學習目標 1.能用符號語言和量詞表示等式的性質(zhì).2.了解恒等式，掌握常見的恒等式，會用“十字相乘法”分解二次三項式.3.能利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進行代數(shù)變形，求方程的解集．
導語
有只狡猾的狐貍平時總喜歡戲弄其他動物，有一天它遇見老虎，狐貍說：“我發(fā)現(xiàn)了2和5可以相等．我這里有一個方程5x－2＝2x－2.
等式兩邊同時加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式兩邊同時除以x，得5＝2”．
老虎瞪大了眼睛，一臉疑惑，你認為狐貍的說法正確嗎？
一、恒等式
問題1 判斷下列命題是否正確？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
提示 以上均正確，這些都是等式的基本性質(zhì)．
知識梳理
1．等式的性質(zhì)
(1)等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，則對任意c，都有a±c＝b±c；這里的a，b，c可以是具體的一個數(shù)，也可以是一個代數(shù)式．
(2)等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，則對任意不為零的c，都有ac＝bc，eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．恒等式
(1)恒等式的含義
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．
(2)常見的代數(shù)恒等式
①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
②a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
④(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，
(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd.
例1 (1)下列由等式的性質(zhì)進行的變形，錯誤的是( )
A．如果a＝3，那么eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)
B．如果a＝3，那么a2＝9
C．如果a＝3，那么a2＝3a
D．如果a2＝3a，那么a＝3
答案 D
解析 如果a＝3，那么eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，正確，故選項A不符合題意；
如果a＝3，那么a2＝9，正確，故選項B不符合題意；
如果a＝3，那么a2＝3a，正確，故選項C不符合題意；
當a＝0時，兩邊都除以a，無意義，故選項D符合題意．
(2)化簡(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是( )
A．－2m2 B．0
C．－2 D．－1
答案 C
解析 (m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)
＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)
＝(m4－1)－(m4＋1)
＝m4－1－m4－1
＝－2.
反思感悟 (1)使用公式化簡時，一定要分清公式中的a，b分別對應題目中的哪個數(shù)或哪個整式．
(2)利用公式化簡時，要注意選擇恰當?shù)墓?，可以有效地簡化運算．
跟蹤訓練1 計算(x＋3y)2－(3x＋y)2.
解 方法一 (x＋3y)2－(3x＋y)2
＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2
＝8y2－8x2.
方法二 (x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)
＝4(x＋y)×2(－x＋y)
＝8y2－8x2.
二、十字相乘法分解因式
問題2 我們學過那些分解因式的方法？
提示 提取公因式法，公式法等．
問題3 我們知道對任意的x，a，b，都有(x＋a)·(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.那么對于二次三項式x2＋x－2如何分解因式呢？
提示 由(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2可知，二次三項式x2＋x－2可分解為(x－1)(x＋2)．
知識梳理
給定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，則x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．為了方便記憶，已知C和D，尋找滿足條件的a和b的過程，通常用圖來表示：，其中兩條交叉的線表示對應數(shù)相乘后相加要等于C，也正因為如此，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”．
注意點：
把二次項系數(shù)和常數(shù)項分解，交叉相乘，得到兩個因數(shù)，再把兩個因數(shù)相加，看它們的和是不是正好等于一次項系數(shù)．
例2 化簡下列各式：
(1)x2＋6x－7；
(2)2x2－7x＋6；
(3)x2＋29xy＋100y2；
(4)(a－b)2＋11(a－b)＋28.
解 (1)方法一 x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7
＝(x＋3)2－16＝(x＋3＋4)(x＋3－4)＝(x＋7)(x－1).
方法二 x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)．
(2)首先把二次項系數(shù)2分成1×2，常數(shù)項6分成(－2)×(－3)，寫成十字相乘，左邊兩個數(shù)的積為二次項系數(shù)．
右邊兩個數(shù)相乘為常數(shù)項，交叉相乘的和為1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次項系數(shù)，從而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)．
(3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)．
(4)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]
＝(a－b＋4)(a－b＋7)．
反思感悟 (1)對于首項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進行因式分解．
(2)對于二次三項式ax2＋bx＋c(a，b，c都是整數(shù)，且a≠0)來說，如果存在四個整數(shù)a1，c1，a2，c2滿足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三項式ax2＋bx＋c，即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解為(a1x＋c1)·(a2x＋c2)．
跟蹤訓練2 化簡下列各式：
(1)x2＋37x＋36；
(2)－x2＋(a－2)x＋2a.
