人教B版 (2019)必修第一冊2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集優(yōu)秀導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2.1 等式

2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集

知識點(diǎn)1 等式的性質(zhì)

1.等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；

2.等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

知識點(diǎn)2 恒等式

1.恒等式：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等.

2.“十字相乘法”

對于給定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，則

x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b).

注意：已知C和D，尋找滿足條件的a和b的過程，通常用下圖來表示：

其中兩條交叉的線表示對應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于C.

知識點(diǎn)3 方程的解集

方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值. 一般地，把一個方程的所有解組成的集合稱為這個方程的解集.

探究一等式性質(zhì)的應(yīng)用

(1)“●”“■”“▲”分別表示三種不同的物體，如圖所示，

前兩架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”處應(yīng)放“■”的個數(shù)為( )

A.5 B.4

C.3 D.2

A [設(shè)“●”“■”“▲”的質(zhì)量分別為由題圖可知，2x＝y(tǒng)＋z①，x＋y＝z②，②兩邊都加上y，得x＋2y＝y(tǒng)＋z③，由①③，得2x＝x＋2y，所以x＝2y，代入②，得z＝3y，因?yàn)閤＋z＝2y＋3y＝5y，所以“？”處應(yīng)放“■”5個.]

(2)下列變形一定正確的是( )

A.若ax＝bx，則a＝b

B.若(a＋1)x＝a＋1，則x＝1

C.若x＝y(tǒng)，則x－5＝5－y

D.若x＝y(tǒng)，則eq \f(x,a2＋1)＝eq \f(y,a2＋1)

D [等式的性質(zhì)2中兩邊同除以一個不為0的數(shù)，等式成立，應(yīng)找不為0的式子，而A、B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正確.]

[跟蹤訓(xùn)練1] 將等式變形，過程如下：

因?yàn)?a－2b＝2a－2b[來源:Z&xx&k.Cm]

所以3a＝2a (第一步)

所以3＝2 (第二步)

上述過程中，第一步的依據(jù)是________；第二步得出錯誤的結(jié)論，其原因是__________.

性質(zhì)1 a＝0 [第一步的依據(jù)是等式的性質(zhì)1.第二步得出錯誤的結(jié)論，其原因是a＝0. ]

探究二恒等式問題

分解因式：

(1)x2－3x＋2; (2)x2＋4x－12；

(3)x2－(a＋b)xy＋aby2; (4) xy－1＋x－y.

解 (1)如圖1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).

圖1 圖2 圖3 圖4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時，可以直接將圖1中的兩個x用1來表示(如圖2所示).

(2)由圖3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).

(3)由圖4，得 x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)

(4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y＋1) (如圖5所示).

[來源:]

圖5

[方法總結(jié)]

因式分解的常用方法

1.“十字相乘法”，此法適用于二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解交叉相乘結(jié)果為一次項(xiàng)系數(shù)的二次三項(xiàng)式因式分解問題.

2.提取公因式法：當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時，可以把這個因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積形式的方法.

3.公式法：把乘法公式反過來用，把某些多項(xiàng)式因式分解的方法.

[跟蹤訓(xùn)練2] 給出三個多項(xiàng)式：a2＋3ab－2b2，b2－3ab，ab＋6b2，任請選擇兩個多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果分解因式.

解根據(jù)平方差公式，可得答案.

(a2＋3ab－2b2)＋(b2－3ab)

＝a2＋3ab－2b2＋b2－3ab

＝a2－b2＝(a＋b)(a－b).

探究三方程的解集

已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是關(guān)于x的一元一次方程，

(1)求代數(shù)式200(m＋x)(x－2m)＋9m的值；

(2)求關(guān)于y的方程m|y－1|＝x的解.

解 (1)依題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝1,m＋1≠0，))所以m＝1

所以原方程為－2x＋8＝0，所以x＝4.

將m＝1，x＝4代入

200(m＋x)(x－2m)＋9m＝200(1＋4)(4－2)＋9＝2009.

(2)因?yàn)閙＝1，x＝4，

所以m|y－1|＝x可化為|y－1|＝4，

所以y－1＝±4，所以y＝5或y＝－3.

[方法總結(jié)]

先找準(zhǔn)突破口，求出m，再層層遞進(jìn)，從而求x及代數(shù)式與方程的解. ,

[跟蹤訓(xùn)練3] 能不能從(a＋3)x＝b－1得到x＝eq \f(b－1,a＋3)，為什么？反之，能不能從x＝eq \f(b－1,a＋3)得到等式(a＋3)x＝b－1，為什么？

解當(dāng)a＝－3時，從(a＋3)x＝b－1不能得到x＝eq \f(b－1,a＋3)，因?yàn)?不能為除數(shù)，而從x＝eq \f(b－1,a＋3)可以得到等式(a＋3)x＝b－1，這是根據(jù)等式的性質(zhì)2，且從x＝eq \f(b－1,a＋3)可知，a＋3≠0.

1.在利用等式的基本性質(zhì)時，經(jīng)常沒注意性質(zhì)中兩邊不能同除一個為0的數(shù)，而式子往往又可能為0，故導(dǎo)致錯誤的發(fā)生.

2.掌握“十字相乘法”對二次三項(xiàng)式因式分解的方法

十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)，即運(yùn)用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆運(yùn)算進(jìn)行因式分解.

