一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，再結(jié)合基本不等式“1”的妙用方法計算即可得解.
【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為圓關(guān)于直線對稱，
該直線經(jīng)過圓心，即，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
所以的最小值為.
故選：C.
2. 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可得答案.
詳解】，得：.
故選：C．
3. 甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三個足球場參加志愿服務(wù)，每名志愿者都必須分配，每個足球場至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一個足球場，則不同的分配方案共有（ ）
A. 24種B. 30種C. 36種D. 42種
【答案】B
【解析】
【分析】分類考慮，甲乙有可能各自參加一個足球場或者甲乙有一人和別人一起參加志愿服務(wù)，分別求出分配方案的種數(shù)，相加即得答案.
【詳解】由題意甲、乙不能安排在同一足球場中，故甲、乙各自參加一個足球場的服務(wù)時，共有種分配方案，
當(dāng)甲或乙有一人和丙丁中一人一起參加一個足球場的服務(wù)時，有種分配方案，
故不同的分配方案共有種，
故選：B
4. 對于次二項式，取，可以得到．類比此方法，可以求得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取分別賦值，作差后化簡即可得解.
【詳解】由題意可得，
令，得，
令，得，
兩式作差，可得，
故．
故選：B．
5. 設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的對樣本數(shù)據(jù)為，下列統(tǒng)計量中不能刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)統(tǒng)計量的幾何意義，為避免在代數(shù)上出現(xiàn)正負(fù)相抵的情況，需要有絕對值或平方，題干中要求選“不能刻畫”的，從而選出符合題意的選項.
【詳解】統(tǒng)計量和可以刻畫數(shù)據(jù)點與直線的豎直距離，
進(jìn)而可以刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”，AC選項不符合題意．
統(tǒng)計量可以刻畫數(shù)據(jù)點與直線的距離，
也可以刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”，B選項不符合題意．
統(tǒng)計量的計算會出現(xiàn)直線兩側(cè)的數(shù)據(jù)點在代數(shù)上正負(fù)抵消的情況，
因此不能刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”，D選項符合題意．
故選：D.
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，，動點和分別位于正半軸和負(fù)半軸上，若，則和的交點的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通過設(shè)出交點的坐標(biāo)，利用、、、的坐標(biāo)關(guān)系以及已知條件來建立等式，從而求出的軌跡方程.
【詳解】設(shè)，，.
因為，所以.
已知，，根據(jù)直線的截距式方程（為軸上的截距，為軸上的截距），可得直線的方程：.
已知，，則直線的方程為.
因為是和的交點，所以的坐標(biāo)滿足和的方程.
對于直線的方程，可得.
對于直線的方程，可得.
又因為，所以，即.
故選：D.
7. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，點在橢圓上，為的內(nèi)心，連接并延長交線段于點，，則橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知為的角平分線，推導(dǎo)出，可得出，利用比例關(guān)系可得出，再結(jié)合可求得橢圓的離心率的值.
【詳解】如圖，連接、，是的內(nèi)心，
則、分別是和的角平分線，為的角平分線，

