一、單選題（本大題共8小題）
1．下列各角中，與終邊相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐標系中，動點M在單位圓上從出發(fā)沿順時針方向做勻速圓周運動，每秒1 rad，則經過3秒，M的位置為（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐標系中，點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．函數的單調遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
6．要得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．先向左平移個單位，再把圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的倍
B．先向左平移個單位，再把圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍
C．先向右平移個單位，再把圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的倍
D．先向右平移個單位，再把圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍
7．設函數為偶函數.當滿足時，有最小值2，則和的值分別是（ ）
A．B．
C．D．
8．是定義在上的函數，對于任意的，都有且時，有，則函數的所有零點之和為（ ）
A．10B．13C．22D．26
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．兩個角的終邊相同，則它們的大小相等
B．若角為第二象限角，則是第三象限角
C．第一象限角都是銳角
D．終邊在直線上的角的集合是
10．已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A．若的最小正周期是，則
B．當時，圖象的對稱中心的坐標都可以表示為
C．當時，
D．若在區(qū)間上單調遞增，則
11．已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．函數圖象關于直線對稱
C．函數在上單調遞增
D．方程有無數個解
三、填空題（本大題共3小題）
12．《九章算術》是中國古代數學名著，其對扇形菜田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現代數學的算法一致，根據這一算法解決下列問題：現有一扇形菜田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）是扇形周長的一半，則該扇形菜田的面積為 平方米．
13．已知定義在上的函數滿足，則 .
14．已知函數，在區(qū)間上是單調函數，則的取值范圍 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過第二象限的點，且．求下列各式的值．
(1)及；
(2)；
16．已知函數．
(1)填寫下表，并在坐標系中用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象；
(2)求的對稱軸與對稱中心；
(3)當，求函數的值域.
17．已知函數（，，）的部分圖像如圖．
(1)根據圖像求函數解析式．
(2)寫出的解集．
(3)將函數的圖象向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖象，且關于的方程在上有解，求的取值范圍．
18．如圖所示，摩天輪的半徑為，最高點距離地面高度為，摩天輪的圓周上均勻地安裝著個座艙，并且運行時按逆時針勻速旋轉，轉一周大約需要.甲，乙兩游客分別坐在，兩個座艙里，且他們之間間隔個座艙(本題中將座艙視為圓周上的點).

（1）求劣弧的弧長(單位：)；
（2）設游客丙從最低點處進艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于時間的函數解析式；
（3）若游客在距離地面至少的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪轉動一周能有多長時間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.
19．設函數，，．
(1)求函數在上的單調區(qū)間；
(2)若，，使成立，求實數a的取值范圍；
(3)求證：函數在上有且只有一個零點，并求（表示不超過x的最大整數，如，）．
參考數據：，．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】對于A，因，故A錯誤；
對于B，因，故B正確；
對于C，因，故C錯誤；
對于D，因，故D錯誤.
故選B．
2．【答案】B
【詳解】由題意，得M的位置為，即為.
故選B．
3．【答案】B
【詳解】，所以是第三象限角，故，
故在第二象限.
故選B．
4．【答案】C
【詳解】因為，
由，得，
所以函數的單調遞增區(qū)間是.
故選C.
5．【答案】A
【詳解】由正弦函數性質及余弦函數性質可知：，即；
根據指數函數單調性得；由對數函數單調性得；
所以；
故選A.
6．【答案】A
【分析】根據三角函數的變換規(guī)則一一判斷即可.
【詳解】將函數的圖象先向左平移個單位得到，
再把圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的倍得到，故A正確；
將函數的圖象先向左平移個單位得到，
再把圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的倍得到，故B錯誤；
將函數的圖象先向右平移個單位得到，
再把圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的倍得到，故C錯誤；
將函數的圖象先向右平移個單位得到，
再把圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的倍得到，故D錯誤.
故選A.
7．【答案】D
【詳解】依題意，，所以，
當滿足時，有最小值2，
所以，所以，
由于是偶函數，所以，而，所以.
故選D．
8．【答案】D
【詳解】因為對于任意的，都有，，
所以為的一條對稱軸，為的一個對稱中心，
故
所以為的周期，
由得，又由時，有，
可以畫出與的圖象，如圖：
由于也關于對稱，且當時，，

由圖象可得，函數共有13個零點，故所有零點之和為.