解 (1)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．
(2)－x2＋(a－2)x＋2a＝(x＋2)(－x＋a)＝－(x＋2)·(x－a)．
三、方程的解集
知識梳理
1．方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．一般地，把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．
2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，當x1≠x2時解集為{x1，x2}，當x1＝x2時解集為{x1}．
注意點：
把方程通過變換，求出的未知數(shù)的值不一定是這個方程的根，也可能是這個方程的增根．
例3 求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
(2)4x2－3x－1＝0.
解 (1)去括號，得4－30＋3y＝5y.
移項，得3y－5y＝30－4.
合并同類項，得－2y＝26.
系數(shù)化為1，得y＝－13.
所以該方程的解集為{－13}．
(2)因為4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)，
所以原方程可化為(x－1)(4x＋1)＝0，
所以x－1＝0或4x＋1＝0，即x＝1或x＝－eq \f(1,4)，
故原方程的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1)).
反思感悟 利用因式分解將式子分解為因式乘積的形式，利用ab＝0，則a＝0或b＝0求解．
跟蹤訓練3 求下列方程的解集：
(1)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
解 (1)整理，得x2－2x＋1＝0.
即(x－1)2＝0，
所以x1＝x2＝1.
所以原方程的解集為{1}．
(2)利用平方差公式，將原方程化為[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，
所以7x－8＝0或x－32＝0，
所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，
故原方程的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).
1．知識清單：
(1)等式的性質(zhì)及常見的恒等式．
(2)十字相乘法．
(3)求方程的解集．
2．方法歸納：提取公因式法、公式法、十字相乘法．
3．常見誤區(qū)：公式中“±”號的選取，十字相乘法中的配湊．
1．若3a＝2b，下列各式進行的變形中，不正確的是( )
A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b D．－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)
答案 C
解析 對于A，∵3a＝2b，
∴3a＋1＝2b＋1，正確，不符合題意；
對于B，∵3a＝2b，
∴3a－1＝2b－1，正確，不符合題意；
對于C，∵3a＝2b，
∴9a＝6b，故此選項錯誤，符合題意；
對于D，∵3a＝2b，
∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)，正確，不符合題意．
2. x＝1是關(guān)于x的方程2x－a＝0的解，則a的值是( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 B
解析 原方程可化為x＝eq \f(a,2)，
又x＝1，所以eq \f(a,2)＝1，即a＝2.
3．已知a＋b＝3，ab＝2，計算：a2b＋ab2等于( )
A．5 B．6 C．9 D．1
答案 B
解析 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.
4．分解因式：3x2－6x＋3＝________.
答案 3(x－1)2
解析 3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2.
5．分解因式：a3＋a2－a－1＝________.
答案 (a＋1)2(a－1)
解析 a3＋a2－a－1＝a2(a＋1)－(a＋1)＝(a2－1)(a＋1)＝(a＋1)2(a－1)．
1．(多選)下列說法不正確的是( )
A．在等式ab＝ac兩邊都除以a，可得b＝c
B．在等式a＝b兩邊都除以c2＋1，可得eq \f(a,c2＋1)＝eq \f(b,c2＋1)
C．在等式eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)兩邊都除以a，可得b＝c
D．在等式2x＝2a－b兩邊同除以2，可得x＝a－b
答案 ACD
解析 對于A，當a＝0時不正確；
對于B，∵c2＋1≠0，∴B正確；
對于C，等式eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)兩邊都除以a可得eq \f(b,a2)＝eq \f(c,a2)，
∴C不正確；
對于D，在等式2x＝2a－b兩邊同除以2，得x＝a－eq \f(b,2)，
∴D不正確．
2．(多選)下列方程的解集不正確的是( )
A．x－3＝1的解集是{－2}
B．eq \f(1,2)x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解集是{3}
D．－eq \f(1,3)x＝2的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
答案 ACD
解析 方程x－3＝1的解是x＝4，eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4，3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解是x＝－7，－eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－6，故選ACD.
