2022屆江西省南昌市第十中學高三下學期第一次月考數學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據對數的運算性質，求得集合，得到或，再結合交集的運算，即可求解.【詳解】由，可得，解得 所以集合，，可得或，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，以及對數的運算的性質，其中解答中根據對數的運算性質，求得集合，熟練應用集合的交集和補集的運算求解是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.2．復數滿足，則復數的實部是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數模的運算、除法的運算化簡，由此求得復數的實部.【詳解】依題意，所以，故的實部為.故選：D.3．已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導公式化簡所求表達式，結合已知條件得出正確選項.【詳解】因為，故選：C.【點睛】本小題主要考查利用誘導公式進行化簡求值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題4．已知、、表示直線，、表示平面，下列四個命題中正確的為A．，，則B．，，則C．，，則D．若，為異面直線，則過空間任意點一定可以作一條直線，使得和，都垂直【答案】D【解析】利用空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐一核對四個選項即可得出答案.【詳解】對于A，由，，得或與相交或與異面，故A錯誤；對于B，由，，得或與異面，故B錯誤；對于C，由，，得或，故C錯誤；對于D，若，為異面直線，則，必存在一條公垂線，過任意一點作公垂線的平行線，則，，故D正確；故選：D【點睛】本題考查了直線與平面平行的性質、直線與直線的位置關系，屬于基礎題.5．傾斜角為45°的直線將圓分割成弧長的比值為的兩段弧，則直線在軸上的截距為（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】直線將圓分割成弧長的比值為的兩段弧，可得，即，設直線的方程為，利用點線距公式列出方程，解出直線在軸上的截距．【詳解】設原點為，直線與圓交于點，由題意，得．過作于點，則；設直線的方程為，由，得，解得，所以直線在軸上的截距為，故選 ：D．6．將函數的圖象沿軸向左平移個單位后，得到關于軸對稱的圖象，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式為一個角的一個三角函數的形式，通過平移求出平移后的函數的解析式，利用偶函數求出的值．【詳解】函數，將函數的圖象沿軸向左平移個單位后，得到函數，因為函數是偶函數，．當時，．則的最小值為故選：A7．已知，，，，過點作垂直于點，點滿足，則的值為（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】作出圖形，由平面向量數量積的定義及余弦定理可得，再由平面向量數量積的運算律即可得解.【詳解】由題意，作出圖形，如圖，，，，，由可得，，又，則，.故選：D．8．已知，，，則的最小值是A．8 B． C． D．【答案】C【解析】由已知化簡可得：，從而，利用基本不等式即可求解.【詳解】，，，，則，當且僅當且，即時取等號，故選：C【點睛】本題主要考查了基本不等式求最值，同時考查了對數的運算性質，屬于基礎題.9．條件或，條件，p是q（       ）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】通過舉反例，判斷出成立推不出成立，通過判斷逆否命題的真假，判斷出原命題的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分條件、必要條件的定義得到結論．【詳解】若成立，例如當，時，不成立，即不成立，反之，若且，則是真命題，所以若，則或是真命題，即成立，所以是的必要而不充分條件，故選B.【點睛】本題主要考查了判斷一個命題是另一個命題的什么條件，一般先判斷前者成立是否能推出后者成立，再判斷后者成立能否推出前者成立，屬于中檔題．10．設不等式組表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一點，則此點到坐標原點的距離小于的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先作出區(qū)域的可行域求出面積，此點到坐標原點的距離小于的概率等價于以原點為圓心，半徑為的圓內和區(qū)域的公共部分，求出公共部分面積，概率就是公共部分面積與區(qū)域面積的比值.【詳解】如圖區(qū)域：表示矩形，面積為，到坐標原點距離小于的點，位于以原點為圓心，半徑為的圓內，即與區(qū)域：的公共部分（如下圖陰影部分所示），聯(lián)立得，連接，所以，，，所以扇形的面積：，因為，所以， 所以此點到坐標原點的距離小于的概率為：故選：A．11．