?專訓(xùn)15.2.2 分式的加減法
一、解答題
1．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
根據(jù)同分母的分式加減法計算法則計算即可．
【詳解】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【點睛】
此題主要考查了同分母分式的加減，關(guān)鍵是掌握同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
2．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）1．
【分析】
利用同分母分式的加減計算法則進(jìn)行計算即可．
【詳解】
解：（1）原式，
；
（2）原式，
；
（3）原式，
，
．
【點睛】
此題主要考查了分式的加減，關(guān)鍵是掌握同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
3．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先化成同分母，再利用同分母分式的加法法則解題，注意負(fù)號的作用；
（2）先化成同分母，再利用同分母分式的加法法則，結(jié)合完全平方公式解題．
【詳解】
解：（1）；
（2）
【點睛】
本題考查分式的加法，涉及完全平方公式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
4．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）根據(jù)同分母分式的運算法則解題，注意負(fù)號的作用；
（2）利用同分母分式的減法法則，結(jié)合平方差公式進(jìn)行計算；
（3）利用同分母分式的減法法則，結(jié)合提公因式化簡解題；
（4）根據(jù)同分母分式的加減法法則解題．
【詳解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【點睛】
本題考查分式的加減混合運算，涉及平方差公式、提公因式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
5．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
根據(jù)同分母的分式加減法計算法則計算即可．
【詳解】
解：（1）


；
（2）


；
（3）

；
（4）




．
【點睛】
此題主要考查了分式的加減運算，關(guān)鍵是掌握同分母式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
6．（2021·湖南·汨羅市弼時鎮(zhèn)弼時初級中學(xué)八年級期中）觀察下面的變形規(guī)律：
＝1－； ＝－；＝－；……解答下面的問題：
（1）若n為正整數(shù)，請你猜想＝ ．
（2）若n為正整數(shù)，請你用所學(xué)的知識證明 ；
（3）求和：＋＋＋…＋．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)前面的規(guī)律，猜想計算即可；
（2）利用通分，比較等號的兩邊即可 ；
（3）運用規(guī)律計算．
【詳解】
（1）∵ ＝1－； ＝－；＝－,
∴＝．
（2）∵
=，
∴；
（3）∵，
∴＋＋＋…＋
=1－+－+－+…＋
=1－
=．
【點睛】
本題考查了分式中運算規(guī)律，通分，熟練掌握發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基本思路是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·山東·濟(jì)寧市實驗初中八年級月考）計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）-2．
【分析】
（1）先將第二個分式進(jìn)行乘方運算，再利用分式的除法法則進(jìn)行計算即可；
（2）先將分式進(jìn)行通分，然后進(jìn)行減法計算即可；
（3）先將括號里的分式進(jìn)行通分，進(jìn)行減法運算，再利用除法法則進(jìn)行計算即可；
（4）先將第二個分式進(jìn)行變形，將其變成，再進(jìn)行分式的加法運算即可．
【詳解】
解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=；
（3）原式=
=
=；
（4）原式=
=
=
=
=
=-2．
【點睛】
本題考查了分式的加法運算，分式減法運算，分式除法運算，分式乘法運算，乘方運算等知識．通分是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）某工廠儲存了a天用的煤，要使儲存的煤比預(yù)定的時間多用d天，每天應(yīng)節(jié)約用煤多少噸？
【答案】
【分析】
根據(jù)：節(jié)約用煤=原計劃用煤-實際用煤，先求出原計劃每天用煤，然后求出實際每天用煤，即可得出需要每天節(jié)約的噸數(shù)．
【詳解】
解：原計劃每天用煤，要使儲存的煤多用d天，則一共可使用天，每天使用，
則每天應(yīng)節(jié)約用煤：（噸）．
【點睛】
題目主要考查了列代數(shù)式和分式的計算，根據(jù)題意正確表示計劃每天用煤和實際每天用煤是解題關(guān)鍵．
9．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）某人用電腦錄入漢字文稿的速度相當(dāng)于手抄的3倍，設(shè)他手抄的速度為a字，那么他錄入3000字文稿比手抄少用多長時間？
【答案】
【分析】
先利用速度公式分別表示出電腦錄入和手抄的時間，然后求它們的差即可．
【詳解】
解：設(shè)他手抄的速度為字，則用電腦錄入漢字文稿的速度為字，
所以他錄入3000字文稿比手抄少用多長時間為，
即．
【點睛】
本題考查了列代數(shù)式（分式）：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．
10．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先把分母都化為 再按照同分母分式的加減運算進(jìn)行計算即可；
（2）先把分母都化為 再按照同分母分式的加減運算進(jìn)行計算即可；
（3）先把分母都化為 再按照同分母分式的加減運算進(jìn)行計算即可；
【詳解】
解：（1）；
（2）；

