第1課時 分式的加減運算














┃教學(xué)過程設(shè)計┃








【教學(xué)目標】


1.經(jīng)歷探索分式加減運算法則的過程，理解其算法、算理，會進行簡單分式的加減運算，具有一定的代數(shù)化歸能力.


2.學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)運算方法和技巧，提高運算能力，增強“用數(shù)學(xué)”的意識.


【重點難點】


重點：分式的加減運算.


難點：異分母的分式加減法運算.
教學(xué)過程
設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課


問題1：分式是如何進行乘除的？它們與分數(shù)乘除類似嗎？


eq \f(b,a)×eq \f(d,c)＝eq \f(bd,ac)，eq \f(b,a)÷eq \f(d,c)＝eq \f(b,a)·eq \f(c,d)＝eq \f(bc,ad)，它們與分數(shù)的乘除類似.


問題2：從完善運算的角度出發(fā)，分式的運算還需要研究什么嗎？


數(shù)的運算有加、減、乘、除、乘方，估計分式的運算也有這類運算，所以估計還需要研究分式的加減運算.


問題3：從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條是平路，第二條有1km的上坡路，2km的下坡路，小麗在上坡路上的騎車速度為vkm/h，在平路上的騎車速度為2vkm/h，在下坡路上的騎車速度為3vkm/h，那么


(1)當走第二條路時，她從甲地到乙地需要多長時間？


(2)她走哪條路花費時間少？少用多長時間？


師：當小麗從甲地到乙地走第二條路時需要多少時間？用式子表示為？


生： SKIPIF 1 < 0 .


師：小麗走哪條路花費時間少？怎么比較？


生：作差比較，用式子表示為 SKIPIF 1 < 0


師：以上兩個式子你會計算嗎？涉及什么運算？


生：分式的加法和減法，現(xiàn)在還不會.


師順勢點題：那我們現(xiàn)在就來一起學(xué)習(xí)分式的加減.
通過問題導(dǎo)引，從知識的發(fā)展所需和實際問題的解決所求，營造出探索未知領(lǐng)域的氛圍.以回顧分式的乘除法則為起點，類比分數(shù)的運算，通過一個貼近學(xué)生生活的實際問題打破認知平衡，不論是情景問題的解決還是分式運算的完善，都能讓學(xué)生順其自然地感受到分式的加減運算“勢在必學(xué)”.
二、師生互動，探究新知


活動1：找朋友(把運算結(jié)果相等的找出來)：


①eq \f(4,5)－eq \f(1,5)；②eq \f(2,15)＋eq \f(8,15)；③eq \f(4,3)＋eq \f(2,3)；④eq \f(2,3)；⑤2；⑥eq \f(3,5).


在找朋友的過程中，復(fù)習(xí)了同分母的分數(shù)的加減運算及算法：同分母分數(shù)相加減時，分母不變，分子相加減.用符號表示為eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c)(☆).


活動2：繼續(xù)找朋友(剛才是在數(shù)中找朋友，換成式呢)：


①eq \f(4,m)；②eq \f(3,a)－eq \f(1,a)；③eq \f(7,m)－eq \f(3,m)；④eq \f(3,n－1)－eq \f(2,n－1)；⑤eq \f(1,n－1)；⑥eq \f(2,a).


有了活動1的引導(dǎo)，估計學(xué)生不難得出，朋友分別是：①與③，②與⑥，④與⑤.


可通過追問：“你們是怎樣得到的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與式的內(nèi)在聯(lián)系.


只要將式☆中的a，b，c由數(shù)轉(zhuǎn)換成整式即可，至此得到同分母分式的加減法法則：分母不變，分子相加減.式子與數(shù)一樣.


活動3：


計算：(1)(教材上的例6(1))eq \f(5x＋3y,x2－y2)－eq \f(2x,x2－y2)；(2)eq \f(y,x－y)＋eq \f(x,y－x)；


(3)eq \f(2xy2＋1,（x－y）2)－eq \f(1＋2x2y,（y－x）2).