所以到直線、的距離相等，
得，同理可得，
由比例關(guān)系性質(zhì)可知．
又因為，所以橢圓的離心率.
故選：C．
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
8. 三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得證為等腰三角形，于是建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，根據(jù)與直線AC與BD所成角為建立方程，求得，然后找出外接球球心，根據(jù)相關(guān)數(shù)量關(guān)系，建立外接球半徑的等式關(guān)系，求出半徑，應(yīng)用球的表面積公式即可得解
【詳解】由題意可得，因為為等邊三角形，所以，
又，且
所以，所以,
取的中點，易得,又
所以平面，又平面，所以平面平面，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
令，所以，
因為，所以，所以，
所以，
因為直線AC與BD所成角為，所以，
解得，即，
如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，
設(shè)點A在平面內(nèi)的投影為，作，
所以,
所以在中，
,,
所以在中，，解得，
所以，三棱錐外接球表面積為，
故選：A
【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法
1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
2.若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體求解；
3.正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．
4.球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長．
5.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解．
二、多選題：（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 已知雙曲線，則（ ）
A. 的取值范圍為
B. 雙曲線的焦點坐標(biāo)為
C. 當(dāng)時，雙曲線的兩條漸近線的夾角為
D. 當(dāng)雙曲線為等軸雙曲線時，
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解AB；根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解漸近線即可判定C；根據(jù)等軸雙曲線的定義即可求解D.
【詳解】選項A：令，解得，A正確；
選項B：由于，，故該雙曲線的焦點在軸上，
而，得，所以焦點坐標(biāo)為，B錯誤；
選項C：當(dāng)時，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知漸近線方程為．
若雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則漸近線的斜率為或，C錯誤；
選項D：當(dāng)雙曲線為等軸雙曲線時，，解得，D正確．
故選：AD
10. 已知事件，，為隨機事件，且，則（ ）
A. 若事件與事件對立，則
B. 若，則事件與事件對立
C. 若事件與事件獨立，則
D. 若，則事件與事件獨立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由條件概率的計算公式即可判斷A，舉出反例，即可判斷B，由相互獨立事件的定義即可判斷CD.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，拋擲兩次骰子，事件：第一次拋擲骰子的點數(shù)為2，
事件：第二次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)，事件：第二次拋擲骰子的點數(shù)大于3，
則，可知，但，不是對立事件，故B錯誤；
對于C，若事件與事件獨立，則，
則，故C正確；
對于D，，從而，
則事件與事件獨立，故D正確.
故選：ACD
11. 在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點，為線段上的一個動點，則（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 存在點，使得平面平面
C. 當(dāng)時，直線與所成角的余弦值為
D. 當(dāng)為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用錐體體積公式可判斷A選項；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷BC選項；
【詳解】對于A選項，因為平面平面，平面，
所以平面，所以點到平面的距離為定值，
又，的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故A正確；
以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，、、，
對于B項，，，，，，
設(shè)，其中，
則．設(shè)平面的法向量為，
由，令，可得．
設(shè)平面的法向量為，
由，令，可得．
若平面平面，則，則，解得，故B正確；
對于C選項，當(dāng)時，，．
設(shè)直線與所成的角為，則，
即直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；
對于D項，如圖2，當(dāng)為的中點時，、，，．
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，
則，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確．
故選：ABD．
【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：
①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；
②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；
④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 從甲、乙、丙等6人中選擇3人去成都出差，則甲被選中，而乙沒有被選中的概率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到共有種情況，甲被選中，而乙沒有被選中共有種情況，再利用古典概型公式計算即可.
【詳解】甲、乙、丙等6人中選擇3人去成都出差，共有種情況，
甲被選中，而乙沒有被選中共有種情況，
所以甲被選中，而乙沒有被選中的概率為.
故答案：
13. 正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量線性運算得到，證明出共線定理的推論，由三點共線，得到，求出.
【詳解】因為，所以，
即，，
下面證明：已知，若三點共線，則，
因為三點共線，所以存在非零實數(shù)，使得，
即，整理得，
故，，所以，
因為三點共線，
故，解得：.
故答案為：
14. 已知雙曲線（，），分別為雙曲線的左、右頂點及右焦點，點為雙曲線右支上異于的動點，過作直線的垂線交與點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時，雙曲線的離心率為__________.
【答案】2
【解析】
【分析】分別求得A，B和F的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為 ，與雙曲線的方程聯(lián)立，求得P的坐標(biāo)，求得過F垂直于的直線方程，求得直線BP的方程，求出點縱坐標(biāo)，可得t關(guān)于a,b的式子，再由換元法和二次函數(shù)的最值求法，可得所求最大值，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】由已知，
直線的斜率明顯存在且不為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
則，得，，
又過與直線的垂線的直線方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立得，
則，
令，，
則
當(dāng)，即時，取最大值
此時離心率.
故答案為：.
四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 在二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的項只有一項，且是第4項．
（1）求的值；
（2）求展開式中所有有理項的系數(shù)之和；
（3）把展開式中的項重新排列，求有理項互不相鄰的排法種數(shù)．
【答案】（1）6 （2）32
（3）144
【解析】
【分析】（1）利用二項式定理的展開式的性質(zhì)即可求解；（2）利用二項式定理的展開式，找出的次數(shù)為整數(shù)的項，即可求解（3）元素不相鄰的排列問題用插空法，即可求解.
【小問1詳解】
由題意知，所以．
【小問2詳解】
二項式的展開式的通項為，
當(dāng)時，的次數(shù)為整數(shù)，對應(yīng)的項為有理項．
于是展開式中有理項共有四項，分別為第1項第3項、第5項、第7項，
所以展開式中所有有理項的系數(shù)之和為（或）．
【小問3詳解】
展開式共有7項，其中4項為有理項，3項為無理項．
將無理項排列，有種排法，
將有理項插空排列，有種排法，
故有理項互不相鄰的排法共有（種）．
16. 已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為4.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)為橢圓的右頂點，為橢圓的上頂點，直線與橢圓交于兩點（在第三象限），是橢圓上的動點（不與頂點重合），直線分別交直線于點，記，求證：為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率及四邊形面積求出，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）求出兩點的坐標(biāo)，設(shè)，并表示出點的坐標(biāo)，結(jié)合向量共線求出即可推理得證.
【小問1詳解】
由橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為4，得，則，
由的離心率為，得，則，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，，
由，解得或，則，，
設(shè)，有，直線的方程為，
由，解得點的橫坐標(biāo)，
直線的方程為，由，解得點的橫坐標(biāo)，
由，得，同理，
所以，
而，
所以為定值.
17. 某學(xué)校共有1200人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)比為，為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，擬舉行乒乓球比賽，從三個年級中采用分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊員．本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，每場比賽都采取5局3勝制，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每場比賽5局中以或獲勝的隊員積3分，落敗的隊員積0分；而每場比賽5局中以獲勝的隊員積2分，落敗的隊員積1分．已知最后一場比賽兩位選手是甲和乙，如果甲每局比賽的獲勝概率為
（1）三個年級參賽人數(shù)各為多少？
（2）在最后一場比賽甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率
（3）記最后一場比賽中甲所得積分為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望
【答案】（1）來自高一，高二，高三年級的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用分層抽樣的等比例性質(zhì)列式求解即可；
（2）分別求得最后一場比賽甲獲勝與其前2局獲勝的概率，再利用條件概率公式即可得解；
（3）依題意得到的所有可能取值，分別求其對應(yīng)概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望即可得解.
【小問1詳解】
三個年級的參賽人數(shù)分別為，
故來自高一，高二，高三年級的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人.
【小問2詳解】
記甲在最后一場獲勝為事件，其前兩局獲勝為事件，
則，
，
故.
【小問3詳解】
依題意，的所有可能取值為.
；；
；.
∴的概率分布列為：
∴.
18. 如圖，在四棱錐中，，，，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，點E是棱上的一點.

