2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【詳解】評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.點(diǎn)睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。跇颖救萘肯嗤那闆r下，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度．2．已知與滿足，若的中位數(shù)為6，則的中位數(shù)為（    ）A．6 B．12 C．15 D．24【答案】C【分析】由于中，與 成正比，記 為的中位數(shù)，則中對(duì)應(yīng)的中位數(shù)為.； 從而求出的中位數(shù).【詳解】解：記 為的中位數(shù)，為中對(duì)應(yīng)的中位數(shù)因?yàn)?/span>，，所以為故選C.3．為研究病毒的變異情況，某實(shí)驗(yàn)室成功分離出貝塔毒株、德?tīng)査局?、奧密克戎毒株共130株，其數(shù)量之比為7:2:4，現(xiàn)采用按比例分配的分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為26的樣本，則奧密克戎毒株應(yīng)抽?。?/span>    ）株A．4 B．6 C．8 D．14【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：奧密克戎毒株應(yīng)抽取株.故選：C.4．飛沫傳播是新冠肺炎傳播的主要途徑，已知患者通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為，假設(shè)甲、乙兩人是否被飛沫感染相互獨(dú)立，則甲、乙兩患者至少有一人是通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】記甲是通過(guò)飛沫傳播被感染為事件，乙是通過(guò)飛沫傳播被感染為事件，，甲、乙兩患者至少有一人是通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為：．故選：D．5．在中，D為AC的中點(diǎn)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，.故選：D6．已知定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，若是奇函數(shù)，且，則不等式的解集是．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，確定函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，再根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，確定函數(shù)在上為增函數(shù)，由以及函數(shù)的對(duì)稱性，得出.畫出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合圖象確定不等式的解集.【詳解】是奇函數(shù).函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為．函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為且．又函數(shù)在上是增函數(shù).函數(shù)在上為增函數(shù)..由對(duì)稱性，．畫出函數(shù)圖象的草圖（如圖）．結(jié)合圖象可得的解集是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.7．某保險(xiǎn)公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)險(xiǎn)種，并對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖： 用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）．A．57周歲以上參保人數(shù)最少B．18～30周歲人群參保總費(fèi)用最少C．C險(xiǎn)種更受參保人青睞D．31周歲以上的人群約占參保人群80％【答案】B【分析】根據(jù)扇形圖、散點(diǎn)圖、頻率圖對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是，是最少的，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，“18～30周歲人群參保平均費(fèi)用”比“57周歲以上人群參保平均費(fèi)用”的一半還多，而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，所以57周歲以上參保人群參保總費(fèi)用最少，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，C險(xiǎn)種參保比例，是最多的，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，31周歲以上的人群約占參保人群，D選項(xiàng)正確.故選：B8．如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個(gè)零件組成，若每個(gè)零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正?；蛘?/span>C正常，D必須正常，然后利用獨(dú)立事件，對(duì)立事件概率公式計(jì)算.【詳解】記零件或系統(tǒng)能正常工作的概率為，該系統(tǒng)正常工作的概率為: ,故選：C. 二、多選題9．[多選]向量，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A． B．向量方向相反C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】因?yàn)?/span> ，所以，故D正確；由向量共線定理知，A正確；－3<0，與方向相反，故B正確；由上可知，故C錯(cuò)誤．故選：ABD10．以下對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(    )A．袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中取出一個(gè)球是紅球的概率是B．每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如，在不超過(guò)14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為C．將一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子(每個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6)先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是D．甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适?