在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(a>b)(如圖①)，將余下的部分剪接拼成一個長方形(如圖②)，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證是你已經(jīng)學習過的哪個等式？
知識點1 等式的性質
性質(1)：等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．
用字母表示為：如果a＝b，則對任意的c，都有a＋c＝b＋c．
性質(2)：等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．
用字母表示為：如果a＝b，則對任意的不為零的c，都有ac＝bc．
等式還具有如下性質：
(1)對稱性：等式左右兩邊互換，所得結果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a．
(2)傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代換)．
知識點2 恒等式
1．恒等式的含義
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．
2．常見的代數(shù)恒等式
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca．
3．十字相乘法
(1)給定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，則x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．為了方便記憶，已知C和D，尋找滿足條件的a和b的過程，通常用圖來表示：，其中兩條交叉的線表示對應數(shù)相乘后相加要等于C，也正因為如此，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”．
代數(shù)式x2＋Cx＋D能進行因式分解的條件是C2－4D≥0．
(2)用“十字相乘法”分解因式：
①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)進行分解．
1．十字相乘法分解因式的關鍵是什么？
[提示] 把二次項和常數(shù)項分解，交叉相乘，得到兩個因數(shù)，再把兩個因數(shù)相加，看它們的和是不是正好等于一次項系數(shù)．
知識點3 方程的解集
1．方程的有關概念
2．一元一次方程
2．把方程通過適當變換后，求出的未知數(shù)的值都是這個方程的解(根)嗎？
[提示] 把方程通過變換，求出的未知數(shù)的值不一定是這個方程的根，也可能是這個方程的增根．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若xa＝y(tǒng)a，則x＝y(tǒng)．( )
(2)若x＝y(tǒng)，則xa＝y(tǒng)b．( )
(3)若x＋a＝y(tǒng)－a，則x＝y(tǒng)．( )
(4)若x＝y(tǒng)，則ax＝by．( )
(5)若x－m＝y(tǒng)－m，則x＝y(tǒng)．( )
(6)用因式分解法解方程時部分過程為：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2．( )
(7)計算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25．( )
(8)因式分解過程為：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)×
2．式子x2＋3x－18分解因式的結果是( )
A．(x－6)(x＋3) B．(x＋6)(x－3)
C．(x－2)(x＋9)D．(x＋2)(x－9)
B [因為6×(－3)＝－18，6＋(－3)＝3，所以x2＋3x－18＝(x＋6)(x－3)．]
3．已知三角形兩邊長分別為4和7，第三邊的長是方程x2－17x＋66＝0的根，則第三邊的長為________．
6 [由方程x2－17x＋66＝0得，
(x－6)(x－11)＝0，解得x＝6或x＝11，
當x＝6時，三邊長為4，6，7，符合題意；
當x＝11時，以4，7，11為三邊構不成三角形，不合題意，舍去，則第三邊長為6．]
類型1 恒等式的化簡與求值
【例1】 (1)(多選)若x2＋xy－2y2＝0，則x2+3xy+y2x2+y2的值可以為( )
A．－52B．－15
C．15 D．52
(2)若多項式x2＋kx－24可以因式分解為(x－3)·(x＋8)，則實數(shù)k的值為( )
A．5B．－5
C．11D．－11
(3)計算(x＋3y)2－(3x＋y)2的結果是( )
A．8x2－8y2B．8y2－8x2
C．8(x＋y)2D．8(x－y)2
(1)BD (2)A (3)B [(1)由x2＋xy－2y2＝0得(x＋2y)(x－y)＝0，
所以x＝－2y或x＝y(tǒng)．當x＝－2y時，x2+3xy+y2x2+y2＝4y2-6y2+y24y2+y2＝－15；
當x＝y(tǒng)時，x2+3xy+y2x2+y2＝y(tǒng)2+3y2+y2y2+y2＝52．
(2)由題意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24．故選A．
(3)(法一)(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2．
(法二)(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)
＝8y2－8x2．]
利用恒等式進行因式分解的步驟
一提：先看能否提公因式；
二套：再看能否套用公式；
三檢查：再檢查因式分解是否徹底；
四檢驗：最后用多項式乘法檢驗分解是否正確．
[跟進訓練]
1．(1)計算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．
(2)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．
[解] (1)(法一)原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]
＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1．
(法二)原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1．
(2)a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8．
類型2 十字相乘法分解因式
【例2】 十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7．
[解] (1)因為，
所以原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因為，
所以原式＝(x－2)(x－8)．
(3)因為，所以原式＝(2x－1)(3x＋7)．
十字相乘法分解因式的方法
(1)對于二次項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進行因式分解．
(2)嘗試把某些二次三項式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：
這里按斜線交叉相乘的積的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三項式ax2＋bx＋c中一次項的系數(shù)b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是圖中上面一行的兩個數(shù)，a2，c2是下面一行的兩個數(shù)．
