1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 已知集合，，，，則中所有元素和為：（ ）.
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合A,再得出集合M，計(jì)算即可求值.
【詳解】，所以，
，則中所有元素和為4.
故選：C.
2. 已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先計(jì)算出的值，然后根據(jù)奇偶性可得，則結(jié)果可知.
【詳解】由題意可知，
因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，
故選：B.
3. 已知，，，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：D.
4. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹投际菧p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，要使其在上單調(diào)遞減，則，
所以，解得，故D正確.
故選：D.
5. 定義：表示a、b中的較小者.若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先作出的圖象，然后分析時(shí)的取值，根據(jù)值域結(jié)合圖象確定出的最大值.
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象如圖所示，
令，解得或，所以，
令，解得，所以，
由題可知，當(dāng)在區(qū)間上的取值范圍為時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為，
故選：B.
6. 若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，
又關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則，
令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又時(shí)，，時(shí)，，所以，
故選：D.
7. 《荀子·勸學(xué)》中：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江?！保凇斑M(jìn)步率”和“退步率”都是的前提下，我們把看作是經(jīng)過(guò)365天的“進(jìn)步值”，把看作是經(jīng)過(guò)365天的“退步值”.則經(jīng)過(guò)200天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A. 22倍B. 55倍C. 217倍D. 407倍
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出經(jīng)過(guò)200天的“進(jìn)步值”和“退步值”，再結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)運(yùn)算求解作答
【詳解】依題意，經(jīng)過(guò)200天的“進(jìn)步值”為，“退步值”為，
則“進(jìn)步值”與“退步值”的比，
兩邊取對(duì)數(shù)得，
因此，所以“進(jìn)步值”大約是“退步值”55倍.
故選：B
8. 已知函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性和最值，作出的草圖，即可求得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，顯然為偶函數(shù)，
不妨令，則，
且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
且函數(shù)在上是遞增的，
所以可作草圖如下，

因?yàn)榍∮袀€(gè)零點(diǎn)，
所以方程有四個(gè)不同的解，
即與的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，
所以或.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則
B. 若函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>C. 若，則，
D. 若冪函數(shù)，則對(duì)任意，都有
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)判斷A；由抽象函數(shù)的定義域求法判斷B；應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式判斷C；利用分析法證明D.
【詳解】A：設(shè)，則，即，所以，解得，所以，錯(cuò)誤；
B：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋e(cuò)誤；
C：若，令，可得，
所以，，其中，
所以，，，正確；
D：對(duì)任意，要證明不等式，
只需證明，即，
故只需證明，此不等式顯然成立，正確.
故選：CD.
10. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)即可求解A，根據(jù)奇偶性的定義即可求解B，利用假設(shè)法得矛盾求解C，根據(jù)對(duì)稱性可得，進(jìn)而可得，從而可得求解D.
【詳解】由，可得，則，
令，得，A正確．
令，則，故為偶函數(shù)，B正確．
假設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，則，即關(guān)于直線對(duì)稱，又不是常函數(shù)，這與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱矛盾，假設(shè)不成立，C不正確．
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，令，則，
則（C為常數(shù)），則，
從而，即，
由，得，D錯(cuò)誤．
故選：AB．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)對(duì)稱得，進(jìn)而可得，求導(dǎo)可得，從而得.
11. 甲、乙兩人分別從云臺(tái)山、青天河、神農(nóng)山、月山寺這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)去旅游，已知甲、乙兩人選擇哪個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 甲去云臺(tái)山的概率為
B. 甲、乙兩人都去云臺(tái)山的概率為
C. 甲、乙兩人中恰有一人去云臺(tái)山的概率為
D. 甲、乙兩人中至少有一人去云臺(tái)山的概率為
【答案】AC
【解析】
【分析】將甲、乙兩人去云臺(tái)山、青天河、神農(nóng)山、月山寺旅游分別記為，，，，寫出樣本空間，計(jì)數(shù)后計(jì)算概率判斷各選項(xiàng)．
【詳解】將甲、乙兩人去云臺(tái)山、青天河、神農(nóng)山、月山寺旅游分別記為，，，，
依題意可知樣本空間為：
，
共含有個(gè)樣本點(diǎn).