（3）



【點睛】
本題考查的是分式的加減運算，掌握先通分，再按照同分母分式的加減運算進(jìn)行分式的加減運算是解題的關(guān)鍵.
11．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）原式先通分，再根據(jù)同分母分式加減法計算法則計算即可求解；
（2）原式先通分，再根據(jù)同分母分式加減法計算法則計算即可求解；
（3）原式先通分，再根據(jù)同分母分式加減法計算法則計算即可求解；
（4）原式先通分，再根據(jù)同分母分式加減法計算法則計算即可求解．
【詳解】
解：（1），
，
；
（2），
，
；
（3），
，
，
，
；
（4），
，
，
．
【點睛】
本題考查了分式的加減法，異分母分式相加減時，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再進(jìn)行加減運算是解題關(guān)鍵．
12．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
異分母分式相加減，先進(jìn)行通分，將異分母分式化成同分母分式，再進(jìn)行加減運算．
【詳解】
解：（1）原式，
，
，
；
（2）原式，
，
，
，
．
【點睛】
此題主要考查了分式的加減法，關(guān)鍵是掌握異分母分式加減法法則，注意結(jié)果要化簡．
13．（2021·浙江浙江·七年級期末）按條件求值：
①若分式的值是整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)x的值．
②已知分式可以寫成，利用上述結(jié)論解決；若分式表示一個整數(shù)，求整數(shù)x的值．
③化簡：，再從0，，五個數(shù)中，選擇一個你最喜歡的數(shù)代入并求值．
【答案】①3；②3或5或9或-1；③，1
【分析】
①根據(jù)分式的值是整數(shù)可得x+2=±5，從而求出x；
②將分式變形為，參照①中方法即可求出x；
③首先通分，計算括號里面分式的減法，然后再計算括號外的除法，化簡后，再根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，然后代入x的值即可．
【詳解】
解：①分式的值是整數(shù)，
∴x+2=±5，
∴x=3或x=-7，
∵x為非負(fù)整數(shù)，
∴x=3；
②==，
∴x-4=±1或±5，
∴x=3或5或9或-1；
③
=
=
=
=
∵x不能取0，3，2，-3，
∴x=-2時，
原式==1．
【點睛】
此題主要考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是掌握分式的除法和減法計算法則，正確把分式進(jìn)行化簡．
14．（2021·浙江溫嶺·一模）下面是某同學(xué)在完成作業(yè)本（2）第5題第（2）小題的過程．
……①
……②
……③
上面的解題過程________（填“正確”或“錯誤”）；如果正確，請寫出每一步的依據(jù)；如果有錯，請寫出從第幾步開始出錯，并寫出正確的解題過程．
【答案】錯誤，從第①步開始出錯，正確的解題過程見解析．
【分析】
根據(jù)分式的減法法則即可得．
【詳解】
由分式的減法法則可知，上面的解題過程錯誤，從第①步開始出錯，正確的解題過程如下：
，
，
．
【點睛】
本題考查了分式的減法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
15．（2021·湖南·長沙麓山國際實驗學(xué)校八年級期中）先化簡，再求值：，其中．
【答案】x，5．
【分析】
采用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，將式子因式分解，約分化為最簡，再代入數(shù)值計算即可．
【詳解】
解：





