一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，確定角的終邊所在的象限；當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，確定角的終邊所在的象限，再根據(jù)選項(xiàng)即可確定結(jié)果．
【詳解】集合中，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此集合與表示終邊相同的角，位于第一象限；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此集合與表示終邊相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范圍為選項(xiàng)B中陰影所示.
故選：B.
2. 為了了解某縣中小學(xué)生課外閱讀時(shí)間情況，擬從該縣的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該縣小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的課外閱讀時(shí)間存在較大差異，而男、女生的閱讀時(shí)間差異不大，則最合理的抽樣方法是（ ）
A. 按性別分層隨機(jī)抽樣B. 按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣
C. 抽簽法D. 隨機(jī)數(shù)表法
【答案】B
【解析】
【分析】由分層抽樣的概念即可判斷；
【詳解】因?yàn)槟?、女生的閱讀時(shí)間差異不大，而小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的課外閱讀時(shí)間存在較大差異，故應(yīng)按照學(xué)段分層隨機(jī)抽樣．
故選：B．
3. 已知x，，x＋2y＝1，則的最小值（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)閤，，x＋2y＝1，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
故選：B.
4. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由直接求解在內(nèi)的零點(diǎn)即可.
【詳解】由，得，
解得，
由，得，
因?yàn)?，所以?br>所以區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.
故選：C
5. 若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，放縮求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，即?br>綜上，
故選：C
6. 命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可．
【詳解】命題p：?x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命題p：①當(dāng)a≠0時(shí)，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，
∴解得：0＜a＜1，
②當(dāng)a＝0時(shí)，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，
∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；
命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則0＜a＜1；
所以當(dāng)0≤a＜1；推不出0＜a＜1；當(dāng)0＜a＜1；能推出0≤a＜1；
故P是q的必要不充分條件．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了二次型函數(shù)恒成立的問題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
7. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)最小正周期為
B. 定義域?yàn)?br>C. 函數(shù)圖象所有對(duì)稱中心為，
D. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
【答案】D
【解析】
【分析】利用周期公式計(jì)算可得A錯(cuò)誤，由正切函數(shù)定義域可判斷B錯(cuò)誤，根據(jù)對(duì)稱中心方程可得C錯(cuò)誤，再由正切函數(shù)單調(diào)性計(jì)算可得D正確.
【詳解】對(duì)于A，由可得，所以函數(shù)最小正周期為，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由正切函數(shù)定義域可得，解得；
可得的定義域?yàn)?，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，利用對(duì)稱中心方程可得，解得,
因此函數(shù)圖象所有對(duì)稱中心為，，可知C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性可得，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，可得D正確.
故選：D
8. 已知“不小于的最小的整數(shù)”所確定的函數(shù)通常記為，例如：，則方程的正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)問題，再利用新定義作出圖像即可得解.
【詳解】要求方程的正實(shí)數(shù)根，即求與的圖像在軸右側(cè)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
因?yàn)椋鞒雠c的大致圖象，如圖，

觀察圖象，可知與的圖象有共2個(gè)交點(diǎn)，
所以方程的正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是2個(gè).
故選：C.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列函數(shù)具有奇偶性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用奇偶性定義來逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
所以，
所以為偶函數(shù)；
選項(xiàng)B，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
所以，
所以為偶函數(shù)；
選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
所以，
所以為奇函數(shù)；
選項(xiàng)D，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
所以，
所以為非奇非偶函數(shù)；
故選：ABC.
10. 已知函數(shù)，其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且直線是其中一條對(duì)稱軸，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心
D. 將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖像
【答案】AC
【解析】
【分析】先求出，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：
對(duì)于A：利用周期公式驗(yàn)證；
對(duì)于B：直接代入法判斷單調(diào)性驗(yàn)證；
對(duì)于C：代入法驗(yàn)證；
對(duì)于D：利用圖像變換驗(yàn)證.
【詳解】因?yàn)閳D像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，因?yàn)橹本€是其中一條對(duì)稱軸，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以?br>對(duì)于A，由上可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
對(duì)于B，若，則，所以不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；
對(duì)于D：將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖像，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 函數(shù)的定義域?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）（注）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件，得到函數(shù)的對(duì)稱中心，對(duì)稱軸，以及周期；然后由周期性和單調(diào)性可得A錯(cuò)誤；由對(duì)稱性和單調(diào)性可得B正確；由對(duì)稱性和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算可得C錯(cuò)誤；由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和三角函數(shù)的單調(diào)性可得D正確；
【詳解】為奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，
又因?yàn)?，令則，則故則關(guān)于直線軸對(duì)稱.