[跟進訓練]
2．將y2－5y＋4因式分解的結果是( )
A．(y＋1)(y＋4)B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故選D．]
類型3 求方程的解集
【例3】 求下列方程的解集．
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)關于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0．
[解] (1)把方程左邊因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0，從而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1．所以方程的解集為{－1，2}．
(2)當a＝0時，原方程可化為－x＋1＝0，所以x＝1．
當a≠0時，對于ax2－(a＋1)x＋1來說，因為a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)．
如圖所示．
所以ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，
所以原方程可化為(ax－1)(x－1)＝0，
所以ax－1＝0或x－1＝0，所以x＝1a或x＝1．
當a＝1時，1a＝1，
綜上，當a＝0或a＝1時，方程的解集為{1}；
當a≠0且a≠1時，方程的解集為1a，1．
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步驟
(1)移項，將一元二次方程的右邊化為0．
(2)化積，利用提取公因式法、公式法等將一元二次方程的左邊分解為兩個一次因式的積．
(3)轉化，兩個因式分別為0，轉化為兩個一元一次方程．
(4)求解，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．
(5)將其解寫成集合的形式．
[跟進訓練]
3．若x＝－2是關于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一個根，則a的值為( )
A．1或4B．－1或－4
C．－1或4D．1或－4
B [∵x＝－2是關于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一個根，∴4＋5a＋a2＝0，
∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4．]
1．下列變形正確的是( )
A．若ax＝bx，則a＝b
B．若(a＋1)x＝a＋1，則x＝1
C．若x＝y(tǒng)，則x－5＝5－y
D．若x＝y(tǒng)，則xa2+1＝y(tǒng)a2+1
D [等式的性質中兩邊同除以一個不為0的數(shù)，等式成立，應找不為0的式子，而A，B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正確．]
2．(多選)下列等式中，是恒等式的是( )
A．(x－2)(x＋2)＝x2－4
B．(a＋b)c＝ac＋bc
C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9
D．16x2－9＝24x
ABC [A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化簡，是恒等式；B中，(a＋b)c＝ac＋bc是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化簡，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]
3．方程2x－1＝0的解集是________．
12 [由2x－1＝0，解得x＝12，所以方程的解集是12．]
4．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________．
(a－b＋4)(a－b＋7) [把a－b看作一個整體．
因為，
所以原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．用因式分解法解一元二次方程的步驟是怎樣的？
[提示] (1)將方程右邊化為0．
(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積．
(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．
提醒：①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應當移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根．②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據(jù)方程的特點分解因式．
2．因式分解常用的方法有哪些？
[提示] 提取公因式法、公式法、分組法、十字相乘法．
課時分層作業(yè)(十) 等式的性質與方程的解集
一、選擇題
1．如圖，天平上的物體a，b，c使天平處于平衡狀態(tài)(標有相同字母的物體質量相同)，則物體a與物體c的質量關系是( )
A．2a＝3c B．4a＝9c
C．a＝2cD．a＝c
B [由題圖可知，2a＝3b，2b＝3c，根據(jù)等式的性質得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．]
2．(多選)下列屬于恒等式的有( )
A．a2＝|a|
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．4x＝2 024
D．(x－1)2＝0
AB [A、B屬于恒等式；只有當x＝506時，等式4x＝2 024才成立；只有當x＝1時，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故選AB．]
3．將4x2＋1分別加上下列各項，其中不能化成(a＋b)2形式的是( )
A．4xB．－4x
C．4x4 D．16x
D [對于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此選項不符合題意；
對于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此選項不符合題意；
對于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此選項不符合題意；
對于D，4x2＋1＋16x，不能運用完全平方公式分解因式，故此選項符合題意．故選D．]
4．代數(shù)式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值為( )
A．－16B．16
C．－8 D．8
B [5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，
所以代數(shù)式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故選B．]
5．已知x2－3x＋1＝0，則x3＋1x3＝( )
A．－18B．18
C．－9D．9
B [因為x2－3x＋1＝0，所以x≠0，所以x＋1x＝3．
原式＝x+1xx2-1+1x2
＝x+1xx+1x2-3＝3(32－3)＝18．]
二、填空題
6．當x＝－7時，代數(shù)式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值為________．
－6 [因為(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因為x＝－7，
所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．]