當(dāng)時，
原式．
【點睛】
本題考查分式的化簡求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
16．（2021·湖南·長沙麓山國際實驗學(xué)校八年級期中）
【答案】
【分析】
括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果即可
【詳解】
解：


．
【點睛】
本題主要考查了分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．
17．（2021·湖南·新化縣東方文武學(xué)校八年級期中）先化簡，再求值： ， 其中x=3
【答案】，3
【分析】
把分式進(jìn)行化簡，然后計算括號內(nèi)的減法運算，再計算分式除法運算，得到最簡分式，再把代入計算，即可得到答案．
【詳解】
解：原式=[]，
=[]，
=，
=；
當(dāng)時，原式==3；
【點睛】
本題考查了分式的化簡求值，分式的加減乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則，正確的進(jìn)行解題．
18．（2021·北京八中八年級期中）計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）將各項進(jìn)行分解因式，再進(jìn)行計算即可得，
（2）將括號內(nèi)的式子通分進(jìn)行減法運算，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計算即可得．
【詳解】
解：（1）原式
；
（2）原式


．
【點睛】
本題考查了分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握混合運算的運算法則．
19．（2020·湖北·通山縣慈口鄉(xiāng)慈口中學(xué)九年級月考）先化簡，再求值（）?，其中x＝2＋，y＝2﹣．
【答案】﹣，﹣．
【分析】
先將分式的分子和分母因式分解，根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后再代入求值即可．
【詳解】
解：（）?

∵x＝2+，y＝2﹣，
∴原式＝．
【點睛】
本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
20．（2021·湖南·衡陽市華新實驗中學(xué)八年級月考）我們知道：若則；若則；若則
因此，我們可以根據(jù)兩個數(shù)之差的情況，來判斷這兩個數(shù)的大?。?br /> 下面是小明利用這個結(jié)論解決問題的過程：
若、為任意的實數(shù)，試比較代數(shù)式與的大?。?br />

，
試仿照小明的做法，解決下面的問題：若，試比較與的大小．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意兩個分式作差，進(jìn)而判斷其結(jié)果的符號即可判斷二者大小關(guān)系
【詳解】





