考試時間：10月考試時長：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分式不等式的解法、交集的定義求解即可.
，則，即，，解得，
故，
又，故.
故選：B
2. 歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．已知實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出，然后指數(shù)運算可得結(jié)果.
因為，所以，.
故選：B.
3. 已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，則的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，將點坐標代入拋物線方程，求得，求出，即可求得的面積.
將代入C的方程，得，故，
所以，則的面積.
故選：A.
4. 已知，，則的最小值為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.
，，
當且僅當，即，時等號成立.
故選：B.
5. 學(xué)校安排含唐老師、李老師在內(nèi)的5位老師去3個不同的學(xué)校進行招生宣傳，每位老師都必須選1個學(xué)校宣傳，且每個學(xué)校至少安排1人.由于唐老師是新教師，學(xué)校安排唐老師和李老師必須在一起，則不同的安排方法有（）
A. 24種B. 36種C. 48種D. 60種
【答案】B
【解析】
【分析】把5位老師按和分組，再把分成的3組安排到3所學(xué)校，列式計算得解.
把5位老師按和分組，且唐老師和李老師在一起的不同分組方法數(shù)為，
所以不同的安排方法有（種）.
故選：B
6. 從的二項展開式中隨機取出不同的兩項，則這兩項的乘積為有理項的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出二項式展開式，再利用古典概型求出這兩項的乘積為有理項的概率.
展開式通項為，
則二項展開式分別為：，，，
，，，
將這6項依次記：，
從的二項展開式中隨機取出不同的兩項有種情況，
所以這兩項的乘積為有理項的基本事件為：，，，共6種情況，
所以這兩項的乘積為有理項的概率為.
故選：A.
7. 已知中，，角的平分線交于點，且，則面積的最大值為（）
A.B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意，利用平面向量的共線定理，得到，利用余弦定理，求得，得到面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
如圖所示，設(shè)，
因為三點共線，可得，
設(shè)，所以，
又因為角的平分線交于點，四邊形為菱形，可得，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，
則，
所以的面積為，
當時，的面積取得最大值，最大值為.
故選：C.
8. 已知函數(shù)存在零點，則實數(shù)的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，再運用基本不等式即可求解
由得，
設(shè)，，
設(shè)，，
由得，由得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，
而，
當且僅當，即時，等號成立，
因為有零點，則，所以，
故選：D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)(，)的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離是，先將的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，且最大值為4，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 的最小正周期是B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 的圖象關(guān)于點對稱D. 在上單調(diào)遞減
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)的表達式為，即可根據(jù)代入驗證法判斷BC，根據(jù)整體法即可求解D.
由已知，A錯誤；所以，則，
所以，
因為是偶函數(shù)，所以，，即，，
而，所以，所以，
因為最大值為4，所以，則，所以，
因為，所以為一條對稱軸，B正確；
由于，所以C不正確；
當時，此時單調(diào)遞減，D正確，
故選：BD
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個公共點
B. 函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒有公切線
C. 函數(shù)，則有極大值，且極大值點
D. 當時，恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項A，利用與的圖象，知時，有一個交點，當，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，進而求得，即可求解；選項B，設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，將問題轉(zhuǎn)化成求方程解的個數(shù)，即可求解；選項C，令，對求導(dǎo)，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求解；選項D，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，且等號不能同時取到，再利用與圖象間的關(guān)系，即可求解.
對于選項A，易知當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有一個公共點，
當時，令，則，
由，得到，由，得到，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在時取最小值，即，
所以當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像沒有公共點，故A正確；
對于選項B，設(shè)與切于點，與切于點
則，化簡得：，判斷方程根的個數(shù)即為公切線條數(shù)，
令，則，易知在上恒小于0，
當時，令，則在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，
所以在上有使得，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
當，所以方程有兩解，與的圖像有兩條公切線，所以選項B錯誤，
對于選項C，令，所以，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以存在，使得，即，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有極大值，且極大值點，故選項C正確，
對于選項D，，則，
當時，時，，
所以，即，當且僅當時取等號，
令，則在區(qū)間上恒成立，
又，所以，當且僅當時取等號，
又，當時，與重合，當時，的圖象由向右平移，此時圖象恒在下方，
所以，且等號不能同時取到，故選項D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
11. 已知，且，則的值可能為（）
A. B. C. D. 8
【答案】ACD
【解析】
【分析】借助二倍角公式及兩角和差公式化簡，得到，再利用基本不等式得到其取值范圍，從而得到答案.
因為
所以，
，
，
因為，所以，
所以，
，
，又，
所以，即，
所以
，
當時，，
當且僅當，即等號成立；
當時，，
即，當且僅當，即時的等號成立，
綜上，，即，
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：靈活變換，利用，兩角和與差公式化簡已知的等式是解本題的關(guān)鍵.
二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】由利用向量數(shù)量積得，再由計算即可.
，則，
由得，所以，
于是．
故答案為：
13. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為，若，則an的公差______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，可得，與相減可求的值.
】由，
所以.
故答案為：3
14. 在三棱錐中，平面VAC，，，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當該截面面積取得最大值時，______．
【答案】
【解析】
【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.
根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點作，交于點；
在平面內(nèi)，過點作，交于點；
在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接，如圖所示，

因為，則，設(shè)其相似比為，即，
則；
又因為，，，
由余弦定理得，，則，
即.
