第7講 函數(shù)的奇偶性 期末大總結(jié)目  錄  速  覽第一部分：必會(huì)知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖第二部分：考點(diǎn)梳理知識(shí)方法技巧大總結(jié)第三部分：必會(huì)技能常考題型及思想方法大歸納必會(huì)題型一：函數(shù)奇偶性的定義與判斷必會(huì)題型二：利用奇偶性求值及范圍必會(huì)題型三：由奇偶性求函數(shù)解析式必會(huì)題型四：抽象函數(shù)的奇偶性必會(huì)題型五：奇偶性與單調(diào)性綜合 第一部分：知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖速看第二部分：考點(diǎn)梳理知識(shí)方法技巧大總結(jié)1．函數(shù)的奇偶性(1)奇函數(shù)：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫奇函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x) [或f(－x)＋f(x)＝0]；(2)偶函數(shù)：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫偶函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x) [或f(－x)－(x)＝0]．2．函數(shù)對(duì)稱性(1)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)則函數(shù)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；注意：若對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)關(guān)于直線x＝對(duì)稱[注x＝＝]．(2)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱；注意：若對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱[注x＝＝]．3．奇偶性的判斷方法(1)定義法：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下滿足f(－x)＝±f(x)或f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)之一函數(shù)有奇偶性．(2)圖像法：函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)?函數(shù)為奇(偶)函數(shù)(3)分析法：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，奇×偶＝奇；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；(4)復(fù)合函數(shù)F(x)＝f[g(x)]的奇偶性(有偶則偶，無(wú)偶為奇)：①若g(x)為偶函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；②若g(x)為奇函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為奇函數(shù)；③若g(x)為奇函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；④若g(x)為偶函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)．[名師點(diǎn)睛]分段函數(shù)的奇偶性可根據(jù)定義分區(qū)間討論也可根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性加以判斷．4．函數(shù)奇偶性的特性(1)定義域含零的奇函數(shù)，必過(guò)原點(diǎn)[即f(0)＝0]；(2)若f(x)是偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)；(3)奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間單調(diào)性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間單調(diào)性相反；(4)在原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)，奇函數(shù)的最大值M與最小值N之和為零．第三部分：必會(huì)技能?？碱}型及思想方法大歸納必會(huì)題型一：函數(shù)奇偶性的定義與判斷1．(2022·北京·北二外附屬中學(xué)高一期中)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是(    )A． B．C． D．2．(2022·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高一期中)下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的函數(shù)是(    )A． B． C． D．3．(2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高一期中)下列判斷正確的是(    )A．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) B．函數(shù)是非奇非偶函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù)4．已知函數(shù).(1)若函數(shù)，判斷的奇偶性并加以證明；(2)當(dāng)時(shí)，先用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍        必會(huì)題型二：利用奇偶性求值及范圍1．定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則的解集為(    )A．或 B．或C．或 D．或2．(2022·吉林·四平市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則滿足的的取值范圍為(    )A． B． C． D．3．(2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中)已知是定義在上的偶函數(shù)，則__________．4．(2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明．          必會(huì)題型三：由奇偶性求函數(shù)解析式1．(2022·甘肅·玉門油田第一中學(xué)高一期中)已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的解析式為(    )A． B． C． D．2．(2020·河南·鶴壁市鶴山區(qū)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則(    )A．11 B．6 C．10 D．123．(2022·黑龍江·虎林市高級(jí)中學(xué)高一期中)已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為_________．4．(2022·上海·復(fù)旦附中高一期中)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，，則__________． 必會(huì)題型四：抽象函數(shù)的奇偶性1．[多選](2022·江蘇省響水中學(xué)高一期中)定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)滿足(    )A． B．是奇函數(shù)C．在上有最大值 D．的解集為2．(2022·海南·?？谥袑W(xué)高一期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且滿足：，，，則(    )A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)3．[多選](2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè))已知定義在上的函數(shù)，滿足：，，，則(    )A．函數(shù)一定為非奇非偶函數(shù)B．函數(shù)可能為奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減4．(2022·遼寧·鳳城市第一中學(xué)高一期中)定義在上的函數(shù)滿足：，，，且當(dāng)時(shí)，．(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)若對(duì)任意的，存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．      必會(huì)題型五：奇偶性與單調(diào)性綜合1．[多選](2021·浙江·高一期中)已知函數(shù)，則下列描述一定正確的是(    )A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的解集為2．已知定義在的函數(shù)是奇函數(shù)，且對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有．則滿足的的取值范圍是(    )A． B． C． D．3．(2022·山東泰安·高三期中)函數(shù)的部分圖象大致為(    )A． B．C． D．4．定義在上的奇函數(shù)滿足，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為__________．5．(2022·北京市第十七中學(xué)高一期中)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)解不等式  6．(2022·河北·石家莊二中高一階段練習(xí))已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求m，n的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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4.1 函數(shù)的奇偶性

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