，則

【點睛】
本題考查了作差比較大小，分式的加減運算，理解題意正確的計算是解題的關(guān)鍵．
21．（2021·江西省臨川第二中學(xué)八年級月考）閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：，解決下列問題：
（1）分式是____（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式_____；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；
【答案】（1）真分式， ；（2）0，1，3，4
【分析】
（1）根據(jù)當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，假分式化為帶分式的方法，即可求解；
（2）先將化為帶分式，可得到只需要 為整數(shù)，再由為整數(shù)，可得到當(dāng) 時， 為整數(shù)，即可求解．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意得：分式是真分式；
；
（2），
∵分式的值為整數(shù)，
∴只需要 為整數(shù)即可，
又∵為整數(shù)，
∴當(dāng) 時， 為整數(shù)，
解得： 或1或3或4，
即滿足條件的整數(shù)的值為0，1，3，4．
【點睛】
本題主要考查了分式的加減運算，理解“真分式”“假分式”“帶分式”的定義以及轉(zhuǎn)化方法是解題的關(guān)鍵．
22．（2021·山東青島·八年級單元測試）閱讀下列材料：
小銘和小雨在學(xué)習(xí)過程中有如下一段對話：
小銘：“我知道一般當(dāng)m≠n時，m2＋n≠m＋n2．可是我見到有這樣一個神奇的等式：（）2＋＝＋（）2（其中a，b為任意實數(shù)，且b≠0）．你相信它成立嗎？”
小雨：“我可以先給a，b取幾組特殊值驗證一下看看．”
完成下列任務(wù)：
（1）請選擇兩組你喜歡的、合適的a，b的值，分別代入閱讀材料中的等式，寫出代入后得到的具體等式并驗證它們是否成立；
①當(dāng)a＝2，b＝3時，等式__________（填寫“成立”或“不成立”）；
②當(dāng)a＝3，b＝5時，等式__________（填寫“成立”或“不成立”）．
（2）對于任意實數(shù)a，b（b≠0），通過計算說明（）2＋＝＋（）2是否成立．
【答案】（1）①成立；②成立；（2）成立
【分析】
（1）①把a(bǔ)與b的值代入兩邊的代數(shù)式中計算即可，若值相等則成立，否則不成立；②把a(bǔ)與b的值代入兩邊的代數(shù)式中計算即可，若值相等則成立，否則不成立；
（2）分別把等式兩邊通分并化簡，結(jié)果相等則成立，否則不成立．
【詳解】
（1）①成立；②成立．
（2）∵左邊＝（）2＋＝＝，
右邊＝＋（）2＝＋＝．
所以等式（）2＋＝＋（）2成立．
【點睛】
本題考查了求代數(shù)式的值，分式加法運算，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，掌握分式的加法運算法則是關(guān)鍵．
23．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）甲?乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料．兩次飼料的價格有變化，兩位采購員的購貨方式也不同，其中，甲每次購買1000kg，乙每次用去800元，而不管購買多少飼料．設(shè)兩次購買的飼料單價分別為m元/kg和n元/kg（m，n是正數(shù)，且m≠n），那么甲?乙所購飼料的平均單價各是多少？哪一個較低？
【答案】甲購飼料的平均單價是元；乙購飼料的平均單價是元；乙購飼料的平均單價較低
【分析】
由于甲每次購買1000千克，乙每次用去800元，而不管購買多少飼料．設(shè)兩次購買飼料的單價分別為m元/千克和n元/千克（m，n是正數(shù)，且m≠n），由此可以得到甲、乙兩次用的總錢數(shù)和總飼料數(shù)，接著就可以求出各自平均單價．
【詳解】
解：∵甲每次購買1000千克，兩次購買飼料的單價為m元/千克和n元/千克，
∴甲的平均單價為：，
而乙每次用去800元，兩次購買飼料的單價為m元/千克和n元/千克，
∴乙的平均單價為：，
而m，n是正數(shù)，且m≠n，
∴，
∴乙所購買的飼料的平均單價較低．
【點睛】
本題主要考查了分式的混合運算，解題時首先正確理解題意，然后利用題目的數(shù)量關(guān)系求出兩次平均價格，接著利用分式的混合運算法則計算即可解決問題，熟練掌握分式的運算法則是關(guān)鍵．
24．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）小剛家和小麗家到學(xué)校的路程都是，其中小麗走的是平路，騎車速度是．小剛需要走的上坡路?的下坡路，在上坡路上的騎車速度為，在下坡路上的騎車速度為．那么
（1）小剛從家到學(xué)校需要多長時間？
（2）小剛和小麗誰在路上花費的時間少？少用多長時間？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）分別求出小剛上坡路走的時間和下坡路走的時間，然后求出小剛從家到學(xué)校需要的時間；
（2）求出小麗在路上花費的時間，比較時間的長短，然后求出少用的時間．
【詳解】
解：（1）小剛上坡路走的時間：，
下坡路走的時間：，
總時間為：；
（2）小麗花費的時間為：，
∵，
∴小麗花費的時間短，少用了．
【點睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用，分式加減的計算，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，注意題中相關(guān)量要用合適的分式表示出來．
25．（2021·江蘇鼓樓·八年級期末）將克糖放入水中，得到克糖水，此時糖水的含糖量我們可以記為．
（1）再往杯中加入克糖，生活中的經(jīng)驗告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為______；
A． B． C．
（2）請證明你的選擇．
【答案】（1）A；（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，可以寫出相應(yīng)的不等式，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)作差比較法，可以證明（1）中的結(jié)論成立．
【詳解】
（1）由題意可得，

