薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴(yán)重的雜草之一,它侵害田地的面積S(單位:hm2)與年數(shù)t(年)滿足關(guān)系式S=S0·1.057t,其中S0(單位:hm2)為侵害面積的初始值.如果求10年后侵害的面積,則S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害的面積,就需要計算S=S0·1.05715.5,這個指數(shù)運算與初中所學(xué)的指數(shù)運算有什么差異呢?
一、指數(shù)冪的拓展1.正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
3.無理數(shù)指數(shù)冪一般地,給定正數(shù)a,對于任意的正無理數(shù)α,aα都是一個確定的實數(shù).自然地規(guī)定a-α= .這樣指數(shù)冪中指數(shù)的范圍就擴展到了全體實數(shù).
2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù).3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.
微練習(xí)1用根式表示下列各式:(1)已知x5=2 020,則x=　 ;?(2)已知x4=2 020,則x=　 .?微練習(xí)2已知x7=5,用指數(shù)冪的形式表示x=　　　　　.?
二、指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于任意正數(shù)a,b和實數(shù)α,β,指數(shù)冪均滿足下面的運算性質(zhì):aα·aβ=aα+β,(aα)β=aαβ,(a·b)α=aα·bα.名師點析1.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)除了上述三個外,還有如下兩個常用:aα÷aβ=aα-β,
2.在冪和根式的化簡運算中,一般將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再利用冪的運算性質(zhì)進行計算.
微練習(xí)下列運算中正確的是(　　)A.a2·a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2
利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義求值
反思感悟解與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有關(guān)的方程時,一般是利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的對應(yīng)關(guān)系,轉(zhuǎn)化求解.
根式的化簡(求值)例2求下列各式的值:
分析(1)首先利用根式的性質(zhì)直接化簡兩個根式,然后進行運算;(2)首先將被開方數(shù)化為完全平方式,然后開方化為絕對值的形式,根據(jù)x的取值范圍去掉根號即可.
(2)在對根式進行化簡時,若被開方數(shù)中含有字母參數(shù),則要注意字母參數(shù)的取值范圍,即確定 中a的正負(fù),再結(jié)合n的奇偶性給出正確結(jié)果.
延伸探究(1)該例中的(2),若x3呢?
解:由例題解析可知原式可化為|x-1|-|x+3|.(1)若x0,故該式=(x-1)-(x+3)=-4.
指數(shù)冪的化簡與求值例3計算下列各式的值:
反思感悟1.對于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對于計算題的結(jié)果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).
(1)a+a-1;　(2)a2+a-2;　(3)a2-a-2.
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
反思感悟解決條件求值問題的一般方法——整體法對于條件求值問題,一般先化簡代數(shù)式,再將字母取值代入求值.但有時字母的取值未知或不易求出,這時可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu),從而通過“整體法”巧妙地求出代數(shù)式的值.利用“整體法”求值時常用的變形公式如下:
解:∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
用換元法處理指數(shù)冪中的化簡與證明問題
分析看見三個式子連等,立刻想到賦中間變量,通過中間變量去構(gòu)建能用到題干中已知值的式子.
證明:令pa3=qb3=rc3=k,
反思感悟1.對于“連等式”,常用換元法處理.如本例,我們可令它等于一個常數(shù)k,然后以k為媒介化簡,這樣使問題容易解決.2.換元過程中尤其要注意所代換的新變元的范圍一定與被替換對象一致,關(guān)鍵時候還要檢驗.
∵a,b,c為正整數(shù),且ax=by=cz≠1,∴a,b,c均不為1.∴1

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

1 指數(shù)冪的拓展

版本： 北師大版 (2019)

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