3．下列計算正確的是( )
A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3b
B．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3b
C．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－y
D．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3n
答案 B
解析 對于A項，去括號、合并同類項，得8a＋2b＋5a－b＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b≠13a＋3b，故本選項錯誤；
對于B項，去括號、合并同類項，得5a－3b－3a＋6b＝5a－3a－3b＋6b＝2a＋3b，故本選項正確；
對于C項，去括號、合并同類項，得2x－3y＋5x＋4y＝2x＋5x－3y＋4y＝7x＋y≠7x－y，故本選項錯誤；
對于D項，去括號、合并同類項，得3m－2n－4m＋5n＝3m－4m－2n＋5n＝－m＋3n≠m＋3n，故本選項錯誤．
4．方程2m＋x＝1和3x－1＝2x＋1的解相同，則m的值為( )
A．0 B．1 C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 D
解析 方程3x－1＝2x＋1的解集為{2}，方程2m＋x＝1可化為x＝1－2m，所以由已知可得1－2m＝2，即m＝－eq \f(1,2).
5．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得( )
A．(a＋b＋10)(a＋b－2)
B．(a＋b＋5)(a＋b－4)
C．(a＋b＋2)(a＋b－10)
D．(a＋b＋4)(a＋b－5)
答案 A
解析 (a＋b)2＋8(a＋b)－20＝ [(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．
6．若式子3x2－mx－2分解因式的結(jié)果是(3x＋2)(x＋n)，則實數(shù)m＝________，n＝________.
答案 1 －1
解析 ∵(3x＋2)(x＋n)＝3x2＋(3n＋2)x＋2n＝3x2－mx－2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋2＝－m，,2n＝－2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝－1.))
7．方程eq \f(3x－2,3)－eq \f(0.1x－0.3,0.2)＝1的解集為________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))
解析 原方程可化為eq \f(3x－2,3)－eq \f(x－3,2)＝1，
即6x－4－3x＋9＝6，即3x＝1，解得x＝eq \f(1,3)，
所以方程的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))).
8．把4x4y2－5x2y2－9y2分解因式的結(jié)果是__________．
答案 y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)
解析 4x4y2－5x2y2－9y2
＝y(tǒng)2(4x4－5x2－9)
＝y(tǒng)2(4x2－9)(x2＋1)
＝y(tǒng)2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)．
9．把下列各式分解因式：
(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(2)－8a2b＋2a3＋8ab2.
解 (1)原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y)．
(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2.
10．把下列各式分解因式：
(1)x2－y2－x＋3y－2；
(2)6xy＋4x＋3y＋2；
(3)x2－(a＋b)x＋ab；
(4)x2－(3＋a)|x|＋3a.
解 (1)原式＝(x＋y)(x－y)－x＋3y－2
＝(x＋y－2)(x－y＋1)．
(2)原式＝(2x＋1)(3y＋2)．
(3)原式＝(x－a)(x－b)．
(4)原式＝(|x|－3)(|x|－a)．
11．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，則m＋n等于( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
答案 C
解析 ∵(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n，
∴m＝1，n＝－2.
∴m＋n＝1－2＝－1.
12．若實數(shù)a，b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，則a＋b＝________.
答案 －eq \f(1,2)或1
解析 設(shè)a＋b＝x，則原方程可化為4x(4x－2)－8＝0，整理，得16x2－8x－8＝0，所以(2x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－eq \f(1,2)或x＝1，則a＋b＝－eq \f(1,2)或1.
13．若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b為整數(shù)，則m取值的集合為________．
答案 {－9，－3,3,9}
解析 因為x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝a＋b，,ab＝－10.))
又因為a，b為整數(shù)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝10，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－10，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－5，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝5.))
所以m＝±9或±3，
所以m取值的集合為{－9，－3,3,9}．
14．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，則m＝________，關(guān)于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集為________．
答案 1 {0}
解析 因為y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，
所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)?(x－3)－2＝2x－5，解得x＝0.
所以方程的解集為{0}．
15．(多選)規(guī)定一種運算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.例如：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x 2,1 5))＝8，運算得5x－2＝8，解得x＝2.按照這種運算的規(guī)定，那么當eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x 2x,2 x))＝5時，x的可能取值為( )
A．－1 B．0 C．2 D．5
答案 AD
解析 由題意，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x 2x,2 x))＝x2－4x＝5，
即x2－4x－5＝0，
解得x＝5或x＝－1.
16．已知a，b，c是△ABC的三邊長，c是△ABC的最短邊，且△ABC滿足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的取值范圍．
解 ∵a2＋b2＝12a＋8b－52，
∴a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，
∴(a－6)2＋(b－4)2＝0，
∴a＝6，b＝4，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件，∴2

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2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集

版本： 人教B版 (2019)

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