π＋α)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs(π＋α)＝ .


－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cs α·(－cs α)


＝－sin2α－cs2α＝－1.]


7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|＜eq \f(π,2)，則tan φ＝ .


－eq \r(3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)，sin φ＝－eq \f(\r(3),2)，


又∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴cs φ＝eq \f(1,2)，故tan φ＝－eq \r(3).]


8．已知α是第四象限角，且cs(5°＋α)＝eq \f(4,5)，則cs(α－85°)＝ .


－eq \f(3,5) [因為α是第四象限角，且cs(5°＋α)＝eq \f(4,5)＞0，所以5°＋α是第四象限角，


所以sin(5°＋α)＝－eq \r(1－cs2?5°＋α?)＝－eq \f(3,5)，


所以cs(α－85°)＝cs(5°＋α－90°)


＝sin(5°＋α)＝－eq \f(3,5).]


三、解答題


9．已知角α的終邊經(jīng)過點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))).


(1)求sin α的值；


(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan?α－π?,sin?α＋π?cs?3π－α?)的值．


[解] (1)因為點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，


所以|OP|＝1，sin α＝－eq \f(3,5).


(2)eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan?α－π?,sin?α＋π?cs?3π－α?)


＝eq \f(cs αtan α,－sin α?－cs α?)＝eq \f(1,cs α)，


由三角函數(shù)定義知cs α＝eq \f(4,5)，故所求式子的值為eq \f(5,4).


10．求證：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan?9π＋θ?＋1,tan?π＋θ?－1).


[證明] 左邊＝eq \f(－2cs θ·sin θ－1,sin2θ＋cs2θ－2sin2θ)


＝eq \f(－?sin θ＋cs θ?2,?cs θ＋sin θ??cs θ－sin θ?)


＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)，


右邊＝eq \f(tan?8π＋π＋θ?＋1,tan?π＋θ?－1)


＝eq \f(tan?π＋θ?＋1,tan?π＋θ?－1)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)


＝eq \f(\f(sin θ,cs θ)＋1,\f(sin θ,cs θ)－1)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)，


所以等式成立．





11．若f(cs x)＝cs 2x，則f(sin 15°)的值為( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)


C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)


A [因為f(sin 15°)＝f(cs 75°)＝cs 150°＝－eq \f(\r(3),2).]


12．計算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )


A．89 B．90


C.eq \f(89,2) D．45


C [原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).]


13．已知eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，則sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＝ .


eq \f(3,10) [∵eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2, sin θ＝3cs θ，


∴tan θ＝3.


sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＝sin θcs θ


＝eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)


＝eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(3,10).]


14．(一題兩空)已知f(α)＝eq \f(tan?π－α?cs?2π－α?sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs?－α－π?).


(1)化簡f(α)＝ .


(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，則tan α＝ .


(1)sin α (2)－eq \f(4,3) [(1)f(α)


＝eq \f(tan?π－α?cs?2π－α?sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs?－α－π?)


＝eq \f(－tan α·cs α·cs α,－cs α)＝sin α.


(2)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－eq \f(3,5)，得cs α＝－eq \f(3,5)，


又α是第二象限角，


所以sin α＝eq \r(1－cs2 α)＝eq \f(4,5)，


則tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).]





15．是否存在角α，β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由．


[解] 由條件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))


①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2，


所以sin2α＝eq \f(1,2).


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


所以α＝eq \f(π,4)或α＝－eq \f(π,4).


將α＝eq \f(π,4)代入②，得cs β＝eq \f(\r(3),2).


又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知符合．


將α＝－eq \f(π,4)代入②得cs β＝eq \f(\r(3),2)，


又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知不符合．


綜上可知，存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)滿足條件.


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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

5.3 誘導(dǎo)公式

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