北師大版 (2019)必修第一冊(cè)4.1 函數(shù)的奇偶性導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

§4　函數(shù)的奇偶性與簡(jiǎn)單的冪函數(shù)4.1　函數(shù)的奇偶性學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義．(重點(diǎn)) 2．掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法．(重點(diǎn)) 3．會(huì)應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．(難點(diǎn))1．借助奇偶性的特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過(guò)函數(shù)奇偶性的判斷和證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).　 1．奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義是什么？2．奇、偶函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？3．奇、偶函數(shù)的圖象有什么特征？4．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性有什么關(guān)系？1．奇函數(shù)(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A，如果對(duì)任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(2)圖象特征：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反之亦然．2．偶函數(shù)(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A，如果對(duì)任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(2)圖象特征：圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所之亦然．3．奇偶性當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)，稱f(x)具有奇偶性．(1)如果定義域內(nèi)存在x0，滿足f(－x0)＝f(x0)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎？(2)函數(shù)的奇偶性定義中，對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，滿足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？[提示]　(1)不一定，必須對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立．(2)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是________(填序號(hào))．①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0,1]．[答案]　②2.(一題兩空)下列圖象表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是________，是偶函數(shù)的是________(填序號(hào))．　①　　　　②　　　③　　　　④②④　①③　[①③關(guān)于y軸對(duì)稱是偶函數(shù)，②④關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)．]3.下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)；③函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數(shù)；④若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0. [答案]　④ 類型1　判斷函數(shù)的奇偶性【例1】　判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[解]　(1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{－1,1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．綜上可知，對(duì)于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．步驟如下：①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若不對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，若對(duì)稱，則進(jìn)行下一步．②驗(yàn)證．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下結(jié)論．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)圖象法：①若f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)是奇函數(shù)．②若f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)是偶函數(shù)．③若f(x)圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．④若f(x)的圖象既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又不關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(3)性質(zhì)法：①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；③奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；④一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．1．已知f(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，且它們都恒不為0，則f(x)·g(x)(　　)A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D．奇偶性不能確定A　[令F(x)＝f(x)·g(x)，則F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函數(shù)，即f(x)·g(x)是奇函數(shù)．故選A.]2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝.[解]　(1)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(3)f(x)的定義域?yàn)?/span>[－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．類型2　利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【例2】　(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)?/span>[a－1,2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝__________.(1)　0　(2)0　[(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0.(2)由奇函數(shù)定義有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.]利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類型(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用a＋b＝0求參數(shù)．(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________.－1　[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－.顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]4．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a＝________.1　[因?yàn)?/span>f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.] 類型3　利用函數(shù)的奇偶性求解析式【例3】　若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．[解]　當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0.當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝1．(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，求f(－2)的值．[解]　因?yàn)?/span>f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.2．(變條件)若把本例中的奇函數(shù)改為偶函數(shù)，其他條件不變，求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式．[解]　當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋3.利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的3個(gè)步驟(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)；(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．5．設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．[解]　因?yàn)?/span>f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.(①－②)÷2，得g(x)＝2x. 類型4　函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合【例4】　(1)已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1,1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]　(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函數(shù)，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．又∵f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴解得∴0≤a<1，∴a的取值范圍是[0,1)．(2)∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．∴原不等式等價(jià)于解得－1≤m<.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題解題思路(1)解決比較大小、最值問(wèn)題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(2)解決不等式問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式(組)，要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響．6．已知偶函數(shù)f在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．(－1,3)　[∵f為偶函數(shù)，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f在[0，＋∞)上單調(diào)遞減．∴|x－1|<2，即－2<x－1<2，∴x的取值范圍為(－1,3)．]1．設(shè)f是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f＝2x2－x，則f等于(　　)A．－3 B．－1C．1 D．3A　[∵f是奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]2．下列各圖中，表示以x為自變量的奇函數(shù)的圖象是(　　)　　　　A　　　　B　　　　C　　　 DB　[作平行于y軸的直線，圖象中y的取值是唯一的，故排除A、D；由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的對(duì)象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C.]3．定義在R上的偶函數(shù)f在[0，＋∞)上是增函數(shù)，若f(a)<f(b)，則一定可得(　　)A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0[答案]　C4．已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則a＋b等于________．－1　[根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知a與b有一個(gè)等于1，一個(gè)等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.]5．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[2,6]上是減函數(shù)，則f(－5)________f(3)．(填“＞”或“＜”)＜　[∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－5)＝f(5)，而函數(shù)f(x)在[2,6]為減函數(shù)，∴f(5)＜f(3)．∴f(－5)＜f(3)．]

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