故選A
（2）利用作差法比較大?。?br />
，，
，即，
，即．
【點睛】
本題考查分式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是寫出相應(yīng)的式子，會用作差比較法比較兩個式子的大?。?br /> 26．（2021·山東·濟(jì)寧市第十三中學(xué)八年級月考）有這樣一段敘述：“要比較與的大小，可以先求出與的差，再看這個差是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0”．由此可見，要比較兩個代數(shù)式的值的大小，只要考查它們的差即可．
問題：甲、乙兩人兩次同時去同一個商店購買水果（假設(shè)兩次購水果的單價不同，分別為元，元，），甲每次購水果20千克，乙每次購水果用去20元．
（1）用含，的代數(shù)式表示：甲兩次購水果共付 元；乙兩次共購 千克水果；甲兩次購水果的平均單價為 元/千克，乙兩次購水果的平均單價為 元/千克；
（2）現(xiàn)規(guī)定：誰購水果的平均單價低，誰購水果的方式就合算，請你判斷甲、乙兩人的購水果方式哪一個更合算？并說明理由．
【答案】（1）（20x＋20y）；（）；；（2）乙購買水果的方式更合算些，理由見解析
【分析】
（1）根據(jù)兩次購買水果的單價及買的千克數(shù)，表示出甲兩次買水果的錢數(shù)即可；用20元除以兩次單價，相加即可得到乙購買水果的千克數(shù)；表示出甲兩次購買水果的平均單價為Q1元，乙兩次購買水果的平均單價為Q2元即可；
（2）由（1）得到Q1?Q2，通分并利用同分母分式的減法法則計算，利用完全平方公式整理后判斷差為正數(shù)，可得出Q1＞Q2，即乙購買水果的方式更合算些．
【詳解】
解：（1）甲每次購買水果共需要付款（20x＋20y）元；
乙兩次共購買（）千克的水果；
甲兩次購水果的平均單價Q1＝，乙兩次購水果的平均單價Q2＝40÷（）=；
故答案為：（20x＋20y）；（）；；
（2）乙購買水果的方式更合算些，理由為：
Q1?Q2＝-=，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x?y）2＞0，2（x＋y）＞0，
∴＞0，
∴Q1?Q2＞0，即Q1＞Q2，
∴乙購買水果的方式更合算些．
【點睛】
此題考查了分式混合運算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．在通常情況下，判斷兩個代數(shù)式值的大小，只要考慮它們的差就可以．
27．（2021·北京昌平·八年級期中）閱讀下列文字，解答問題：
俗話說的好“處處留心皆學(xué)問”，生活中處處有數(shù)學(xué)，小明為了研究在物價波動時如何買東西最合算，做了一個小調(diào)研：
某一糧店同一品種糧食在兩個不同時段的糧價不同，假設(shè)x，y分別表示兩個時段糧食的單價（單位：元/千克）
（1）李阿姨分別在兩個時段各購買此品種糧食10千克，若用Q1表示李阿姨兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數(shù)式表示Q1；
（2）王奶奶分別在兩個時段各花10元購買此品種糧食，若用Q2表示王奶奶兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數(shù)式表示Q2；
（3）一般地，“要比較a與b的大小，可先求出a與b的差，再看這個差是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零”．由此可見，要判斷兩個代數(shù)式值的大小，只要考慮它們的差就可以了試判斷：誰兩次購糧的平均單價低，并說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）王奶奶的購糧方式更合算．
【分析】
（1）根據(jù)平均單價=，代入可得結(jié)論；
（2）先計算王奶奶兩次購買的糧食重量，再代入平均單價=，計算即可；
（3）利用差比較大小，小的合算．
【詳解】
解：（1）李阿姨第一次購買糧食付款10x元，第二次購買糧食付款10y元，兩次共付款（10x+10y）元，
∴Q1==；
（2）王奶奶第一次購買糧食千克，第二次購買糧食千克，故兩次共購買糧食（+）千克，
∴Q2==；
（3）要判斷誰更合算，就是判斷Q1、Q2的大小，小的更合算些，
∵Q1-Q2=-=，且x≠y，
∴（x-y）2＞0而2（x+y）＞0，
∴Q1-Q2＞0，
故Q1＞Q2，
∴王奶奶的購糧方式更合算．
【點睛】
本題考查了分式的混合運用和實際應(yīng)用問題，明確平均單價=是本題的關(guān)鍵，同時要注意分式大小的比較，方法較多，本題利用了作差比較大小，另外還可以作商、平方法等比較大?。?br /> 28．（2021·四川·富順第二中學(xué)校八年級開學(xué)考試）如圖，“豐收1號”小麥試驗田是邊長為的正方形減去一個邊長為的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥試驗田是邊長為的正方形．