/span>【答案】ABC【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算方法可直接判斷A；利用列舉法可判斷BC，利用列舉法或畫樹(shù)狀圖，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中取出一個(gè)球是紅球的概率是，故A正確；對(duì)于B，不超過(guò)14的素?cái)?shù)有共6個(gè)，從這6個(gè)素?cái)?shù)中任取2個(gè)有如下組合：，，，共15種結(jié)果，其中和等于14的只有一組，∴在不超過(guò)14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為，故B正確；對(duì)于C，基本事件總共有(種)情況，其中點(diǎn)數(shù)之和是6的有，共5種情況，則所求概率是，故C正確；對(duì)于D，畫樹(shù)形圖如下：從樹(shù)形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，(乙獲勝)，故玩一局甲不輸?shù)母怕适?/span>，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚反面朝上”為事件，“兩枚硬幣朝上的面相同”為事件，則 （    ）A． B．事件A與事件互斥C．事件與事件對(duì)立 D．事件A與事件相互獨(dú)立【答案】AD【分析】對(duì)A：根據(jù)古典概型的計(jì)算公式分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)互斥事件的概念分析判斷；對(duì)C：根據(jù)對(duì)立事件的概念分析判斷；對(duì)D：根據(jù)獨(dú)立事件的概念分析判斷.【詳解】對(duì)A：由題意可知：一枚硬幣有兩個(gè)等可能結(jié)果：正面朝上、反面朝上，則，兩枚硬幣有兩個(gè)等可能結(jié)果：正正、正反、反正、反反，則，A正確；對(duì)B：事件A與事件可以同時(shí)發(fā)生，即事件A與事件不是互斥，B錯(cuò)誤；對(duì)C：事件對(duì)立事件包含兩種情況：正反、反正，事件僅有一種情況：正反，故事件與事件不對(duì)立，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵，故事件A與相互獨(dú)立，D正確.故選：AD.12．若有樣本容量為的樣本平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)樣本中又加入一新數(shù)據(jù)為，現(xiàn)樣本容量為，則增加數(shù)據(jù)后關(guān)于樣本平均數(shù)和方差下列正確的是（    ）A．平均數(shù)為 B．平均數(shù)為 C．方差為 D．方差為【答案】AC【分析】由樣本平均數(shù)及方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)樣本容量為時(shí)的數(shù)據(jù)為，，，，樣本平均數(shù)為，方差為，則，∴，，∴，設(shè)增加的數(shù)據(jù)為，增加數(shù)據(jù)后的樣本平均數(shù)為，方差為，則，，∴增加數(shù)據(jù)后的樣本平均數(shù)為，方差為.故選：AC. 三、填空題13．設(shè)，是非零向量，則是成立的        條件．【答案】必要不充分【分析】正向推導(dǎo)分同向時(shí)，反向時(shí)討論，反向推導(dǎo)時(shí)利用向量共線定理即可得到.【詳解】，是非零向量當(dāng)同向時(shí)，，當(dāng)反向時(shí)，，故前者無(wú)法推出后者，若 ，即，則，故后者可以推出前者，故是成立的必要不充分條件，故答案為：必要不充分.14．福利彩票“雙色球”中紅色球由編號(hào)為01，02， ，33的33個(gè)個(gè)體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表（下表是隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）選取6個(gè)紅色球，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字作為所選球的編號(hào)，則選出來(lái)的第2個(gè)紅色球的編號(hào)為          .49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676【答案】32【分析】由題意，結(jié)合隨機(jī)數(shù)表讀取的方法，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，選出來(lái)的第1個(gè)紅色球的編號(hào)為，選出來(lái)的第2個(gè)紅色球的編號(hào)為.故答案為：.15．將一組正數(shù)，，，…，的平均數(shù)和方差分別記為與，若，，則      ．【答案】【分析】列出方差公式，代入數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】由題意得，，代入數(shù)據(jù)得，，解得.故答案為：16．將一顆質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次，朝上的點(diǎn)數(shù)依次為b和c，則函數(shù)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)的概率是      ．【答案】【分析】求出投擲骰子兩次的所有結(jié)果，再求出函數(shù)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)的事件所含結(jié)果數(shù)，即可計(jì)算作答.【詳解】一顆質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次，不同結(jié)果有：，，，共36個(gè)，函數(shù)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)，即，解得，則點(diǎn)有，共7個(gè)，所以函數(shù)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)的概率.故答案為： 四、解答題17．（1）化簡(jiǎn)；（2）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用減法法則化簡(jiǎn)即可；（2）計(jì)算出，利用平面向量共線的基本定理可證得，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）=；（2）證明：，，則，故共線，又有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.18．在一只袋子中裝有2個(gè)紅玻璃球和3個(gè)綠玻璃球，從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)．(1)求取得兩個(gè)同顏色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一個(gè)綠玻璃球的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；（2）利用對(duì)立事件的概率求解.