解：(1)eq \f(5x＋3y,x2－y2)－eq \f(2x,x2－y2)＝eq \f(5x＋3y－2x,x2－y2)＝eq \f(3x＋3y,x2－y2)＝eq \f(3（x＋y）,（x＋y）（x－y）)＝eq \f(3,x－y).


(2)eq \f(y,x－y)＋eq \f(x,y－x)＝eq \f(y,x－y)＋eq \f(x,－（x－y）)＝eq \f(y,x－y)－eq \f(x,x－y)＝eq \f(y－x,x－y)＝eq \f(－（x－y）,x－y)＝－1.


(3)eq \f(2xy2＋1,（x－y）2)－eq \f(1＋2x2y,（y－x）2)＝eq \f(2xy2＋1,（x－y）2)－eq \f(1＋2x2y,（x－y）2)＝eq \f(2xy2＋1－（1＋2x2y）,（x－y）2)＝eq \f(2xy2－2x2y,（x－y）2)＝eq \f(－2xy（x－y）,（x－y）2)＝－eq \f(2xy,x－y).


(1)是同分母分式的加減法，學(xué)生可以獨立完成，但要注意最后的化簡；(2)(3)實際上是(1)的變式，教學(xué)時注意引導(dǎo)：


①它們能直接運算嗎？


不能，因為它們的分母不相同.


②怎樣處理后能進行運算？


化為同分母，也就是通分.


完成后，提出問題：從上述問題的解決過程中你覺得分式加減要注意什么？


①要注意把不同分母化為同分母；


②相反因式的奇偶次數(shù)要分清，奇次冪仍為相反因式，偶次冪變成相同的因式；


③要注意符號的變化；


④加減步驟完成后要看分式是否已化為最簡.


活動4：有了前面的經(jīng)驗，你能計算eq \f(y,x－y)＋eq \f(x,x＋y)嗎？


學(xué)生試做，完成后引導(dǎo)學(xué)生歸納異分母分式的加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.用式子表示為eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad,bd)±eq \f(bc,bd)＝eq \f(ad±bc,bd).















設(shè)置這兩個找朋友的活動的目的是為了促成同分母分數(shù)加減運算的正遷移，以實現(xiàn)數(shù)式轉(zhuǎn)換.
























































活動3中，由于異分母運算是難點，(2)(3)兩小題在做好引導(dǎo)的前提下要敢于放手，學(xué)生在試做的過程中，估計會暴露問題，此時可通過學(xué)生的辨析自行明晰，便于分散突破本節(jié)的難點.過程中要注意反問的引導(dǎo)，完成后要發(fā)揮反思歸納的作用，(2)題就是一個異分母的特例，通過此題的解決，讓學(xué)生從特殊到一般自然地意識到異分母分式加減時必須先化為同分母，為比較復(fù)雜的異分母的出場掃清了障礙.活動4把真正的異分母提出，可通過學(xué)生嘗試后交流獲得異分母加減法則.
三、運用新知，解決問題


1.計算：(1)eq \f(1,2p＋3q)＋eq \f(1,2p－3q)；


(2)eq \f(3,x＋2)＋eq \f(1,2－x)＋eq \f(2x,x2－4)；


(3)eq \f(2x2,x－1)－x－1.


第(1)小題學(xué)生解答應(yīng)該沒有問題；第(2)小題有一定的綜合性，可把分母的各多項式按x的降冪排列，再將能分解因式的實施分解，找最簡公分母，轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法；(3)難度不大，但比較特殊，是一個整式與一個分式相加減，對初學(xué)的學(xué)生而言可能產(chǎn)生阻力，應(yīng)把這個整式看作一個分母是1的式子來進行通分，注意－x－1＝－(x＋1)，負號問題不容忽視.