又平面，，平面，所以，.
又，則，.
因為，則，則，
因為，所以，即，
同理可得，即，
因為，，則，
故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四邊形為截面圖形；
又平面，平面，則，
又，所以.
故平行四邊形為矩形，則，
所以當時，有最大值，則，
在中，.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，利用二次函數(shù)求出最值得解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 下圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.圖（1）是一個面積為1的實心正三角形，分別連接這個正三角形三邊的中點，將原三角形分成4個小正三角形，并去掉中間的小正三角形得到圖（2），再對圖（2）中的每個實心小正三角形重復(fù)以上操作得到圖（3），再對圖（3）中的每個實心小正三角形重復(fù)以上操作得到圖（4），…，依此類推得到個圖形.記第個圖形中實心三角形的個數(shù)為，第n個圖形中實心區(qū)域的面積為.
（1）寫出數(shù)列an和bn的通項公式；
（2）設(shè)，證明.
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由圖形可判斷數(shù)列an和bn都是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得；
（2）先由，，得，根據(jù)利用單調(diào)性得，進而可得.
【小問1】
由圖知后一個圖形中實心三角形的個數(shù)是前一個的倍，
所以an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，
由圖知后一個圖形中實心區(qū)域的面積是前一個的倍，第一個三角形的面積為，
故bn是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故
【小問2】
，
故，因為，故單調(diào)遞增，
故，又，故，
故，又，故
16. 已知函數(shù).
（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的方程；
（2）若函數(shù)在上有2個極值點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）令，分離參數(shù)可得，由題意可得方程在上有2個根，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出其極值和單調(diào)區(qū)間即可得解.
【小問1】
由題意得，，
故，解得，
而，故所求切線方程為，即；
【小問2】
令，則，故，
因為函數(shù)在上有2個極值點，
所以方程在上有2個根，
令，，則，
令，解得，故當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
且，當時，，當，，
故實數(shù)的取值范圍為.
17. 已知四棱錐中，底面是矩形，，M是SB的中點．
（1）證明：；
（2）若，點P是SC上的動點，直線AP與平面所成角的正弦值為，求四面體的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，，可證平面，再根據(jù)線面垂直的定義可證.
（2）建立空間直角坐標系，先根據(jù)直線AP與平面所成角的正弦值為，確定點位置，再求四面體的體積.
【小問1】
如圖：
取中點，連接，.
因為、分別為、的中點，所以，又，所以.
又，
，且，，
所以
所以，又平面，所以平面，
因為平面，所以.
【小問2】
因為，，平面，
所以平面.又，所以可以以為原點，建立如圖空間直角坐標系.
因為，則A0,0,0，，，，，
所以，.
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則
，取
設(shè)，.
所以.
因為直線AP與平面所成角的正弦值為，
所以：cs=AP?mAP?m=221-λ5?16λ2-8λ+4=1010，解得.
所以為的中點，所以
18. 新冠疫情下，為了應(yīng)對新冠病毒極強的傳染性，每個人出門做好口罩防護工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級別，三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過濾等級；工序加工質(zhì)量層次均為高時，口罩過濾等級為100等級(表示最低過濾效率為99.97%)；工序的加工質(zhì)量層次為高，工序至少有一個質(zhì)量層次為低時，口罩過濾等級為99等級(表示最低過濾效率為99%)；其余均為95級(表示最低過濾效率為95%)．
表①:表示三道工序加工質(zhì)量層次為高的概率；表②:表示加工一個口罩的利潤．
表①
表②
（1）表示一個口罩的利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由于工廠中工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計劃通過增加檢測環(huán)節(jié)對工序進行升級．在升級過程中，每個口罩檢測成本增加了()元時，相應(yīng)的工序加工層次為高的概率在原來的基礎(chǔ)上增加了;試問：若工廠升級方案后對一個口罩利潤的期望有所提高，則與應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系?
【答案】（1）分布列見解析，
（2）()
【解析】
【分析】（1）由題意可知：的可能取值為，，，分別求出100等級，99等級，95等級的概率，列分布列計算數(shù)學(xué)期望即可；
（2）改良后一件產(chǎn)品的利潤的可能取值為，，，分別求出改良后100等級，99等級，95等級的概率，求出數(shù)學(xué)期望與比較即可.
【小問1】
的可能取值為，，，
；；；
所以的分布列為
【小問2】
設(shè)升級后一件產(chǎn)品的利潤為，則的可能取值為，，
；
；
；
所以，
由得，解得，
所以與滿足的關(guān)系為().
19. 已知橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過點作不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，且的周長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，得到，進而得到的方程，結(jié)合點到直線的距離公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【小問1】
解：由橢圓離心率，且的周長為，
可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為.
【小問2】
解：依題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為，
聯(lián)立方程，整理得，
設(shè)，，則，
可得，可得，
因為，所以，
即，
所以到的距離，
所以
，
當且僅當，即時等號成立.
【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的最值與范圍問題的方法與策略：
1.幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；
2.函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；
3.涉及直線與圓錐曲線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進行轉(zhuǎn)化運算求解，同時抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.
工序
概率
口罩等級
100等級
99等級
95等級
利潤/元

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