【詳解】（1）解：設(shè)“取得兩個(gè)紅玻璃球”為事件A，“取得兩個(gè)綠玻璃球”為事件B，則，，又，即事件A，B互斥，∴取得兩個(gè)同顏色的玻璃球的概率為．（2）設(shè)至少取得一個(gè)綠玻璃球的的對(duì)立事件為事件C，∴其概率為．19．當(dāng)前疫情防控形勢(shì)依然復(fù)雜嚴(yán)峻，為進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的防控意識(shí)，某校讓全體學(xué)生充分了解疫情的防護(hù)知識(shí)，提高防護(hù)能力，做到科學(xué)防護(hù)，組織學(xué)生進(jìn)行了疫情防控科普知識(shí)線上問(wèn)答，共有100人參加了這次問(wèn)答，將他們的成績(jī)（滿分100分）分成五組依次為，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值；(2)試估計(jì)這100人的問(wèn)答成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；(3)采用按比例分配的分層抽樣的方法，從問(wèn)答成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取13人作為疫情防控知識(shí)宣講使者，再?gòu)牡谒慕M和第五組的使者中隨機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)，求這2人來(lái)自不同組的概率.【答案】(1)(2)75，73.5(3) 【分析】（1）直接利用頻率和為1計(jì)算得到答案.（2）直接利用眾數(shù)的定義及平均數(shù)的公式計(jì)算即可.（3）利用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】（1）依題意可得：，解得：；（2）根據(jù)頻率分布直方圖知：眾數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)的估計(jì)值為，所以這100人的問(wèn)答成績(jī)的眾數(shù)與平均數(shù)的估計(jì)值分別為75，73.5..（3）由題可知，在問(wèn)答成績(jī)，，三組中，人數(shù)之比為7:5:1，現(xiàn)采用分層抽樣從中抽取13人，所以三組中每組各抽學(xué)生人數(shù)分別為7，5，1.分別記中所抽取的5人編號(hào)依次為1，2，3，4，5.中所抽取的1人編號(hào)為.所以從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為：，，，共15個(gè)樣本點(diǎn).其中這2人來(lái)自不同組（記為事件）的樣本點(diǎn)有5個(gè)，所以.所以這2人來(lái)自不同組的概率為.20．甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果，算甲贏，否則算乙贏．(1)求的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)這種游戲規(guī)則不公平，理由詳見(jiàn)解析 【分析】(1)列出摸球結(jié)果（a，b）全部可能的結(jié)果，再找出滿足的結(jié)果，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得；(2) 設(shè)甲贏為事件A，乙贏為事件B，則A，B為對(duì)立事件，再分別計(jì)算和，就可判斷.【詳解】（1）摸球結(jié)果（a，b）全部可能的結(jié)果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，其中的結(jié)果為（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，故由古典概型的概率計(jì)算公式可得；（2）這種游戲規(guī)則不公平，理由如下：設(shè)甲贏為事件A，乙贏為事件B，則A，B為對(duì)立事件，由題意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15個(gè)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，∴，∵，故這種游戲規(guī)則不公平．21．某次考試共有四個(gè)環(huán)節(jié)，只有通過(guò)前一個(gè)環(huán)節(jié)才能進(jìn)入后一個(gè)環(huán)節(jié)．現(xiàn)已知某人能夠通過(guò)第一、二、三、四環(huán)節(jié)的概率依次是，，，，且每個(gè)環(huán)節(jié)是否通過(guò)互不影響．求：(1)此人進(jìn)入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；(2)此人至多進(jìn)入第三環(huán)節(jié)的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；（2）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求得此人進(jìn)入第一環(huán)節(jié)、第二環(huán)節(jié)、第三環(huán)節(jié)被淘汰的概率，從而得出答案．【詳解】（1）由獨(dú)立事件的概率乘法公式可得，此人進(jìn)入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；（2）此人進(jìn)入第一環(huán)節(jié)被淘汰的概率；此人進(jìn)入第二環(huán)節(jié)被淘汰的概率；此人進(jìn)入第三環(huán)節(jié)被淘汰的概率，此人至多進(jìn)入第三環(huán)節(jié)的概率為．22．已知.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增(3) 【分析】（1）設(shè)，得，代入已知式后，再把換成即得；（2）由單調(diào)性的定義證明；（3）設(shè)，，由（2）知，原不等式可化為在恒成立，求出左邊的最小值即得．【詳解】（1）設(shè)，，可得，，即.（2）任取且，則，∵，∴，，∴，∴，∴在上單調(diào)遞增．（3）由對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，可得，則，，.設(shè)，，由（2）知，故原不等式可化為在上恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，，∴，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的方法一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，一種方法是直接求函數(shù)最值，然后求解最值滿足的不等式得參數(shù)范圍，另一種方法是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求沒(méi)有參數(shù)的函數(shù)的最值，從而得參數(shù)范圍． 

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