又因?yàn)?，故，則的周期為8.
對(duì)于A：則，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，而在上也單調(diào)遞增，故，則，故B正確；
對(duì)于C：上也單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：則
而在上也單調(diào)遞增，則，故D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠利用已知得到函數(shù)的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到，即可得解.
【詳解】由，得，即，
所以，
所以，即，
故答案為：
13. 已知 ，則____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式，即可求出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
.
故答案為：.
14. 設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a＝_____．
【答案】或
【解析】
【分析】由分段函數(shù)解析式可得在定義域內(nèi)恒成立，由題意可得，分和兩種情況，運(yùn)算求解.
詳解】當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
綜上所述：在定義域內(nèi)恒成立，
令，則，解得，即，
當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，解得或（舍去）；
綜上所述：或.
故答案為：或.
四、解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求時(shí)的對(duì)應(yīng)解析式，即可得；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性得，即可求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
任取，則，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，，
綜上，；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以可化：
即，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．
（1）已知一扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角；
（2）若扇形周長(zhǎng)為，將扇形的面積表示為半徑的函數(shù)，并寫出定義域.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由扇形的周長(zhǎng)、面積公式進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果；
（2）由扇形的周長(zhǎng)得出弧長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而表達(dá)出扇形的面積的函數(shù)，根據(jù)扇形圓心角的范圍求解出定義域.
【小問1詳解】
由題意得，解得 舍去，或，故扇形圓心角為.
【小問2詳解】
由已知得，，則，
又，得，
因?yàn)?，所以?br>所以，即 ，
所以，.
17. 已知，是平面內(nèi)一對(duì)不共線的向量，且，，．
（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，，依題意存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即可得到方程組，解得即可；
（2）用作為基底，根據(jù)向量相等，得到方程組，解得即可；
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，?br>所以，.
因?yàn)榕c共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，
，即，解得.
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，，，且?br>所以，
所以，解得，，
所以.
18. 已知函數(shù)，，最小值為；的一個(gè)對(duì)稱中心且在單調(diào)遞減；
（1）求函數(shù)的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象，先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得圖象，令，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，得到函數(shù)解析式為，應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)圖象平移得，進(jìn)而得到的最大值為3，進(jìn)一步將問題化為a>fx+1+12fx+1恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求右側(cè)最小值，即可得范圍.
【小問1詳解】
由題意知，則.
函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則，得，
，所以的可能取值為、.
若，則，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；
若，則，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；
所以，；
令，，解得，，
所以，的單調(diào)增區(qū)間為，；
【小問2詳解】
由（1）可知，
將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，
再將所得點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得圖象，
所以，，所以，
由于，所以，
因?yàn)?，所以，則，
由，可得，
所以，a>f2x+2fx+13fx+1=fx+12+12fx+1=fx+1+12fx+1能成立，
由，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)上式右側(cè)取得最小值為，
所以.
19. 設(shè)，.
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）推理并寫出的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方，求的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；
（2）增區(qū)間是，減區(qū)間是；
（3）.
【解析】
分析】（1）根據(jù)解析式求定義域，再由奇偶性定義證明判斷奇偶性；
（2）利用單調(diào)性定義判斷的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)判斷的區(qū)間單調(diào)性，最后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)區(qū)間；
（3）問題化為在上恒成立，求出右側(cè)的值域，即可得范圍.
【小問1詳解】
時(shí)，顯然恒成立；
時(shí)，，
所以的定義域是，
又，即，
所以是奇函數(shù).
【小問2詳解】
增區(qū)間是，減區(qū)間是，證明如下：
任取，且，則，
易知在上單調(diào)遞增，且，則，
所以，即，所以在上單調(diào)遞減，
，
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知遞增；
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知遞減，
所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是.
【小問3詳解】
令，則，即在上恒成立，
令，設(shè)，對(duì)稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，從而?u>?1=?3，
所以的取值范圍是.

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