7．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，則a＋b的值為________．
5 [因為2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b，
即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋a＋b恒成立，
所以2=2a，3=3a，5=a+b，所以a＋b＝5．]
8．設集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為________．
7 [A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，因為B?A，當B＝?時，a＝0，
當B≠?時，即a≠0時，由ax－1＝0，解得x＝1a，
則1a＝3或1a＝5，則對應實數(shù)a的值為13，15，則實數(shù)a組成的集合的元素有3個，
所以實數(shù)a組成的集合的真子集個數(shù)有23－1＝7．]
三、解答題
9．分解因式：
(1)8x3＋4x2－2x－1；
(2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3．
[解] (1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)·(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2．
(2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)．
10．小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y(tǒng)－●，怎么辦呢？小明想了想便翻看了書后的答案，此方程的解是y＝－3，很快補好了這個常數(shù)，這個常數(shù)應是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [設所缺的部分為x，則2y－1＝y(tǒng)－x，把y＝－3代入，求得x＝4．故選D．]
11．(多選)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且NM，則實數(shù)m的值可以是( )
A．0B．－3
C．－8D．3
ABC [M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}＝-23，-14．
∵NM，
∴當m＝0時，N＝?，符合題意；
當m≠0時，N＝2m．
當2m＝－23或2m＝－14時，
m＝－3或m＝－8．]
12．我國古代數(shù)學著作《田畝比類乘除捷法》中有這樣一個問題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩．問：總是幾人，每人各得幾兩？”其意思是：現(xiàn)一共有銀子八百六十四兩，只知道每個人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總人數(shù)多十二，則一共有________人，每個人分得________兩銀子．
36 24 [設共有x人，則每人分得864x兩銀子，
因為每個人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總人數(shù)多十二，
所以864x·2－x＝12，即x2＋12x－1 728＝0，
解得x＝36或x＝－48(舍去)，
所以一共有36人，每人分得24兩銀子．]
13．將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線記成a bc d，定義a bc d＝ad－bc，上述記號就叫做2階行列式．若x-1 x-11-x x+1＝12，則x＝________．
3或－2 [由題意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)·(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．]
14．已知關于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0．
(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)如果k是滿足(1)的最大整數(shù)，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一個根，求m的值及這個方程的另一個根．
[解] (1)由題意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2．
(2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的一個根為2，
所以4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4．所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一根為4．
15．常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解，如x2－4y2－2x＋4y，細心觀察這個式子會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式，過程為：
x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
這種分解因式的方法叫做分組分解法．利用這種方法解決下列問題：
(1)分解因式x2－2xy＋y2－25；
(2)△ABC三邊a，b，c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀．
[解] (1)x2－2xy＋y2－25＝(x－y)2－25＝(x－y＋5)(x－y－5)．
(2)因為a2－ab－ac＋bc＝0，所以a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)＝0，所以a＝b或a＝c，所以△ABC的形狀為等腰三角形．學習任務
1．能夠從具體實例中探索等式的性質并會應用．(邏輯推理)
2．理解恒等式的概念，會進行恒等變形．(數(shù)學運算)
3．會用十字相乘法分解因式，會求方程的解集．(數(shù)學運算)
方程
含有未知數(shù)的等式叫方程
方程的解(或根)
能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解(或根)
方程的解集
把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集
解方程
求方程的解的過程叫解方程
一元一次
方程
方程兩邊都是整式，都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫一元一次方程
滿足的
條件
①必須是整式方程；
②只含有一個未知數(shù)；
③未知數(shù)的次數(shù)都是1
表示形式
ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0)

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高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.1.1 等式的性質與方程的解集

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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