課時作業(yè)(九) 等式的性質(zhì)與方程的解集

1.下列等式變形不正確的是( )

A.若6x＝5x－2，則x＝2

B.若6x＝5x－2，則x＝－2

C.若3x＝x＋4，則2x＝4

D.若3x＝x＋4，則x＝2

A [對B，等式兩邊同減去5x；對C，等式兩邊同減去x；對D，等式兩邊同減去x后再除以2.]

2.下列是等式eq \f(2x＋1,3)－1＝x的變形，其中是根據(jù)等式的性質(zhì)2變形的是( )

A.eq \f(2x＋1,3)＝x＋1 B.eq \f(2x＋1,3)－x＝1

C.eq \f(2x,3)＋eq \f(1,3)－1＝x D.2x＋1－3＝3x

D [根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同乘3，得2x＋1－3＝3x.]

3.下列各式分解因式正確的是( )

A. x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2

B.2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2

C.2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)

D.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y)

A [x2＋6xy＋9y2＝x2＋2·x·3y＋(3y)2＝(x＋3y)2.]

4.解方程－eq \f(1,4)x＝6，得x＝－24，給出下列說法：①方程兩邊同時乘－eq \f(1,4)；②方程兩邊同時乘－4；③方程兩邊同時除以－eq \f(1,4)；④方程兩邊同時除以－4.

其中正確的有( )

A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

B [將方程兩邊同時乘－4，得x＝6×(－4)＝－24；將方程兩邊同時除以－eq \f(1,4)，得x＝6÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－24，所以②③正確.]

5.因式分解：ax2－7ax＋6a＝_____________.

a(x－1)(x－6) [原式＝a(x2－7x＋6)＝a(x－1)(x－6).]

6.已知等式2a－3＝2b＋1，請你猜想a與b之間的大小關(guān)系.

解 a大于b，理由如下：

等式兩邊加3，得2a＝2b＋4，

等式兩邊減2b，得2a－2b＝4，

等式兩邊除以2，得a－b＝2，

因?yàn)閍與b的差是正數(shù)，所以a大于b.

7.兩位同學(xué)將一個二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項(xiàng)而分解成2(x－2)(x－4)，請將原多項(xiàng)式分解因式.

解設(shè)原多項(xiàng)式為ax2＋bx＋c(其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0).[來源:Z|xx|k.Cm]

因?yàn)?(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18，

所以a＝2，c＝18；

又因?yàn)?(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16，

所以b＝－12.

所以原多項(xiàng)式為2x2－12x＋18，將它分解因式，

得2x2－12x＋18＝2(x2－6x＋9)＝2(x－3)2.

1.對于任何整數(shù)m，多項(xiàng)式(4m＋5)2－9都能( )

A.被8整除 B.被m整除

C.被(m－1)整除 D.被(2m－1)整除

A [(4m＋5)2－9＝(4m＋5)2－32＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1).因?yàn)閙是整數(shù)，而(m＋2)和(2m＋1)都是隨著m的變化而變化的數(shù)，所以該多項(xiàng)式肯定能被8整除.]

2.下面是一個被墨水污染過的方程：2x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)x－■，答案顯示此方程的解是x＝eq \f(5,3)，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是( )

A.2 B.－2

C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)

B [將x＝eq \f(5,3)代入方程，得2×eq \f(5,3)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,3)－■，解得■＝－2.]

3.小明學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后對小亮說：“我發(fā)現(xiàn)4可以等于3，你看這里有一個方程4x－2＝3x－2，等式的兩邊加上2，得4x＝3x，然后等式的兩邊再除以x，得4＝3.”

(1)請你想一想，小明的說法對嗎？為什么？

(2)你能用等式的性質(zhì)求出方程4x－2＝3x－2的解嗎？

解 (1)不對.因?yàn)樵诘仁?x＝3x的兩邊除以x時，沒有注意到x剛好為0.

(2)方程兩邊加2，得4x＝3x，方程兩邊減3x，得x＝0.

4.將一個多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等.

如“2＋2”分法：ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)

請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：

(1)分解因式：x2－y2－x－y；

(2)分解因式：9m2－4x2＋4xy－y2；[來源:]

(3)分解因式：4a2＋4a－4a2b2－b2－4ab2＋1.

解 (1)x2－y2－x－y＝(x2－y2)－(x＋y)

＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1).

(2)9m2－4x2＋4xy－y2

＝9m2－(4x2－4xy＋y2)＝(3m)2－(2x－y)2

＝(3m＋2x－y)(3m－2x＋y).

(3)4a2＋4a－4a2b2－b2－4ab2＋1

＝(2a＋1)2－b2(2a＋1)2＝(2a＋1)2(1＋b)(1－b).

5.(拓廣探索)觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式(x2＋6x＋10)(x2＋6x＋8)＋1分解因式的過程：

解設(shè)x2＋6x＝y(tǒng)，則

原式＝(y＋10)(y＋8)＋1＝y(tǒng)2＋18y＋81

＝(y＋9)2＝(x2＋6x＋9)2.

(1)回答問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？若不徹底，請你直接寫出因式分解的最后結(jié)果；

(2)仿照上題解法，分解因式：(x2＋4x＋1)(x2＋4x－3)＋4.

解 (1)這位同學(xué)的因式分解不徹底，

原式＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.

(2)設(shè)x2＋4x＝y(tǒng)，則原式＝(y＋1)(y－3)＋4

＝y(tǒng)2－2y＋1＝(y－1)2＝(x2＋4x－1)2.

課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.通過對比，理解等式和不等式的共性與差異.
通過對等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).
2.梳理等式的性質(zhì).

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