（1）第一年，兩塊試驗田分別收獲小麥．
①這兩塊試驗田中，單位產(chǎn)量高的試驗田是_______________；
②高的單位產(chǎn)量比低的單位產(chǎn)量多了多少；
（2）經(jīng)過一年的試驗后，第二年，兩塊試驗田產(chǎn)量都比前一年有增長，并且“豐收1號”試驗田增產(chǎn)更多．已知兩塊試驗田的單位產(chǎn)量相同且“豐收1號”比“豐收2號”多收獲，求“豐收1號”試驗田第二年的產(chǎn)量．
【答案】（1）①“豐收2號”；②；（2）
【分析】
（1）①先用a表示出兩塊試驗田的面積，比較出其大小，再根據(jù)其產(chǎn)量相同可知面積較小的單位面積產(chǎn)量高即可得出結(jié)論；②根據(jù)①中兩塊試驗田的面積及其產(chǎn)量，求出其差即可；
（2）可設(shè)“豐收2號”試驗田第二年的產(chǎn)量是kg，則“豐收1號”試驗田第二年的產(chǎn)量是（x＋100）kg，根據(jù)兩塊試驗田的單位產(chǎn)量相同列方程求解即可．
【詳解】
解：（1）①∵“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為（a-1）米的正方形，
∴“豐收1號”小麥的試驗田的面積=，“豐收2號”小麥的試驗田的面積=，
∵，
由題意可知，a＞1，
∴2（a-1）＞0，
即
∴這兩塊試驗田中，單位產(chǎn)量高的試驗田是“豐收2號”，
故答案為：“豐收2號”；
②∵“豐收1號”小麥的試驗田的面積=，“豐收2號”小麥的試驗田的面積=，兩塊試驗田的小麥都收獲了400kg，
∴“豐收2號”小麥的試驗田小麥的單位面積產(chǎn)量高，
∴，
答：高的單位產(chǎn)量比低的單位產(chǎn)量多了；
（2）設(shè)“豐收2號”試驗田第二年的產(chǎn)量是xkg，則“豐收1號”試驗田第二年的產(chǎn)量是（x＋100）kg，
由題意得：，
解得：x=50a-50，
則x+100=50a+50，
答：“豐收1號”試驗田第二年的產(chǎn)量是（50a＋50） kg．
【點睛】
本題考查一元一次方程的應(yīng)用、因式分解的應(yīng)用，熟練掌握運用因式分解解決問題是解題的關(guān)鍵．
29．（2021·江蘇·南京玄武外國語學(xué)校八年級期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則．”《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題新結(jié)論的重要方法．
閱讀材料：
在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．
將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：
，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式的和的形式．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）假分式可化為帶分式__________形式；
（2）利用分離常數(shù)法，求分式的取值范圍；
（3）若分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：，求的最小值．
【答案】（1）﹔（2）；（3）27
【分析】
（1）按照閱讀材料方法，把變形即可；
（2）用分離常數(shù)法，把原式化為，由即可得答案；
（3）用分離常數(shù)法，把原式化為，根據(jù)已知用的代數(shù)式表示、和，配方即可得答案．
【詳解】
解：（1），
故答案為：；
（2），
，
，
∴，
；
（3），
∴
，，
，，
，，
∴，
，
，
當(dāng)時，最小值是27．
【點睛】
本題考查了分式的變形、運算，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用分離常數(shù)法，把所求分式變形．



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