2.教材第141頁練習(xí)2.
遞進式的三個計算，使學(xué)生的思維不斷面對新的挑戰(zhàn)，鍛煉學(xué)生的計算技能與轉(zhuǎn)化意識.要引導(dǎo)學(xué)生通過反思得到異分母的分式加減法的一般步驟：(1)通分，將異分母的分式化成同分母的分式；(2)寫成“分母不變，分子相加減”的形式；(3)分子去括號，合并同類項；(4)分子、分母約分，將結(jié)果化成分式的最簡形式或整式的形式.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點


本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？在知識應(yīng)用過程中需要注意什么？你有什么收獲？
五、布置作業(yè)，鞏固提升


必做題：教材第146頁、147頁 第4，5，12題


選做題：教材第147頁 第13，15題



【教學(xué)反思】


本設(shè)計的特點突出表現(xiàn)在：


(1)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)組織教學(xué)，類比分數(shù)的加減運算，促成正向遷移，同化新知，鞏固新知.培根說過：類比聯(lián)想，支配發(fā)明.可見，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會類比將受益終生.


(2)把情境創(chuàng)設(shè)貫穿于課堂的始終，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思、學(xué)會歸納，有助于內(nèi)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略方法，提高認知水平.






第2課時 分式的混合運算





┃教學(xué)過程設(shè)計┃














【教學(xué)目標】


1.明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運算.


2.通過嘗試性練習(xí)，經(jīng)歷運算順序的探索過程，學(xué)會類比分數(shù)的運算并遷移到分式運算中去.能利用事物之間的類比性分析問題、解決問題.


3.通過學(xué)習(xí)混合運算以及在生活中的應(yīng)用，知道任何事物之間是相互聯(lián)系的，理論來源于實踐，服務(wù)于實踐.


【重點難點】


重點：熟練地進行分式的混合運算.


難點：熟練地進行分式的混合運算.
教學(xué)過程
設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課


請同學(xué)們計算下列題目：


(1)eq \f(a2,a－b)－eq \f(b2,a－b)；(2)eq \f(2a,a2－4)＋eq \f(1,2－a)；


(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4)eq \f(a2－4,8a2b)·eq \f(12ab,3a－6).


解：(1)eq \f(a2,a－b)－eq \f(b2,a－b)＝eq \f(a2－b2,a－b)＝eq \f(（a＋b）（a－b）,a－b)＝a＋B.


(2)eq \f(2a,a2－4)＋eq \f(1,2－a)＝eq \f(2a,a2－4)－eq \f(1,a－2)＝eq \f(2a,（a－2）（a＋2）)－eq \f(a＋2,（a－2）（a＋2）)＝eq \f(2a－（a＋2）,（a－2）（a＋2）)＝eq \f(a－2,（a－2）（a＋2）)＝eq \f(1,a＋2).


(3) SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(a6,9x2y4)÷ SKIPIF 1 < 0 ＝－eq \f(8a3x4,9y7).


(4)eq \f(a2－4,8a2b)·eq \f(12ab,3a－6)＝eq \f(（a＋2）（a－2）,8a2b)·eq \f(12ab,3（a－2）)＝eq \f(a＋2,2a).


首先引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、思考，然后讓學(xué)生獨立練習(xí)，完成后小組交流.
二、師生互動，探究新知


問題1：以上四個題目分別涉及分式的什么運算？


(1)是同分母分式的減法運算；(2)是異分母分式的加法運算；(3)是分式的除法與乘方的混合運算；(4)是分式的乘法運算.


督促學(xué)生養(yǎng)成解題前仔細審題的習(xí)慣，為方法策略的選擇提供判斷的依據(jù).


問題2：它們涉及的運算法則我們熟悉嗎？說說看！并用公式表示.


都是我們已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它們涉及的運算法則有：


①分式的乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(a·c,b·d).


②分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和被除式相乘.eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(a·d,b·c).


