一、單選題
1．已知集合，集合，若，則（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】由，得到，分、和，三種情況討論，即可求解.
【詳解】由集合，集合，
因?yàn)?，可得?br>當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，此時(shí)不滿足，舍去；
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，此時(shí)滿足；
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，此時(shí)不滿足，舍去，
綜上可得，.
故選：D.
2．復(fù)數(shù)，表示的共軛復(fù)數(shù)，表示的模，則下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模的坐標(biāo)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；
，，故B錯(cuò)誤；
，，故C錯(cuò)誤；
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知：，則，故D正確.
故選：D.
3．設(shè)數(shù)列滿足且，則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】由題意首先確定數(shù)列為周期數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列的周期即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由題意可得：，，
，，
據(jù)此可得數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，
則.
故選：D
4．已知角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊是軸的正半軸，終邊是射線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得，由二倍角和兩角和差正切公式可求得結(jié)果.
【詳解】角的終邊是射線，，，
.
故選：B.
5．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)奇偶性排除D，再取特值排除AB.
【詳解】因?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；
故選：C.
6．已知中，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得，根據(jù)數(shù)量積公式，代入計(jì)算，即可得答案.
【詳解】由題意得，
所以
.
故選：B
7．已知定義域是R的函數(shù)滿足：，，為偶函數(shù)，，則（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
【答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得函數(shù)具有周期性，根據(jù)周期可將.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期為4，所以．
故選:B．
8．是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l為雙曲線C的一條漸近線，關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，且點(diǎn)在以F2為圓心、以半虛軸長(zhǎng)b為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)左焦點(diǎn)與漸近線方程，求得關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，寫出以F2為圓心、以半虛軸長(zhǎng)b為半徑的圓的方程，再將代入圓的方程，化簡(jiǎn)即可得離心率．
【詳解】因?yàn)橹本€l為雙曲線C的一條漸近線，則直線
因?yàn)槭请p曲線的左、右焦點(diǎn)
所以（-c，0），（c，0）
因?yàn)殛P(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)為（x，y）
則
解得
所以為（）
因?yàn)槭且詾閳A心，以半虛軸長(zhǎng)b為半徑的圓，則圓的方程為
將以的（）代入圓的方程得
化簡(jiǎn)整理得 ，所以
所以選B
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線方程、離心率的應(yīng)用，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的求法，對(duì)于幾何關(guān)系的理解非常關(guān)鍵，屬于難題．
二、多選題
9．下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當(dāng)時(shí)，的最小值是3
C．當(dāng)時(shí)，的最大值是5
D．若正數(shù)滿足，則的最小值為3
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，①，
但是無(wú)解，所以①等號(hào)不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，是正數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
10．若函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（ ）
A．是以為周期的周期函數(shù)
B．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞減
D．的圖象的對(duì)稱中心為，
【答案】AC
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到，對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)三角函數(shù)的周期性即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，向左平移后得到，不是奇函數(shù)，即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)，即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)的圖象的對(duì)稱中心為，即可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】由題圖可知，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.
因?yàn)?，所以，所?
由題圖可知，所以，所以.
由題圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，，解得，.
又，所以，所以.
對(duì)于A，，則A正確.
對(duì)于B，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，
此函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)C，，則，
所以在上單調(diào)遞減，故C正確.
對(duì)選項(xiàng)D，，，得，，
所以的圖象的對(duì)稱中心為，，則D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線為異面直線B．
C．直線與平面所成角的正切值為D．過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9
【答案】BC
【分析】作出圖形，利用中位線定理和平行的傳遞性即可判斷選項(xiàng)A；利用等體積法計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)線面角的概念即可判斷選項(xiàng)C；利用平面的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，連接，
由題意可知，因?yàn)?，所以，所以共面?br>故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，連接，
由題意可知，
所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，連接，
由正方體的性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，連接，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，
所以平面即為過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC
12．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則（ ）
A．過(guò)點(diǎn)恰有2條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
B．若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為5
C．直線與拋物線相交所得弦長(zhǎng)為8
D．拋物線與圓交于兩點(diǎn)，則
【答案】CD
【分析】利用直線與拋物線位置關(guān)系的知識(shí)判斷選項(xiàng)A；利用拋物線的定義進(jìn)行距離轉(zhuǎn)化進(jìn)而判斷選項(xiàng)B；利用焦點(diǎn)弦公式計(jì)算并判斷選項(xiàng)C；由拋物線方程設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，利用M到圓心的距離等于半徑求出M的坐標(biāo)，就可以判斷選項(xiàng)D.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，
從而拋物線的方程是.過(guò)點(diǎn)可以作2條直線與拋物線相切，
而直線與拋物線相交，只有1個(gè)交點(diǎn)，從而過(guò)點(diǎn)恰有3條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故A不正確；
拋物線的準(zhǔn)線方程是，設(shè)T到準(zhǔn)線的距離為，則；
過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義知，所以，所以的最小值為4，故B不正確；
拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)焦點(diǎn)，
不妨設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別是，，
則，又得，則，
所以，故C正確；
拋物線與圓交于兩點(diǎn)，則關(guān)于軸對(duì)稱.
設(shè)(t>0)，則，解得，所以，故D正確；
故選：CD
三、填空題
13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
【答案】2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，
即，解得.
故答案為：2.
14．如果平面向量，，則向量在上的投影向量為 .
【答案】
【分析】由已知可求得，，進(jìn)而得出，然后根據(jù)即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，，
所以，向量在上的投影向量為.
故答案為：.
15．設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且函數(shù)，均為偶函數(shù)．若當(dāng)時(shí)，，則的值為 ．
【答案】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，周期性分析即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，的定義域均為R，且函數(shù)為偶函數(shù)，
則，
求導(dǎo)得，
即，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱．
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，
由函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱．
所以函數(shù)的周期為，．
由，，
，
所以，即，即，
所以當(dāng)時(shí)，
于是．
故答案為：
16．如圖，正四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面是等邊三角形.若半球O的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個(gè)側(cè)面均相切，則半球O的體積與球M的體積的比值為 .
【答案】
【分析】過(guò)四棱錐頂點(diǎn)和底面對(duì)棱中點(diǎn)作截面，此截面截半球得半圓，半圓與正四棱錐的截面等腰三角形的腰相切，由此可用棱錐的棱長(zhǎng)表示半球半徑，作正四棱錐對(duì)角面，對(duì)角面等腰三角形的外接圓是球的大圓，從而又可用棱錐棱長(zhǎng)表示球的半徑，由體積公式求得體積后得比值．
【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，作截面，把截面另外畫出平面圖形，如圖，則半球的半個(gè)大圓與的兩腰相切，是中點(diǎn)，為切點(diǎn)，
設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，則，，，，
由對(duì)稱性知正四棱錐的對(duì)角面的外接圓是正四棱錐外接球的大圓，
，，，所以，是外接圓直徑，所以球的半徑為，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的體積，考查棱錐的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題，解題關(guān)鍵是作出正棱錐的截面，此截面截球的大圓，從而易得球半徑與棱錐的棱長(zhǎng)之間的關(guān)系．
四、解答題
17．已知三角形中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且.
（1）若，求；
（2）設(shè)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，求三角形的面積.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；
（2）由余弦定理求得中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求得三角形的第三邊長(zhǎng)，再由余弦定理求出一個(gè)角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得三角形面積．
【詳解】（1）由余弦定理可得.
（2）由題意可得，，
又，，
∴，即，∴，
∴，由，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，考查三角形面積，本題中涉及三角形路線問(wèn)題，根據(jù)余弦定理有結(jié)論成立（其中是中點(diǎn)）．
18．已知數(shù)列各項(xiàng)都不為，前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為
【答案】(1);;
(2)
【分析】(1)利用即可求，再根據(jù)累加法，即可求解.
(2)利用錯(cuò)位相減法即可求解.
【詳解】（1）由，可得，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都不為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．令，則，解得，故．
由題知，
所以
（2）由（1）得，所以，
，
兩式相減得，
所以．
19．在直三棱柱中，，，，延長(zhǎng)至，使，連接，，.