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓相切，得到關系，然后得到關系，再求解雙曲線的離心率．【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線方程之一為：，圓的圓心，半徑為，雙曲線的漸近線與圓相切，，整理得，由，可得所以，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線的漸近線與圓的位置關系的應用，考查計算能力，屬于簡單題.12．已知函數，若恰有四個不同的零點，則a取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數，利用導數研究函數的單調性極值即可得出圖象，令，對及其a分類討論，結合圖象即可得出.【詳解】解：函數，，，，因此時，函數單調遞增.，，，可得函數在單調遞增；可得函數在單調遞減.可得：在時，函數取得極大值，.畫出圖象：可知：.令，①時，函數無零點.②時，解得或，時，解得，此時函數只有一個零點，舍去.，由，可知：此時函數無零點，舍去.③，解得或.解得，.時，，.此時函數無零點，舍去.因此，可得：.由恰有四個不同的零點，∴，，.解得：.則a取值范圍為.故選：B.【點睛】本題考查利用導數研究函數的零點問題，屬于較難題.二、填空題13．若命題“?x0∈R，使得3 ＋2ax0＋1<0”是假命題，則實數a的取值范圍是_______．【答案】[－，]【分析】先轉化為“?x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，用判別式進行計算即可.【詳解】命題“?x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命題，即“?x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.故答案為：[－，].【點睛】（1）全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題．（2）“恒成立”問題的解決方法：①函數性質法對于一次函數，只須兩端滿足條件即可；對于二次函數，就要考慮參數和的取值范圍.②分離參數法思路：將參數移到不等式的一側，將自變量x都移到不等式的另一側.14．若等比數列的前n項的和為，且滿足，，則=__________.【答案】32【分析】根據題意可得：，解方程組即可得解.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，根據，，可得：，解得：，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數列的基本量的運算，主要方法是列方程組求解，屬于基礎題.15．在中，角所對的邊分別為，且，若，則的形狀是_______．【答案】等邊三角形【解析】由和余弦定理可得，由得，然后將化為即可.【詳解】因為所以，因為所以因為，所以所以，即，所以所以，因為，所以所以是等邊三角形故答案為：等邊三角形【點睛】本題考查的是用正余弦定理判斷三角形的形狀，較為典型.16．已知曲線，點為曲線上任意一點，若點，，則面積的最大值為______．【答案】【分析】畫出曲線的圖形，求出，過的直線方程為，判斷直線為雙曲線和的漸近線，設過點且與直線平行的直線方程為，當直線與曲線相切時，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，然后求解平行線之間的距離，即可求解三角形的面積．【詳解】曲線C是由、以及三部分構成（如圖所示），，且過AB的直線方程為，并且直線為雙曲線和的漸近線，設過點P且與直線平行的直線方程為，由圖知，當直線與曲線相切時，切點到直線距離最大，聯(lián)立消去得，，解得（正根舍），所以，所以點到直線的最大距離即為直線與直線之間的距離，所以最大距離，所以面積的最大值為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：（1）分類討論，把問題轉化為圓錐曲線問題，（2）注意兩個定點落在雙曲線的漸近線上，（3）直線與橢圓相切，利用判別式法確定參數的取值.三、解答題17．在中，角A、B、C所對的邊分別是、、，已知.（I）求角B的大小；（II）若，求的取值范圍.【答案】（I）；（II）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題意和三角函數公式化簡可得，可得；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得，再由三角形三邊關系可得.試題解析：（I）由已知得，即，即，解得或（舍去），又因為，所以（II）由余弦定理，有，因為，,所以，又因為，所以，即.18．長春市統(tǒng)計局對某公司月收入在元內的職工進行一次統(tǒng)計，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示職工月收入在區(qū)間內，單位：元）.（Ⅰ）請估計該公司的職工月收入在內的概率；（Ⅱ）根據頻率分布直方圖估計樣本數據的中位數和平均數.