故選D．
9．【答案】BD
【詳解】對于A，與終邊相同，但它們的大小不相等，故A不正確；
對于B，因為與的終邊關于軸對稱，故B正確；
對于C，第一象限角不都是銳角，比如為第一象限角，但不是銳角，故C不正確；
對于D，若終邊在直線上的角在第二象限，則集合是；
若終邊在直線上的角在第四象限，則集合是.
綜上，終邊在直線上的角的集合是.故D正確.
故選BD.
10．【答案】BCD
【詳解】當的最小正周期是時，，則，故A選項正確；
當時，，所以令，，解得，，所以函數的對稱中心的坐標為，故B選項不正確；
當時， ，，故C選項不正確；
令，，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為，因為在區(qū)間上單調遞增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因為，所以由，得，由，得，所以的取值范圍是，故D選項不正確．
故選BCD．
11．【答案】BC
【解析】A選項，計算，判定，可得A錯；
B選項，計算與，得出，可得B正確；
C選項，由，化簡，可得C正確；
D選項，討論的范圍，去絕對值，求出的值域，可判斷D錯.
【詳解】A選項，
，
所以不是的周期，故A錯；
B選項，
；
，
所以，因此函數的圖象關于直線對稱；即B正確；
C選項，，當時，，所以，
此時，根據余弦函數的單調性，可得，其在上顯然單調遞增，即C正確；
D選項，由可得，則；此時；
由可得，則；此時；
綜上，，所以，因此方程無解，即D錯；
故選BC.
12．【答案】
【詳解】扇形弧長米，徑長（兩段半徑之和）為扇形周長的一半，
扇形周長為弧長加兩段半徑，
即，因此有，
米，
根據《九章算術》算法，＂以徑乘周（弧長）而一＂，
即代入米和米得平方米.
13．【答案】
【詳解】因為在R上的函數滿足，且，
令，有，
又，
所以函數是以4為周期的周期函數，
所以.
14．【答案】
【詳解】因為函數，在區(qū)間上是單調函數，
函數對稱軸為，所以，或者，
所以，或者，且，
則的取值范圍為．
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為點在第二象限，所以，
由三角函數定義可知，解得，
此時，故，
得到，故.
（2）原式，
.
16．【答案】(1)見解析；
(2)對稱軸為，對稱中心為；
(3)
【詳解】（1）列表
函數圖像如圖所示
（2）令，得對稱軸：，
令，得，所以對稱中心為；
（3）由，得，
當，即時，；
當，即時，.
所以的值域為.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由函數的圖象，
知，，
∴，，
將點代入，可得：，
又∵，∴，
所以.
（2）由得，
所以，即，
所以的解集為.
（3）將函數的圖象向右平移個單位長度得到曲線的圖象，
把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到 的圖象，
由在上有解，即在上有解，
因為，，
所以，
所以的取值范圍為．
18．【答案】（1）；（2），其中；（3）.
【詳解】（1）因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著個座艙，
故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，
故.
（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，設，
由題意知，，所以，
又由，所以，
當時，可得，所以，
故關于時間的函數解析式為，其中.
（3）令，即，
令，解得，
因為甲乙兩人相差，
又由，所以有甲乙都有最佳視覺效果.
1、已知函數模型求解數學問題；
2、把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題；
3、根據實際問題轉化為已知條件轉化為三角函數的解析式和圖象，然后在根據數形結合思想研究三角函數的性質，進而加深理解函數的性質.
19．【答案】(1)單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是和；
(2)；
(3)證明見解析，.
【分析】（1）根據余弦函數的單調區(qū)間求出的單調區(qū)間；
（2）由已知得到的值域為的值域的子集，轉化為求函數最值的問題；
（3）根據函數單調性判斷函數的零點個數，求出零點的范圍，進而求解.
【詳解】（1）令，，解得，，
又，得的單調遞增區(qū)間是和；
令，，解得，，
又，得的單調遞減區(qū)間是和.
所以函數在上的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是和；
（2）若，，使成立，
則，，的值域應為的值域的子集.
由（1）知，在單調遞減，
所以的值域為，
因為，當時，令，
則，開口方向向上，對稱軸是，，
當時，在單調遞減，不符合題意；
當時，在單調遞減，在單調遞增，
所以，即，解得，
所以；
（3）由（1）知在上是單調遞減函數，易知在上是單調遞增函數，
所以在上是單調遞減函數，
又，，
根據零點存在性定理知在上有唯一零點，
當時，，，
所以，
即在上無零點，
綜上，在上有且只有一個零點.
因為，
所以，
所以，
所以.
【方法點撥】本題第（2）問考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：
一般地，已知函數，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
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