（1）若，求證：平面；
（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值；
（3）求點到直線的距離的最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取的中點F，可得，再由線面平行的判定定理可得答案；
（2）取的中點O，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理得，，以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法求出可得答案；
（3）設(shè)，，求出點到直線的距離，分、、可得答案.
【小問1詳解】
取的中點F，連接，，
又，點F是的中點，
所以，，
又，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小問2詳解】
取的中點O，連接，，如圖所示，

因為為等邊三角形，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以，，
又，得，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線，，
分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
設(shè)，，
所以，
又，設(shè)平面的法向量為，
所以，
令，解得，，
所以平面的法向量.
又，，
設(shè)平面的法向量為，所以，
令，解得，，
所以平面的法向量.
設(shè)平面與平面的夾角為，
所以
，
解得，所以；
【小問3詳解】
設(shè)，，
所以，
又，所以點到直線的距離
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
而，當(dāng)時，取最小值，
此時.
綜上，點到直線的距離的最小值為.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，過點作斜率分別為的直線，若，則稱直線是定積直線或定積直線.

（1）已知直線是定積直線，且直線，求直線的方程;
（2）如圖所示，已知點，點和點分別是三條傾斜角為銳角的直線上的點(與均不重合)，且直線是定積直線，直線是定積直線，直線是定積直線，求點的坐標(biāo);
（3）已知點，直線是定積直線，若，求三角形的面積.
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義求得的斜率，得直線方程；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，由新定義列方程組解得，求得直線方程，再聯(lián)立直線方程求得交點坐標(biāo)；
（3）設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)新定義列出關(guān)系式，得到動點軌跡方程，假定在軸上方，根據(jù)直線斜率與角之間關(guān)系轉(zhuǎn)化列出等式，求出點坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形面積.
【小問1詳解】
由已知得，又，
且直線過點，
的方程;
【小問2詳解】
（2）設(shè)直線的斜率分別為，
則.
得（負(fù)值舍去），
當(dāng)時，
直線的方程為，直線的方程為
聯(lián)立得；故所求為；
【小問3詳解】
設(shè)，
得的軌跡方程為:
由圖形的對稱性，不妨設(shè)在軸上方，則
，得，即此時的縱坐標(biāo)為
.
所以三角形的面積為.
【點睛】方法點睛： “新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解。對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求。但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶．3
2
1
0

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江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（日新班）（含解析）

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