第1課時 函數(shù)的奇偶性
教學(xué)目標(biāo)
1．知識目標(biāo)
(1)理解、掌握函數(shù)奇偶性的概念、圖象特征和性質(zhì)．
(2)能夠根據(jù)定義和圖像判斷簡單函數(shù)的奇偶性．
(3)能夠應(yīng)用定義證明和解決與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題．
2．核心素養(yǎng)目標(biāo)
(1)函數(shù)奇偶性概念的學(xué)習(xí)和簡單的應(yīng)用．
(2)體會數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等基本的數(shù)學(xué)思想方法．
(3)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和直觀想象能力．
教學(xué)重難點
教學(xué)重點：
(1)函數(shù)奇偶性的概念、圖象特征和性質(zhì)．
(2)根據(jù)定義和圖像判斷簡單函數(shù)的奇偶性．
(3)用定義證明和解決與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題．
教學(xué)難點：
(1)函數(shù)奇偶性的概念、圖象特征和性質(zhì)．
(2)根據(jù)定義和圖像判斷簡單函數(shù)的奇偶性．
(3)用定義證明和解決與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題．
課前準(zhǔn)備
PPT課件．
教學(xué)過程
一、導(dǎo)入新課
我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)性質(zhì)是變化中的規(guī)律性，變化中的不變性．
上一節(jié)課，我們共同學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值，用符號語言準(zhǔn)確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個區(qū)間內(nèi)上升(或下降)的性質(zhì)，本節(jié)課我們繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì)．
在日常生活中，我們經(jīng)常會看到一些具有對稱性的圖片，如美麗的蝴蝶、精彩的剪紙等．
問題1：上列各圖，分別是怎樣的對稱圖形？
師生活動：教師利用PPT圖片引導(dǎo)學(xué)生觀察，積極思考問題．
預(yù)設(shè)答案：第1、2圖為軸對稱圖形，第3、4圖為中心對稱圖形．
設(shè)計意圖：升華本節(jié)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界．使用多媒體展示圖片，讓學(xué)生體會對稱帶給我們的和諧美，數(shù)學(xué)之美，然后過渡到數(shù)學(xué)的對稱，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
問題2：在我們學(xué)習(xí)的函數(shù)中，有些函數(shù)的圖象也具有對稱性，請舉出幾個這樣的函數(shù)．
師生活動：教師提問學(xué)生回答．
預(yù)設(shè)答案：一元二次函數(shù)的圖象(軸對稱)、反比例函數(shù)的圖象(中心對稱)．

