中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù).在中國,剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ),是各種民俗活動的重要組成部分.其傳承延續(xù)的視覺形象和造型樣式,蘊(yùn)涵了豐富的歷史文化信息,表達(dá)了廣大民眾的社會認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣,具有認(rèn)知、教化、表意、抒情、娛樂、交往等多重社會價值.折疊剪紙是最常見的一種制作表現(xiàn)方法,它折法簡明,制作簡便,尤其適于表現(xiàn)結(jié)構(gòu)對稱的形體和對稱的圖式,這種對稱給人一種美的享受.我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖象中,也有很多這樣的對稱現(xiàn)象,請你想一想哪些函數(shù)的圖象是對稱的,都有哪些對稱方式?
一、奇、偶函數(shù)的定義
注:當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時,稱f(x)具有奇偶性.
名師點(diǎn)析1.判斷函數(shù)的奇偶性要“二看”(1)一看定義域.定義域A要關(guān)于原點(diǎn)對稱,即對任意x∈A,-x∈A,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱時,f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).如f(x)=x2,x∈R是偶函數(shù),但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)二看等式.當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時,要看f(x)與f(-x)的關(guān)系:①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函數(shù);②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函數(shù);③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).這樣的函數(shù)只有一類,即f(x)=0,x∈D,且D關(guān)于原點(diǎn)對稱.
2.奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性設(shè)非零函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別是F,G,若F=G,則有下列結(jié)論:
注意:上述表格中不考慮f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,則f(x)是偶函數(shù).(　　)(2)若f(x)是偶函數(shù),則它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.(　　)(3)若f(-2)=f(2),則f(x)(x∈R)是偶函數(shù).(　　)(4)若f(x)(x∈R)是偶函數(shù),則f(-2)=f(2).(　　)(5)若f(2)≠f(-2),則f(x)(x∈R)不是偶函數(shù).(　　)(6)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R).(　　)
答案: (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
解析:只有f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(-x)=f(x)時,f(x)才是偶函數(shù),故(1)錯誤;f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是f(x)為偶函數(shù)的必要條件,故(2)正確;對任意x∈R,滿足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函數(shù),僅憑兩個特殊的函數(shù)值相等不足以判斷函數(shù)的奇偶性,故(3)錯誤而(4)正確;為了說明f(x)不是偶函數(shù),舉一個反例即可,故(5)正確;f(x)=0,定義域?yàn)閇-1,1],該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),故(6)錯誤.
微思考已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),定義域?yàn)镈,若0∈D,f(0)是否為定值?
提示:∵f(x)為奇函數(shù),∴對任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,為定值.
二、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”.2.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取得最值時的自變量的值互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上取得的最值互為相反數(shù),取得最值時的自變量的值也互為相反數(shù).
名師點(diǎn)析1.奇偶性與單調(diào)性都是函數(shù)的重要性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),是研究函數(shù)值在某一區(qū)間內(nèi)的變化趨勢;而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),是研究函數(shù)圖象在整個定義域上的對稱性.2.研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性對了解函數(shù)非常重要,如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),根據(jù)它的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱或關(guān)于y軸對稱的性質(zhì),只要把這個函數(shù)的定義域分成關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩部分,由函數(shù)在其中一部分上的圖象和性質(zhì),即可推斷出它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì).而研究該函數(shù)其中一部分圖象的情況,就得研究其函數(shù)值的變化,這就是單調(diào)性,只有把這兩種性質(zhì)結(jié)合在一起才能更好地了解函數(shù)的特征.
微練習(xí)若奇函數(shù)f(x)在[-6,-2]上是減函數(shù),且最小值是1,則它在[2,6]上是(　　)A.增函數(shù)且最小值是-1B.增函數(shù)且最大值是-1C.減函數(shù)且最大值是-1D.減函數(shù)且最小值是-1
答案:C　解析:∵奇函數(shù)f(x)在[-6,-2]上是減函數(shù),且最小值是1,∴函數(shù)f(x)在[2,6]上是減函數(shù)且最大值是-1.
判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:
分析利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性時,先求出函數(shù)的定義域,看其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.為了判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,既可以從f(-x)開始化簡整理,也可以考慮f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.當(dāng)f(x)不等于0時也可考慮 與1或-1的關(guān)系,還可以考慮使用圖象法.
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).
函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對稱.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.(方法一)當(dāng)x>0時,-x0時,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),將f(-1)轉(zhuǎn)化為f(1)求解;(2)先設(shè)出所求區(qū)間上的自變量,利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn),把它轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上,代入已知的解析式,再次利用函數(shù)的奇偶性求解.注意不要忽略x=0時f(x)的解析式.
解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)當(dāng)x0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.當(dāng)x=0時,f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.
反思感悟1.這類問題常見的情形是:已知當(dāng)x∈(a,b)時,f(x)=φ(x),求當(dāng)x∈(-b,-a)時f(x)的解析式.若f(x)為奇函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.
解:當(dāng)x0,此時f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式為
函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1.比較函數(shù)值的大小例3已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(　　)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)

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4.1 函數(shù)的奇偶性

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