甲去云臺(tái)山的情況為，
樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故A正確；
甲、乙兩人都去云臺(tái)山的情況為，
樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故B錯(cuò)誤；
甲、乙兩人中恰有一人去云臺(tái)山的情況為，
樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故C正確；
甲、乙兩人中至少有一人去云臺(tái)山的情況為，
樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值5和最小值2，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到在上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合題意，列出方程組，求得的值，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得的對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，即，即，
當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即，即，
聯(lián)立方程得，解得，所以．
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，則______．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)代入求值即可.
【詳解】由解析式可得，則．
故答案為：4
14. 如圖所示的電路中，每個(gè)元件接通的概率均為，則電路接通的概率為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】借助相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可得.
【詳解】電路接通的概率為：.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，記集合為的定義域．
（1）求集合；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）
（2）奇函數(shù) （3）
【解析】
【分析】（1）由真數(shù)大于零求解其定義域即可；
（2）由函數(shù)的奇偶性判斷即可；
（3）令，利用單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)的值域即可.
【小問(wèn)1詳解】
由真數(shù)大于0可知，，.
【小問(wèn)2詳解】
可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
故為奇函數(shù)．
【小問(wèn)3詳解】
令，對(duì)稱軸，在上，，
又在上遞減，
故的值域是：．
16. 設(shè)二次函數(shù).
（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；
（2）若存在，使得函數(shù)值成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得；
（2）依題意可知需滿足成立即可，由基本不等式計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，
即，恒成立，
即可得，所以
【小問(wèn)2詳解】
存在，使得成立，即，
只需成立，即需成立，
因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
則，所以，
綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
17. 甲，乙，丙三人計(jì)劃參加某項(xiàng)800米跑步比賽，規(guī)定比賽成績(jī)不超過(guò)為優(yōu)秀．為了預(yù)測(cè)三人中比賽成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，收集了這三人近8次的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)：
用頻率估計(jì)概率，且甲，乙，丙三人的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（1）分別求甲，乙，丙三人比賽成績(jī)優(yōu)秀的概率；
（2）記為甲，乙，丙三人中比賽成績(jī)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）甲，乙，丙三人比賽成績(jī)優(yōu)秀的概率分別為，，
（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）直接利用古典概型進(jìn)行求概率即可；
（2）根據(jù)相互獨(dú)立求出，，，，列出分布列，利用分布列求出數(shù)學(xué)期望即可．
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知，甲，乙，丙三人比賽成績(jī)優(yōu)秀的概率分別為：
，，，
故甲，乙，丙三人比賽成績(jī)優(yōu)秀的概率分別為，，；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為，，，；
，
，
，
，
故的分布列如下：
故數(shù)學(xué)期望為：．
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由和求得，再驗(yàn)證即可求解；
（2）分析在R上單調(diào)性，再利用的奇偶性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解不等式，從而得解.
【小問(wèn)1詳解】
，①，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以，②，
由①②得，，
，又，
所以是奇函數(shù)，
故的解析式為，.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，，，
設(shè)，且，
，
因?yàn)?，，，所以，即?br>所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，
則由，得，
則，即，
所以或.
19. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，．
（1）求的值；
（2）用單調(diào)性定義證明：在定義域上是增函數(shù)；
（3）若，求不等式的解集，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）存在，解集為
【解析】
【分析】（1）令，即可求解；
（2）由，且，得到，再由當(dāng)時(shí)，，即可求證；
（3）由，得到，再結(jié)合性質(zhì)可得，結(jié)合定義域和單調(diào)性求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>令，可得，所以．
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)，且，
則，
因?yàn)?，，則，
又因?yàn)?，可得?br>且當(dāng)時(shí)，，則，即，
所以在定義域上是增函數(shù)．
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，解得．
由，得等價(jià)于，
且，可得，
由（2）可知：在定義域上是增函數(shù)．
可得，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集為．
甲
乙
丙
0
1
2
3

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