人教B版 (2019)必修第一冊2.1.1 等式的性質與方程的解集優(yōu)質教學設計-學案下載-教習網

2.1 等式

2.1.1 等式的性質與方程的解集

1．等式的性質

性質：(1)：等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或代數(shù)式)，等式仍成立．

用字母表示為：如果a＝b，則對任意的c，都有a±c＝b±c.

性質(2)：等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個數(shù)(或代數(shù)式)(除數(shù)或代數(shù)式不為0)，等式仍成立．

用字母表示為：如果a＝b，則對任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)．

2．恒等式

(1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．恒等式是進行代數(shù)變形的依據之一．

(2)一個經常會用到的恒等式：對任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.

(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進行分解；

②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)進行分解．

3．方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．求方程解的過程叫做解方程．把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．

1．下列運用等式性質進行的變形，正確的是( )

A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c

B．如果a2＝3a，那么a＝3

C．如果a＝b，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)

D．如果eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)，那么a＝b

D [A.當a＝b時，a＋c＝b＋c，故A錯誤；B.當a＝0時，此時a≠3，故B錯誤；C.當c＝0時，此時eq \f(a,c)與eq \f(b,c)無意義，故C錯誤；故選D.]

2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正確的有( )

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

A [(1)(4)不是同類項，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4個算式都錯誤．故選A.]

3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，則2A－3B等于( )

A．－x3＋6x2 B．5x3＋6x2

C．x3－6x D．－5x3＋6x2

B [依題意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故選B.]

4．x2－4的因式分解的結果是( )

A．(x－2)2 B．(x－2)(x＋2)

C．(x＋2)2 D．(x－4)(x＋4)

B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故選B.]

【例1】已知x＝y(tǒng), 則下列各式：①x－3＝y(tǒng)－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq \f(x,y)＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正確的有( )

A．①②③ B．④⑤⑥

C．①③⑤ D．②④⑥

C [①x－3＝y(tǒng)－3；③－2x＝－2y；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正確，故選C.]

在等式變形中運用等式的性質時要注意，必須保證等式兩邊同乘以或除以的同一個數(shù)是不為零的數(shù)，此外，還要注意等式本身隱含的條件.

1．設x，y，c是實數(shù)，下列正確的是( )

A．若x＝y(tǒng)，則x＋c＝y(tǒng)－c

B．若x＝y(tǒng)，則xc＝y(tǒng)c

C．若x＝y(tǒng)，則eq \f(x,c)＝eq \f(y,c)

D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，則2x＝3y

B [A.兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意；

B．兩邊都乘以c，故B符合題意；

C．c＝0時，兩邊都除以c無意義，故C不符合題意；

D．兩邊乘6c，得到3x＝2y，故D不符合題意．故選B.]

【例2】化簡：

(1)(3a－2)－3(a－5)；

(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；

(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；

(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．

[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.

(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.

(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.

(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.

去括號時，首先要弄清楚括號前究竟是“＋”號，還是“－”號，其次要注意法則中的“都”字，都改變符號或都不改變符號，一定要一視同仁，尤其是括號前面是“－”號時，容易出現(xiàn)只改變括號內首項符號，而其余各項均不變號的錯誤.

2．計算：

(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;

(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；

(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．

[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.

(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.

(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.

【例3】十字相乘法分解因式：

(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.

[解] (1)因為

所以：原式＝(x＋7)(x－8)．

(2)因為

所以：原式＝(x－2)(x－8)．

常數(shù)項為正，分解的兩個數(shù)同號；常數(shù)項為負，分解的兩個數(shù)異號. 二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.

3．將y2－5y＋4因式分解的結果是( )

A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4)

C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4)

D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故選D.]

【例4】求下列方程的解集．

(1)x(x＋2)＝2x＋4；

(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.

[解] (1)原方程可變形為x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝0，

從而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集為{－2,2}．

(2)利用平方差，將原方程變?yōu)閇4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，

整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，

故原方程的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).

用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步驟

?1?移項，將一元二次方程的右邊化為0；

?2?化積，利用提取公因式法、公式法等將一元二次方程的左邊分解為兩個一次因式的積；

?3?轉化，兩個因式分別為0，轉化為兩個一元一次方程

?4?求解，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解；

?5?將其解寫成集合的形式.

4．若x＝－2是關于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一個根，則a的值為( )

A．1或4 B．－1或－4

C．－1或4 D．1或－4

B [∵x＝－2是關于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一個根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]

1．利用等式性質進行化簡要注意是否恒等變形，化簡要徹底，要注意符號的變換．

2．十字相乘法分解因式的步驟：移項→化積→轉化→求解．

3．方程的解集要寫成集合的形式．

1．若3a＝2b，下列各式進行的變形中，不正確的是( )

A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1

C．9a＝4b D．－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)

C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正確，不合題意；

B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正確，不合題意；

C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此選項錯誤，符合題意；

D．∵3a＝2b，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)，正確，不合題意．故選C.]

2．(m＋n)－2(m－n)的計算結果是( )

A．3n＋2m B．3n＋m

C．3n－m D．3n＋2m

C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故選C.]

3．下列方程的解正確的是( )

A．x－3＝1的解集是{－2}

B.eq \f(1,2)x－2x＝6的解集是{－4}

C．3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解集是{3}

D．－eq \f(1,3)x＝2的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))

B [方程x－3＝1的解是x＝4，eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解是x＝－7，－eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－6，故選B.]

4．方程2x－1＝0的解集是________．

eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) [由2x－1＝0，解得x＝eq \f(1,2)，方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).]

學習目標
核心素養(yǎng)
1.理解且會運用等式的性質．(重點)

2．理解恒等式的概念，會進行恒等變形．(難點)

3．會求方程的解集．(重點)
1.借助等式的性質，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)．

2．通過求方程的解集，提升數(shù)據分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
等式性質的應用
恒等式的化簡
方程的解集