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的判斷定理和面面垂直的判斷定理可得答案；
（2）法一：由平面可得為二面角的平面角，求出可得答案.法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面?br>又由延長(zhǎng)至，使，連接，可知在平面內(nèi)，所以
因?yàn)?，，所以，?br>又由，所以，
所以，即，
又，所以平面，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，
所以平面平面；
（2）法一：由（1）可知，取中點(diǎn)，連接、，所以，
因?yàn)槠矫?，易得，所以，所以為二面角的平面角?br>因?yàn)?，所以，?br>所以，
所以，
故二面角的余弦值為.
法二：由已知可知，，，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），

由，，則，，，
因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為?br>由，，設(shè)平面的法向量為，
則，，
令，得，
所以，
所以二面角的余弦值為.
20．甲、乙足球愛(ài)好者為了提高球技，兩人輪流進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．
(1)經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)求經(jīng)過(guò)3輪踢球累計(jì)得分后，甲得分高于乙得分的概率．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為
(2)
【分析】（1）先分別求甲、乙進(jìn)球的概率，進(jìn)而求甲得分的分布列和期望；
（2）根據(jù)題意得出甲得分高于乙得分的所有可能情況，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)分析運(yùn)算.
【詳解】（1）記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀，乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎，A，B相互獨(dú)立，
由題意得：，，
甲的得分X的可能取值為，
，
，
所以X的分布列為：
.
（2）經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分，
甲3輪各得1分的概率為，
甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分的概率為，
甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分的概率為，
甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分的概率為，
所以經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙的概率.
21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）見(jiàn)解析.
【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；
(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過(guò)定點(diǎn).
【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以；
因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以，所以，故橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)
聯(lián)立得，
，，.
直線，令得，即；
同理可得.
因?yàn)?所以；
，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
22．已知函數(shù).
（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點(diǎn)斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.
試題解析：（I）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，
，
曲線在處的切線方程為
（II）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于
設(shè)，則
，
（i）當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此；
（ii）當(dāng)時(shí)，令得
.
由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.
綜上，的取值范圍是
【解析】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：
（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）解不等式f′（x）

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