在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象，如六角形的雪花晶體、建筑物和它在水中的倒影……
[問題] 我們知道函數(shù)的圖象能夠反映函數(shù)的性質(zhì)，那么函數(shù)圖象的對稱性反映了函數(shù)的什么性質(zhì)呢？



知識點(diǎn) 函數(shù)的奇偶性
1．奇函數(shù)
(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A，如果對任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；
(2)圖象特征：圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，反之亦然．
2．偶函數(shù)
(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A，如果對任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
(2)圖象特征：圖象關(guān)于y軸對稱，反之亦然．
3．奇偶性
當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)，稱f(x)具有奇偶性．
eq \a\vs4\al()
對函數(shù)奇偶性的再理解
(1)定義域I具有對稱性，即?x∈I，－x∈I.定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)；
(2)當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，要看f(x)與f(－x)的關(guān)系．特別地，若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)是非奇非偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
1．下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是( )
解析：選B 選項(xiàng)A中的圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸均不對稱，故排除；選項(xiàng)C、D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，故排除；選項(xiàng)B中的圖象關(guān)于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù)．故選B.
2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是________(填序號)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝eq \f(1,\r(x))；④y＝eq \f(1,2)x2，x∈[0，1]．
答案：②
3．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函數(shù)，則a＝________．
答案：1
4．若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)＝2，則f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2 0
[例1] (鏈接教科書第65頁例2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)；
(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(3)f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0，a∈R)．
[解] (1)∵函數(shù)f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
(2)法一(定義法)：函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函數(shù)．
法二(根據(jù)圖象進(jìn)行判斷)：f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4，x≥2，,－2x，－20，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x0”改為“x≥0”，其他條件不變，求f(x)的解析式．
解：當(dāng)x0，此時(shí)f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式為
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x≥0，,－2x2－3x＋1，x0時(shí)，－x

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.1 函數(shù)的奇偶性

版本： 北師大版 (2019)

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