【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）中位數和平均數的估計值都是.【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖計算可得職工月收入在內的概率為；（Ⅱ）利用面積相等可得中位數的估計值為；利用平均數公式計算可得平均數的估計值為.【詳解】（Ⅰ）職工月收入在內的概率為；（Ⅱ）根據條件可知，從左至右小矩形的面積分別是、、、、、，因此，中位數的估計值為；平均數的估計值為.綜上可知，中位數和平均數的估計值都是.【點睛】利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.19．如圖，四棱錐中，平面底面ABCD，是等邊三角形，底面ABCD為梯形，且，，．（1）證明：；（2）求A到平面PBD的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先通過面面垂直和勾股定理的逆定理得到線線垂直，再得到線面垂直，從而得到線面垂直；（2）運用等體積法運算即可.【詳解】（1）由余弦定理得，∴，又平面PDC底面ABCD，平面PDC底面過作于，可得平面，所以,又，平面PDC，且，∴平面PDC，又平面PDC，.（2）設A到平面PBD的距離為h取DC中點Q，連結PQ, 是等邊三角形，.又平面底面ABCD，PDC底面ABCD ，平面PDC，底面ABCD，且由（1）知平面PDC，又平面PDC，.∴，即解得.20．已知橢圓：的離心率為，點，分別為橢圓的左、右頂點，點在上，且面積的最大值為（1）求橢圓的方程；（2）設為的左焦點，點在直線上，過作的垂線交橢圓于，兩點．證明：直線平分線段.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）由題可得,根據求得,進而得到橢圓的方程；（2）設,可得直線的斜率為,分別討論的斜率不存在與存在的情況,利用點差法求解得到,則,,三點共線,進而得證【詳解】（1）因為點,分別為橢圓的左、右頂點,所以,,因為點在上,則當位于上或下頂點時,面積最大,所以,所以,解得,故橢圓的方程為（2）證明：設,,,線段的中點,則,由（1）可得,則直線的斜率為,當時,直線的斜率不存在,根據橢圓的對稱性可知平分線段；當時,因為,所以直線的斜率,因為點,在橢圓上,所以,作差可得,即,所以,即直線OP的斜率為,因為直線的斜率為,所以,,三點共線,所以直線平分線段【點睛】本題考查利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程,考查應用點差法求直線斜率,考查分類討論思想,考查運算能力21．已知函數，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）根據導數的幾何意義可求得結果；（2）轉化為證：，再兩邊構造函數，利用導數證明，且即可.【詳解】（1），切點坐標為，則有.   所以切線方程為：，即.     （2）要證：，即證. 令，   則，當時，單調遞減，當時，單調遞增所以.     令，，當時，單調遞增，當時，單調遞減所以，.所以，.   即.【點睛】本題考查了導數的幾何意義，考查了等價轉化思想，考查了利用導數證明不等式，屬于中檔題.22．在平面直角坐標系中，曲線的方程為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，與交于兩點.（1）求的直角坐標方程和的一個參數方程；（2）若點是上的動點，求面積的最大值.【答案】（1）；（為參數）；（2）.【分析】（1）根據極坐標與直角坐標互化公式可得的普通方程；根據橢圓的普通方程可得參數方程；（2）設，求出點到直線直線的距離的最大值，利用直線的參數方程中參數的幾何意義求出，可得三角形面積的最大值.【詳解】（1）直線的極坐標方程化簡為：，故的普通方程為：.曲線的參數方程為：（為參數）.（2）設，點到直線直線的距離，直線的參數方程為：（為參數）代入，得，設對應的參數為，從而可得，，面積，因此面積的最大值為.【點睛】本題考查了極坐標方程化直角坐標方程，普通方程化參數方程，考查了點到直線的距離公式，余弦函數的最值，直線參數方程中參數的幾何意義，三角形的面積公式，屬于中檔題.23．選修4-5：不等式選講已知函數.（1）求的解集；（2）設函數，，若對任意的都成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）化簡，即解即，去絕對值求解即可；（2）即的圖象恒在圖象的上方，作出函數圖象，而圖象為恒過定點，且斜率的變化的一條直線，右圖可得范圍.試題解析：（1） ∴，即，∴①或②或③解得不等式①：；②：無解；③：所以的解集為（2）即的圖象恒在圖象的上方，可以作出的圖象，而圖象為恒過定點，且斜率的變化的一條直線，作出函數，圖象如圖，其中，，∴，由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方，實數的取值范圍應該為. 

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