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知識(shí)點(diǎn)1　奇、偶函數(shù)的定義
注:當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí),稱f(x)具有奇偶性. 奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)
名師點(diǎn)睛1.判斷函數(shù)的奇偶性要“二看”(1)一看定義域.定義域A要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即對(duì)任意x∈A,-x∈A,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).如f(x)=x2,x∈R是偶函數(shù),但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)二看等式.當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),要看f(x)與f(-x)的關(guān)系:①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函數(shù);②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函數(shù);③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函數(shù),也是偶函數(shù).
2.奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性設(shè)非零函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別是F,G,若F=G,則有下列結(jié)論:
注意:上述表格中不考慮f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
過關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]已知f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),試將下圖補(bǔ)充完整.
解 補(bǔ)充后圖象如圖所示.
2.[人教A版教材習(xí)題]判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=2x4+3x2;(2)f(x)=x3-2x.
解 (1)函數(shù)f(x)=2x4+3x2的定義域?yàn)镽,因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以f(x)=2x4+3x2為偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)=x3-2x的定義域?yàn)镽.因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),所以f(x)=x3-2x為奇函數(shù).
3.[人教A版教材習(xí)題](1)從偶函數(shù)的定義出發(fā),證明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;(2)從奇函數(shù)的定義出發(fā),證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
證明 (1)充分性:若y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)M(x0,f(x0))為圖象上任意一點(diǎn),則M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M'(-x0,f(x0))仍在該圖象上,即f(-x0)=f(x0).所以y=f(x)為偶函數(shù).必要性:若y=f(x)為偶函數(shù),設(shè)M(x0,f(x0))為f(x)圖象上任意一點(diǎn),M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'(-x0,f(x0)),因?yàn)閥=f(x)為偶函數(shù),所以f(x0)=f(-x0).所以M'(-x0,f(-x0))在y=f(x)的圖象上,所以y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)充分性:若y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,設(shè)M(x0,f(x0))為其圖象上任意一點(diǎn),則M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M'(-x0,-f(x0))仍在該圖象上,所以f(-x0)=-f(x0),所以y=f(x)為奇函數(shù).必要性:若y=f(x)為奇函數(shù),設(shè)M(x0,f(x0))為其圖象上任意一點(diǎn),則M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M'(-x0,-f(x0)).因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù),所以-f(x0)=f(-x0),所以M'(-x0,f(-x0))在y=f(x)的圖象上,所以y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
知識(shí)點(diǎn)2　函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”.2.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取得最值時(shí)的自變量的值互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上取得的最值互為相反數(shù),取得最值時(shí)的自變量的值也互為相反數(shù).
名師點(diǎn)睛1.奇偶性與單調(diào)性都是函數(shù)的重要性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),是研究函數(shù)值在某一區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì);而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),是研究函數(shù)圖象在整個(gè)定義域上的對(duì)稱性.2.研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性對(duì)了解函數(shù)非常重要,如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),根據(jù)它的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì),只要把這個(gè)函數(shù)的定義域分成關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分,由函數(shù)在其中一部分上的圖象和性質(zhì),即可推斷出它在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì).而研究該函數(shù)其中一部分圖象的情況,就得研究其函數(shù)值的變化,這將研究其單調(diào)性,只有把這兩種性質(zhì)結(jié)合在一起才能更好地了解函數(shù)的特征.
過關(guān)自診1.函數(shù)f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數(shù)且在[-6,0]上單調(diào)遞減,則一定有(　　)A.f(3)+f(4)>0B.f(-3)-f(-2)0D.f(-2)+f(-5)f(-1),f(-3)>f(-2),∴f(4)>f(-1),∴f(4)-f(-1)>0,f(-3)-f(-2)>0,故C正確,B錯(cuò)誤.又無法確定f(3),f(4),f(-2),f(-5)的正負(fù).故選C.
2.若奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的解析式為f(x)=x(1+x),則f(x)在(0,+∞)上有(　　)
3.[人教A版教材習(xí)題]已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),而且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,判斷f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減,并證明你的判斷.
解 f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.證明如下:任取x10.因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(-x1)0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.
解 當(dāng)x0,此時(shí)f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式為
規(guī)律方法　已知當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)=φ(x),求當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí)f(x)的解析式.若f(x)為奇函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí),-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí),-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).提醒:若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,不能漏掉.
探究點(diǎn)三　函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用
角度1比較函數(shù)值的大小【例3】 已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(　　)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)

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4.1 函數(shù)的奇偶性

版本： 北師大版 (2019)

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