一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 半徑為2，圓心角為的扇形的面積為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面積公式即得.
【詳解】由題可得.
故選：D．
2. 函數(shù)的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用周期公式求解
【詳解】函數(shù)的最小正周期為.
故選：C.
3. 角的終邊與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求與大小為的角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的一個(gè)角，再結(jié)合終邊相同的角的集合求即可.
【詳解】因?yàn)榇笮榈慕堑慕K邊與大小為的角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，
所以.
故選：D.
4. 函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)A，點(diǎn)A在角終邊上，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而求出角的三角函數(shù)值，利用誘導(dǎo)公式求出結(jié)果.
【詳解】（，且）恒過點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A在角終邊上，所以，則
故選：C
5. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A. －3B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由題可得，進(jìn)而可求，即得.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得，
，
∴，又，
∴，，
∴.
故選：D.
6. 已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把點(diǎn)代入冪函數(shù)的解析式求出的值，進(jìn)而可得在上單調(diào)遞減，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，從而比較出，，的大?。?br>【詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，
，，
，在上單調(diào)遞減，
，，，
，
，即
故選：D.
7. 設(shè)函數(shù)（、、都是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】記函數(shù)最小正周期為，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性計(jì)算可得.
【詳解】記函數(shù)的最小正周期為，則，可得．
又，且，
又，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，
函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，又，
，解得．
故選：B．
8. 函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可證明為偶函數(shù)，又易得時(shí)，可得結(jié)論.
【詳解】由，解得，均能滿足有意義，
故函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)椋?br>所以為偶函數(shù)，故排除B；
又，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，所以排除A，D；
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列說法不正確的有（ ）
A. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的值等于
B. 周長為8，面積為3的扇形所對(duì)的圓心角為
C. 函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，
D. 函數(shù)是奇函數(shù)，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A：由三角函數(shù)的定義來計(jì)算判斷；對(duì)于B：利用扇形的面積公式列方程組求出弧長和半徑，進(jìn)而可得圓心角；對(duì)于C：令可得對(duì)稱中心；對(duì)于D：令可得.
【詳解】對(duì)于A：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，
則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，解得或，
圓心角為或，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：令，得，即函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：函數(shù)是奇函數(shù)，則，
得，又，所以，D正確.
故選：ABC.
10. 函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 將向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)
D. 若方程在上有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】由圖象經(jīng)過點(diǎn)列方程求，判斷A，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證B，根據(jù)函數(shù)圖象變換法則，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷C，令，可得在上有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷D.
【詳解】觀察可得函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
所以，
所以，，
所以，，又，
所以，A正確；
所以，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；
函數(shù)向左平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，
又，所以C正確；
因?yàn)椋?br>由可得，，
令，由已知可得在上有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，，
所以，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的兩個(gè)零點(diǎn)，若，則下列不為定值的量是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函數(shù)的周期，估計(jì)的范圍，再求函數(shù)的零點(diǎn)，由此確定，，結(jié)合條件化簡可得結(jié)論.
【詳解】函數(shù)的周期為，
由圖象可得，令，可得：，
所以，即，又，
所以，，
又因?yàn)?，所以，所以?br>，為定值.
故選：B
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 若，則________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，然后利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)原式化簡，再代值計(jì)算即可
【詳解】由，得，
所以
，
故答案為：
13. 已知函數(shù)，將的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度.所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則___________.
【答案】##1.5
【解析】
【分析】先通過平移變換得到函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，求得，進(jìn)而得到求解.
【詳解】由題意得平移后的函數(shù)為，且為偶函數(shù)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)互不相等，且滿足，則的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】研究函數(shù)的單調(diào)性，確定的關(guān)系及范圍．
【詳解】
由題意函數(shù)上遞減，上遞增，上遞減，作出圖像，如圖．
設(shè)，則，不妨設(shè)，
，由，得，所以，所以.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查方程根的分布與函數(shù)零點(diǎn)問題．解題方法是數(shù)形結(jié)合思想．作出函數(shù)圖象，得出函數(shù)性質(zhì)，看作是直線與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，性質(zhì)易得．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，角是第二象限角，且終邊與單位圓交于點(diǎn).
（1）求實(shí)數(shù)及的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意列式即可求解m，再由正切函數(shù)定義即可得解；
（2）由結(jié)合誘導(dǎo)公式和齊次式弦化切即可計(jì)算得解.
【小問1詳解】
由題意可得，所以.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以.
16. 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：
（1）求，，；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值及取得最值時(shí)的值．
【答案】（1），，
（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值2，當(dāng)時(shí)，取得最小值
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可.
（2）由范圍求得的范圍，進(jìn)而可求得函數(shù)最值.
【小問1詳解】
由題表可知，，解得，，.
【小問2詳解】
由（1）知，，
∵，∴．
令，得，令，得，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
17. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，得到，根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出不等式，即可求解.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)的圖象，可得，，
則，所以．
將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得，
解得，因?yàn)?，所以，所以?br>令，解得，
所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有第一個(gè)零點(diǎn)，正弦函數(shù)周期為，每一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
要滿足有5個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
18. 已知函數(shù)（，），若的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，且過點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）記方程在上的根從小到大依次為，，…，，試確定n的值，并求的值．
【答案】（1）
（2），n=5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可求的值，再利用整體法可求函數(shù)的值域.
（2）結(jié)合圖象特征可求的值．
【小問1詳解】
的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，故，故，故，
因?yàn)閳D象過點(diǎn)，故，
故，故.
當(dāng)時(shí)，，，
故函數(shù)的值域?yàn)?
【小問2詳解】
在上的圖象如圖所示：

因此與的圖象在上共有5不同的交點(diǎn)，
這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，, 故n=5.
令，則，
故的圖象在內(nèi)的對(duì)稱軸分別為：
，，，，，
結(jié)合圖象可得，，，
，
故.
19. 對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)，若存在常數(shù)t（），使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則稱是階數(shù)為t的回旋函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)是否是一個(gè)階數(shù)為的回旋函數(shù)，并說明理由；
（2）若是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)ω的值；
（3）若回旋函數(shù)（）在[0，1]上恰有2024個(gè)零點(diǎn)，求ω的值．
【答案】（1）不是，理由見解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）代入題目給的定義求解即可，
（2）求解分討論即可，
（3）求解討論得
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以不恒成立，
所以函數(shù)不是一個(gè)階數(shù)為的回旋函數(shù)．
【小問2詳解】
設(shè)是階數(shù)為t的回旋函數(shù)，則，
若，上式對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立；
若，，
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有，
則，，
所以，；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有，
則，，所以，．
綜上所述，，．
【小問3詳解】
因?yàn)閷?duì)任意的x都成立，
由（2）可知，，，
所以．
令，解得（）．
因?yàn)楹瘮?shù)在[0，1]上恰有2024個(gè)零點(diǎn)，所以，所以．
又因?yàn)?，所以，所以?br>【點(diǎn)睛】新結(jié)構(gòu)問題利用題目給的定義，結(jié)合已經(jīng)掌握的知識(shí)求解，合理推理.0
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