一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. 集合有7個元素C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出全集中的元素，根據(jù)集合的交并補運算逐項檢驗是否正確.
【詳解】由題意知共7個元素,故，，，所以A，B，D三項正確，C項錯誤.
故選：C
2. 在算式++=30中，“我?愛?豐?中”分別代表四個不同的數(shù)字，且依次從大到小，則“中”字所對應(yīng)的數(shù)字為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知“我?愛?豐?中”分別代表四個不同的數(shù)字為非負整數(shù)，且最大的數(shù)字小于5，然后分情況討論可得答案.
【詳解】由題意可知“我?愛?豐?中”分別代表四個不同的數(shù)字為非負整數(shù)，
因為，所以“我”代表的數(shù)字小于5，
若“我?愛?豐?中”分別代表的數(shù)字為3，2，1，0，此時，不合題意，
若“我?愛?豐?中”分別代表的數(shù)字為4，2，1，0，此時，不合題意，
若“我?愛?豐?中”分別代表的數(shù)字為4，3，1，0，此時，不合題意，
若“我?愛?豐?中”分別代表的數(shù)字為4，3，2，0，此時，不合題意，
若“我?愛?豐?中”分別代表的數(shù)字為4，3，2，1，此時，符合題意，
所以“我?愛?豐?中”分別代表的數(shù)字為4，3，2，1，
所以“中”字所對應(yīng)的數(shù)字為1.
故選：D
3. 已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（ ）
A ﹣6B. ﹣3C. 0D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】分析可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此可得，即可求解，得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對任意的實數(shù)均有，即，
則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
則，故選B．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4. 在6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥中，有個函數(shù)滿足性質(zhì)：；有個函數(shù)滿足性質(zhì)：．則的值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)性質(zhì)，性質(zhì)的定義結(jié)合運算法則逐項檢驗即可得的值，從而可求的值.
【詳解】解：①因為，所以，則，不滿足性質(zhì)，
，滿足性質(zhì)；
②因為，所以，則，不滿足性質(zhì)，
，滿足性質(zhì)；
③因為，所以，則，滿足性質(zhì)，
，不滿足性質(zhì)；
④因為，所以，則，不滿足性質(zhì)，
，不滿足性質(zhì)；
⑤因為，所以，則，不滿足性質(zhì)，
，不滿足性質(zhì)；
⑥因為，所以，則，不滿足性質(zhì)，
，不滿足性質(zhì)；
綜上，滿足性質(zhì)的有③，滿足性質(zhì)的有①②，所以，故.
故選：A.
5. 已知函數(shù)（其中，為常量，且，，）的圖像經(jīng)過點，．若不等式在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出在上最小值即可.
【詳解】解：因為函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，
所以，解得，
所以，
所以在區(qū)間上恒成立，
等價于在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
6. 意大利畫家達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達式為．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，寫出函數(shù)的解析式，由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性列出不等式，解之即可.
【詳解】由題意可知：的定義域為，
因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又因為，且在上為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，
因為，所以，
所以，解得：或，
所以實數(shù)的取值范圍為，
故選：D.
7. 基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.
【詳解】因為，，，所以，所以，
設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，考慮和兩種情況，分別計算函數(shù)的最值得到范圍.
【詳解】不等式，即，
當時，，，
，時取等號，
，在上單調(diào)遞減，，
所以；
當時，，即，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，故；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，， 所以.
綜上所述：.
故選：A
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）
9. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)也是在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷是否成立，若成立再判斷上的單調(diào)性.
【詳解】因為三個選項里的函數(shù)定義域都是，項的函數(shù)的定義域為
所以四個選項中的函數(shù)的定義域都關(guān)于原點對稱，接下來只需要驗證
對于A項，，函數(shù)為偶函數(shù)，且當時在上單調(diào)遞增，符合題意，故A正確；
對于B項，是偶函數(shù)，但是不具有單調(diào)性，故B不正確；
對于C項，，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D項，，函數(shù)為奇函數(shù)，故D不正確.
故選：AC
10. 已知都是定義在上的函數(shù)，對任意滿足，且，則下列說法正確的有（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C.