③分式的乘方法則：分式的乘方，把分子分母分別乘方 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(an,bn)(n為正整數(shù)).


④同分母分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).


⑤異分母分式的加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變成同分母分式，再加減.eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad,bd)±eq \f(bc,bd)＝eq \f(ad±bc,bd).


問題3：你會計算 SKIPIF 1 < 0 ·eq \f(1,a－b)－eq \f(a,b)÷eq \f(b,4)嗎？


學(xué)生嘗試練習(xí)，老師巡回指導(dǎo)，捕捉有關(guān)信息，生成教學(xué)資源，類比仍然發(fā)揮作用，在交流中達成共識，式與數(shù)有相同的混合運算順序：


在進行分式混合運算時，要注意運算順序，在沒有括號的情況下，按從左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加減.有括號要按先小括號，再中括號，最后大括號的順序.混合運算后的結(jié)果分子、分母要進行約分，注意最后的結(jié)果要是分式


的最簡形式或整式.


拓展延伸


拓展一：用兩種方法計算： SKIPIF 1 < 0 ·eq \f(x2－4,x).


分析：方法一：按運算順序，先計算括號里的算式；方法二：利用乘法分配律.


總結(jié)：解題不要拘泥于基本思路，要善于捕捉有用信息，根據(jù)題目的特點，選擇合適的方法靈活處理，可能會收到事半功倍的效果.


拓展二：若eq \f(x－3,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(A,x＋1)＋eq \f(B,x－1)恒成立，求A，B的值.


分析：本題把一個真分式化成兩個部分分式之和的形式，這里A和B都是待定系數(shù)，待定系數(shù)可根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)來求解.
通過學(xué)生的獨立練習(xí)，把相關(guān)的法則進行盤點，為新知的探索奠定堅實的基礎(chǔ)，而問題3亦即教材的例7，為了鞏固新成果，增強訓(xùn)練的力度，使學(xué)生熟練掌握分式的混合運算，在教材練習(xí)的前提下，補充一個帶括號的化簡求值題.具體教學(xué)要注意細節(jié)的指導(dǎo).



































通過題目喚起舊知，避開了泛泛回顧基本知識的弊端，讓學(xué)生在具體解題應(yīng)用中加深對舊知的認識，然后把新知嵌于嘗試練習(xí)問題3中，在生生、師生的立體交流中推出分式的四則混合運算法則及運算的順序.


設(shè)置兩個拓展題，其一是期望通過兩個方法在鞏固分式混合運算的同時，督促學(xué)生在對比中開闊思路，進而找到合適的方法，以提高速度與準確率；其二是體現(xiàn)分式混合運算的應(yīng)用并綜合了方程思想，對學(xué)生而言，具有一定的挑戰(zhàn)性.
三、課堂小結(jié)，提煉觀點


本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？在知識應(yīng)用過程中需要注意什么？你有什么收獲？
四、布置作業(yè)，鞏固提升


必做題：教材第146頁 第6題


選做題：教材第147頁 第16題


2.已知：x＋y＋z＝3y＝2z，求eq \f(x,x＋y＋z)的值.


3.已知：eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝3，求eq \f(2x＋3xy－2y,x－2xy－y)的值.
【板書設(shè)計】


分式的混合運算


分式的乘法法則


分式的除法法則


分式的乘方法則


同分母分式的加減法法則


異分母分式的加減法法則


拓展一：


拓展二：

【教學(xué)反思】


分式的四則混合運算是分式這一章的重點，主要是會進行基本的運算，而不是計算的繁和難，從本節(jié)的教學(xué)設(shè)計中可以看出，它立足基本運算，通過拓展的方式適當增加了題目，給了學(xué)生更多的施展空間，以利于學(xué)生熟練掌握分式的運算法則，掌握算理，弄清運算依據(jù)，做到步步有據(jù)，減少計算的錯誤率.

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15.2.2 分式的加減

版本： 人教版

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