設(shè)計意圖：初步體會函數(shù)圖象的對稱，由圖形特點出發(fā)，符合學(xué)生認(rèn)知．
問題3：填寫相應(yīng)的函數(shù)值表，你發(fā)現(xiàn)了什么？
師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相反．
預(yù)設(shè)答案：
然后把該規(guī)律符號化．得到．
設(shè)計意圖：通過特殊值發(fā)現(xiàn)規(guī)律，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等
問題4：已知函數(shù)，對是否成立？
預(yù)設(shè)答案：
問題5：畫出函數(shù)fx=x3的圖象，并觀察它的對稱性．
師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師利用PPT展示函數(shù)圖象．學(xué)生觀察后不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象都關(guān)于原點中心對稱．
預(yù)設(shè)答案：函數(shù)的圖象是關(guān)于原點中心對稱的．
設(shè)計意圖：從形和數(shù)兩方面驗證結(jié)論，使知識更加完整，也加深學(xué)生對知識點的理解．
問題5：形如的函數(shù)稱為奇函數(shù)，那么怎樣嚴(yán)格定義奇函數(shù)呢？
師生活動：先由學(xué)生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述．
預(yù)設(shè)答案：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為A，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．
設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述．
問題6：從奇函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱．
師生活動：先由學(xué)生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述．該問題可類比問題2的證明過程．
充分性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點，則．
因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以點P關(guān)于原點的對稱點為也在函數(shù)圖象上，即．
所以對任意的x，都有，所以函數(shù)是奇函數(shù)．
必要性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點，則．
記點P關(guān)于原點的對稱點為Q，則．
因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即．
所以點Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．
設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述．
★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】認(rèn)識偶函數(shù)．
★使用說明：本資源為《認(rèn)識偶函數(shù)》知識探究，通過交互式動畫的方式，運用了本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．
注：此圖片為“動畫”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．
問題7：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？
師生活動：教師利用PPT展示函數(shù)圖象，學(xué)生觀察圖象后回答問題．
預(yù)設(shè)答案：不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于軸對稱
追問：那么如何使用符號語言精準(zhǔn)地描述，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱這一特征？
對于上述兩個函數(shù)，與，與，與，與有什么關(guān)系？
對于定義域內(nèi)任意的一個，都有成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？
師生活動：先由學(xué)生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值與相等．
預(yù)設(shè)答案：以為例，定義域為R．對于定義域R內(nèi)任意的一個，，與均有意義．因為，所以是成立的．同樣的，驗證函數(shù)，結(jié)論依然成立．
設(shè)計意圖：放給學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生自主性，探究得出偶函數(shù)的圖形特點和定義．
定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為A，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．
問題8：如果函數(shù)具有奇偶性，那么對于定義域內(nèi)的任意一個，也一定在定義域內(nèi)．所以它的定義域有什么特征？
預(yù)設(shè)的答案：定義域關(guān)于原點對稱．
追問1：已知函數(shù)，，若，則函數(shù)在上是奇函數(shù)嗎？
師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師再組織全班交流．
預(yù)設(shè)答案：不一定是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)y=fx是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，稱函數(shù)fx具有奇偶性．奇函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱，反之亦然；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，反之亦然．
設(shè)計意圖：即時的思考，加深對概念的理解，體會到定義域關(guān)于原點對稱和解析式關(guān)系這兩個關(guān)鍵點．
概念深化：根據(jù)定義，判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1) f(x)=2x5；(2) g(x)=x4+2；(3) ?(x)=1x2；(4) m(x)=1x+2．
預(yù)設(shè)答案：
(1)函數(shù)f(x)=2x5定義域為R，對任意x∈R，有f(?x)=2(?x)5=?2x5，?f(x)=?2x5．
故f?x=?f(?x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)．
(2)函數(shù)g x=x4+2定義域為R，對任意x∈R，有g(shù) (?x)=(?x)4+2=x4+2，故g(?x)=g(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)．
(3)函數(shù)?(x)=1x2義域為{x|x≠0}，對任意x∈{x|x≠0}，有?(?x)=1(?x)2，故?(?x)=?(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)．
(4)函數(shù)m(x)=1x+2定義域為{x|x≠-2}，定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
設(shè)計意圖：從同一個函數(shù)出發(fā)，學(xué)生更為容易進(jìn)行探究活動，得出結(jié)論．
我們不難發(fā)現(xiàn)，(1)、(2)、(3)中每一個、同時屬于定義域，所以與都有意義．而(4)中則無法滿足每一個、同時屬于定義域，所以與無法滿足都有意義．
方法總結(jié)：函數(shù)具有奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如不對稱，則可直接判斷其為非奇非偶函數(shù)．
★資源名稱：【知識點解析】函數(shù)的奇偶性．
★使用說明：本資源為《函數(shù)的奇偶性》的講解視頻，其目的是幫助學(xué)生更好的理解函數(shù)、函數(shù)的奇偶性,同時對該知識相關(guān)重難點進(jìn)行了歸納小結(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生梳理知識脈絡(luò)，加深理解．
注：此圖片為“微課”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．
追問2：你能總結(jié)例題的解題過程，歸納一下利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟嗎？
師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師再組織全班交流．
預(yù)設(shè)答案：第一步，首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；
第二步，確定與的關(guān)系；
第三步，得出相應(yīng)結(jié)論：若或，則是偶函數(shù)；若或，則是奇函數(shù)．
設(shè)計意圖：通過追問，師生共同總結(jié)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟，教師給出解答示范．
追問3：奇函數(shù)若在處有定義，
師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師再組織全班交流．
預(yù)設(shè)答案：因為為奇函數(shù)，所以，，．
設(shè)計意圖：通過具體的函數(shù)，深化學(xué)生對判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟的理解，尤其是“首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱”，通過例題讓學(xué)生能夠了解有些函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．
三、鞏固練習(xí)
例1根據(jù)定義，判斷下列函數(shù)的奇偶性：
①②
③④
師生活動：本例由學(xué)生獨立思考、小組討論，可讓幾個學(xué)生進(jìn)行板書，完成后再進(jìn)行點評完善．
預(yù)設(shè)答案：
=1\*GB3①函數(shù)有意義，則1-x2≥0x2-1≥0，
即定義域為[-1，1]，所以有fx=0，
此時既有f?x=?fx，又有f?x=fx，
所以函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
=2\*GB3②函數(shù)定義域為R，f0=0，若x>0，則?x0時，f(x)=?x2+2x+1．
=1\*GB3①求函數(shù)fx的解析式；
=2\*GB3②若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
師生活動：本例由學(xué)生獨立思考、小組討論，可讓幾個學(xué)生進(jìn)行板書，完成后再進(jìn)行點評完善．
預(yù)設(shè)答案：
=1\*GB3①函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)x0，
故f?x=?(?x)2+2?x+1=?x2?2x+1．
又函數(shù)為奇函數(shù)，故?fx=f?x，
上式即為?fx=-x2-2x+1，故fx=x2+2x-1，
故函數(shù)fx=-x2+2x+1，(x>0)0，(x=0)x2+2x-1，(x

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4.1 函數(shù)的奇偶性

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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