學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過理解等式的性質(zhì),體會用等式的性質(zhì)解方程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力;
2.通過類比推理,掌握等式推理的基本形式和規(guī)則,探索出解方程的核心方法,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力;
3.通過求方程的解集,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力.
自主預(yù)習(xí)
1.感受等式的性質(zhì)在現(xiàn)實世界中的體現(xiàn).
2.理解幾個重要的恒等式.
3.會用十字相乘法進(jìn)行因式分解.
4.理解一元一次方程以及一元二次方程的解集的求法.
課堂探究
一、等式的性質(zhì)
1.復(fù)習(xí)回顧
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過等式的性質(zhì):
(1)等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式,等式仍成立;
(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式,等式仍成立.
2.嘗試與發(fā)現(xiàn)
用符號語言和量詞表示上述等式的性質(zhì):
(1)如果a=b,則對任意c,都有a+c=b+c;
(2)如果a=b,則對任意不為零的c,都有ac=bc.
因為減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù),因此上述等式性質(zhì)中的“加上”與“乘以”如果分別改為“減去”與“除以”,結(jié)論仍成立.
二、恒等式
1.嘗試與發(fā)現(xiàn)
補全下列(1)(2)中的兩個公式,然后將下列含有字母的等式進(jìn)行分類,并說出分類的標(biāo)準(zhǔn):
(5)a2-b2= (平方差公式);
(6)(x+y)2= (兩數(shù)和的平方公式);
(7)3x-6=0;
(8)(a+b)c=ac+bc;
(5)m(m-1)=0;
(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).
2.感受新知
(1)從量詞的角度來對以上6個等式進(jìn)行分類:
對任意實數(shù)都成立的等式有: .
只是存在實數(shù)使其成立的等式有: .
(2)一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立,則稱其為恒等式,也稱等式兩邊恒等.
(3)恒等式是進(jìn)行代數(shù)變形的依據(jù)之一.例如,因為(x+y)2=x2+2xy+y2對任意x,y都成立,所以可用其他代數(shù)式去替換其中的x,y,等式仍然會成立,若用-z替換其中的y,則
(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2
=x2-2xz+z2,
由此就得到了以前學(xué)過的兩數(shù)差的平方公式.
3.經(jīng)典例題
例1 化簡(2x+1)2-(x-1)2.
4.課堂練習(xí)
(2)a2-6a+9; (2)4m(x-y)-8n(y-x);
(3)(a2+4)2-16a2.
反思感悟 分解因式的常用方法
(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;(4)十字相乘法.
下面我們介紹另外一個經(jīng)常會用到的恒等式:對任意的x,a,b,都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
這個恒等式的證明,只需將左邊展開然后合并同類項即可.
可以利用這個恒等式來進(jìn)行因式分解.給定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,則
x2+Cx+D=(x+a)(x+b).
為了方便記憶,已知C和D,尋找滿足條件的a和b的過程,通常用如圖來表示,其中兩條交叉的線表示對應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于C,也正因為如此,這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”.
例如,對于式子x2+5x+6來說,因為2×3=6且2+3=5,所以
x2+5x+6= .
練習(xí):用十字相乘法分解因式:
(1)x2+3x+2; (2)x2+2x-15; (3)p2+13p+36.
【嘗試與發(fā)現(xiàn)】
證明恒等式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
并由此探討Ex2+Fx+G的因式分解方法.
上述恒等式的證明,也只需將左邊展開然后合并同類項即可.
據(jù)此也可進(jìn)行因式分解.例如,對于3x2+11x+10來說,因為1×3=3,2×5=10,1×5+3×2=11,如圖所示,所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
三、方程的解集
1.思考:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
2.新課講授
方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.
一般地,把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集.
利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進(jìn)行代數(shù)變形,可以得到一些方程的解集.
3.做一做:求方程x2+3x+2=0的解集.
4.想一想:一元二次方程的解集中一定有兩個元素嗎?
5.經(jīng)典例題
例2 求方程x2-5x+6=0的解集.
例2說明,如果一個一元二次方程可以通過因式分解化為
(x-x1)(x-x2)=0
的形式,那么就能方便得出原方程的解集.
例3 求關(guān)于x的方程ax=2的解集,其中a是常數(shù).
【嘗試與發(fā)現(xiàn)】
能直接在等式ax=2的兩邊同時除以a,從而得到x=2a嗎?為什么?
課堂練習(xí)
1.設(shè)集合A={1,2,3},B={x|3x2-4mx+1=0},若A∩B={1},則m=( )

A.1B.-12C.12D.-1
2.下列運用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中,正確的是( )
A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果ac=bc,那么a=b
C.如果a=b,那么ac=bc
D.如果a2=3a,那么a=3
3.關(guān)于x的方程x2+px-2=0的解是1和q,則p= ,p+q的值為 .
核心素養(yǎng)專練
1.已知U={2,1,0},M={x∈R|x2-2x=0},則?UM=( )
A.{0}B.{1,2}
C.{1}D.{1,0,2}
2.下列因式分解,錯誤的是( )
A.x2+7x+10=(x+2)(x+5)
B.x2-2x-8=(x-4)(x+2)
C.y2-7y+12=(y-3)(y-4)
D.y2+7y-18=(y-9)(y+2)
3.(多選題)下列說法正確的有( )
A.方程2x2-x-1=0的解集是{1,2}
B.方程-6x2-x+2=0的解集是-23,12
C.若方程ax2+8ax+21=0的解集是{-7,-1},那么a的值是3
D.如果集合A={x|ax2-2x-1=0}只有一個元素,則a的值是-1
4.已知集合A={-1,2},B={x|ax=1},若B?A,則由實數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為 .
5.若集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2+2(a+1)x+2a2-2=0},則當(dāng)a=1時,A∩B= ;若A∩B=B,則實數(shù)a的取值范圍是 .
6.將下列各式因式分解:
(1)x2+3x+2; (2)2x2-7x+3;
(3)10(x+2)2-29(x+2)+10.
7.已知集合A={x|x2+ax-6=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-2,3},A∩B={-2},求a,b,c的值.
參考答案
課堂探究
略
課堂練習(xí)
1.A 2.B 3.1 -1
核心素養(yǎng)專練
1.C 2.D 3.BC 4.0,-1,12
5.{-4} a≥3或a

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2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集

版本： 人教B版 (2019)

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