一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（ ）
A．2B．1C．D．
2．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．B．C．0D．2
3．已知向量，，，則（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知雙曲線與橢圓焦點相同，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的焦點坐標為
C．雙曲線的離心率
D．雙曲線的實軸長為1
5．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．若存在實數(shù)使得與內(nèi)切，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其最小正周期為T，則（ ）
A．B．
C．的一個單調(diào)遞增區(qū)間為D．為奇函數(shù)
10．給出下列命題，其中正確命題為（ ）
A．隨機變量，若，，則
B．隨機變量X服從正態(tài)分布，，則
C．一組數(shù)據(jù)（，2，3，4，5，6）的經(jīng)驗回歸方程為，若，則
D．對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值k越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大
11．已知數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則為“回旋數(shù)列”
B．設(shè)為等比數(shù)列，且公比為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”
C．設(shè)為等差數(shù)列，當，公差時，若為“回旋數(shù)列”，則
D．若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知圓錐的底面半徑為6，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，若截得的圓臺體積為，則該圓臺的表面積為 ．
13．拋物線的焦點為，準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足．設(shè)線段的中點在準線上的投影為，則的最大值是 ．
14．“朗博變形”是借助指數(shù)運算或?qū)?shù)運算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
16．如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，，，平面，分別是的中點．
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
17．已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
18．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個極值點，，當時，求的最大值.
19．2023年10月11日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團隊成功構(gòu)建255個光子的量子計算機原型機“九章三號”，求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問題比目前全球最快的超級計算機快一億億倍.相較傳統(tǒng)計算機的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進行計算的.現(xiàn)假設(shè)某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為量子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立.現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有p的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為X.
(1)已知，求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2的概率；
(2)若一條信息有n（，）種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵.試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為X的信息熵H；
(3)將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ樱O(shè)停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為Y（，2，3，…，n，…），證明：當n無限增大時，Y的數(shù)學(xué)期望趨近于一個常數(shù).
參考公式：時，，.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】，
由題意得，所以，
故選C．
2．【答案】B
【詳解】.
故選B．
3．【答案】A
【詳解】因為，，
所以，
因為，
所以，即，
解得
故選A.
4．【答案】A
【詳解】橢圓半焦距，則，解得，雙曲線方程為，
對于A，雙曲線的漸近線方程為，A正確；
對于B，雙曲線的焦點坐標為，B錯誤；
對于C，雙曲線的離心率，C錯誤；
對于D，雙曲線的實軸長為2，D錯誤.
故選A．
5．【答案】D
【詳解】由已知得，
所以，
解得，又，
所以.
故選D.
6．【答案】B
【詳解】將方程配方得：，則，半徑為1，
由可得，半徑為，
因與內(nèi)切，則有，
由于，則得，解得，即的最小值為2.
故選B.
7．【答案】A
【詳解】如圖：
設(shè).
以為基底，則，
，，.
因為，，
所以.
由可得，解得或，即或.
即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.
故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.
故選A．
8．【答案】C
【詳解】由題可得函數(shù)的定義域為，
因為函數(shù)恒成立，而，故，
則或，解得或，
若，得不等式的解集為，
則使得，不滿足題意；
若，得不等式的解集為，
則使得，不滿足題意；
若，得不等式的解集為，
則使得，不滿足題意；
若，得不等式的解集為，滿足題意，
綜上所述，
所以，
因為且，即，
所以的取值范圍為，
所以的取值范圍為.
故選C.
9．【答案】AD
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
由題圖可得，所以，
因為，所以，得，故B錯誤；
由，得，
取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；
因為，且定義域關(guān)于原點對稱，
所以為奇函數(shù)，故D正確．
故選AD.
10．【答案】AD
【詳解】對于A：隨機變量，，，解得，故A正確；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，所以，故C錯誤；
對于D：對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大，故D正確．
故選AD.
11．【答案】AC
【詳解】[對于A，由可得，
由可得，
取即可，則為“回旋數(shù)列”，故A正確；
對于B，當時，，，
由可得，故當時，很明顯不成立，
故不是“回旋數(shù)列”，故B錯誤；
對于C，是等差數(shù)列，故，，
因為數(shù)列是“回旋數(shù)列”，所以，
即，其中為非負整數(shù)，
所以要保證恒為整數(shù)，
故為所有非負整數(shù)的公約數(shù)，且，所以，
此時，當時，；時，；
當時，，當為大于3的整數(shù)時，與奇偶性相反，則為正整數(shù)，
故滿足題意，故C正確；
對于D，由A可知，當時，為“回旋數(shù)列”，
取，，顯然不存在，使得，故D錯誤．
故選AC．
12．【答案】
【詳解】設(shè)圓臺上底面半徑為，高為，則，解得，
由圓臺的體積公式得，解得，
所以圓臺的母線長，
則圓臺的側(cè)面積為，
所以圓臺的表面積為．
13．【答案】/
【詳解】設(shè)、，作分別于，則，，
在梯形中，有，
在中，，
又，則，即，
當且僅當時取等號，因此，所以的最大值是.
14．【答案】/
【詳解】由，得，
即，所以，，
令，則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由可得，所以，
令，所以，
當時，；當時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，∴，
∴，
即，∴．
又，∴，∴．
（2）在中，①，
在中， ②，
①÷②得
又，，∴，
所以
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：連接．∵底面為菱形，，
∴是正三角形，∵E是CD中點，∴，
∵平面，平面，∴，
，又都在平面內(nèi)，
∴平面，又平面，
∴平面平面．
（2）由（1）知，兩兩垂直，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
易知：，，，，
則
，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
則，即令，得，解得．
即，令，得，解得
設(shè)二面角的平面角為，則，
所以．
所以二面角的正弦值為．
17．【答案】(1)
(2)證明見詳解
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因為，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點是定點.

18．【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）由求導(dǎo)得，.
當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當時，方程的，
所以，在上單調(diào)遞增；
當時，，
由，解得，，
當時，，
當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
綜上，當時，在上單調(diào)遞增，
當時，在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
（2）若有兩個極值點，，
則，由方程知，.
，
令()，
則，
所以在上單調(diào)遞減，所以.
所以的最大值是.
19．【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)“兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為i個”，，1，2，“兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2個”，
則，，
，，，
則.
（2）由題知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
則，
故X的信息熵.
（3）由題知，其中，2，3，…，
則，
又，
則，①
，②
①－②得：
由題知，當n無限增大時，趨近于零，趨近于零，則趨近于.
所以當n無限增大時，Y的數(shù)學(xué)期望趨近于一個常數(shù).

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