D 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷ABC，對于D，通過觀察選項可以推斷很可能為周期函數(shù)，結(jié)合，的特殊性以及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到當令和時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步可得出是周期函數(shù)，從而可得出的值.
【詳解】對于A，令，代入已知等式得，得，
再令，，代入已知等式得，
可得，結(jié)合得，故A正確；
對于B，再令，代入已知等式得，
將代入上式，得，∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴函數(shù)關(guān)于點對稱，故B正確；
對于C，再令，代入已知等式，
得，∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，故C錯誤；
對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：
，
兩式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，∴為周期函數(shù)，且周期為3，
∵，∴，∴，，
∴，
∴，
故D正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：對于含有，，的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有，雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進而得到所需的關(guān)系.此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項來決定.
11. 已知，，，設(shè)，，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】比較大小我們一般用作差法，在參與比較的項都大于零時，我們也可以采用作商法比較大小，結(jié)合公式，且，，，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可較易判斷.
【詳解】由題意知：都大于零，
，因為，所以，
故，所以A錯誤；
因為，所以，
故，所以D正確；
同理，因為，所以，
故，所以B正確；
因為，所以，又，
故，所以C正確.
故選：BCD.
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
12. 若α、β兩角的終邊互為反向延長線，且α＝－120°，則β＝______________.
【答案】k·360°＋60°，k∈Z
【解析】
【分析】先求出β的一個角，再由終邊相同角的概念可得到β.
【詳解】先求出β的一個角，β＝α＋180°＝60°，再由終邊相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.
【點睛】本題考查了終邊相同的角的表示，考查了角的概念，屬于基礎(chǔ)題．
13. 命題：“若，則”是______命題．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】先對一元二次不等式進行求解，然后利用小范圍推大范圍即可判斷命題真假
【詳解】由，解得，在數(shù)軸上可以看出范圍小，范圍大，
根據(jù)小范圍能推大范圍，所以命題是真命題.
故答案為：真
14. 用表示非空集合中的元素的個數(shù)，定義，若，，若，則的所有可能取值構(gòu)成集合，則______.
【答案】5
【解析】
【分析】解方程得到，由定義知道的值，再分類討論得出結(jié)果.
【詳解】解得或，即，
∵，∴或，
方程可整理為，
①當時，即方程組只有一個解，則，即，
②當時，即方程組只有三個解，
顯然時不成立，∴，即方程有兩個不同的解，
⑴當方程只有一個實根時，，，
⑵當方程有二個不同實根時，，或，
顯然不是的實根，則是方程其中一個實根，則，解得，
綜上所述：.
∴.
故答案為：5
【點睛】方法點睛，在討論含參方程的根的個數(shù)時，需要分類討論.而本題集合是由兩個二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分別討論根的個數(shù)，注意兩個方程可能出現(xiàn)相同的實數(shù)根.
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 哈爾濱市第三中學(xué)校響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，實施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗學(xué)生上網(wǎng)課的效果，高三學(xué)年進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6人.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分數(shù)在，的兩組同學(xué)中隨機抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同學(xué)作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分數(shù)不在同一組內(nèi)的概率.
【答案】（1），；中位數(shù)為；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的面積和為1，這100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6人列式求解a，b的值，再根據(jù)中位數(shù)左右兩邊的面積均為計算即可.
（2）在分數(shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，
在分數(shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，再利用枚舉法求解即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1，則
，得，
又由100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6人
則，解得，
中位數(shù)中位數(shù)為
（2）設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分數(shù)不在同一組內(nèi)”為事件A，
由題意知，在分數(shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，
在分數(shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，
從這6名同學(xué)中抽取2人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15種
抽取的2名同學(xué)的分數(shù)不在同一組內(nèi)的結(jié)果有：，，，，，，，，共8種
所以抽取的2名同學(xué)的分數(shù)不在同一組內(nèi)的概率為.
【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖求參數(shù)與中位數(shù)方法、枚舉法解決古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.
16. 已知函數(shù)的定義域為，對任意正實數(shù)x，y都有，且當時，．
（1）求證：是上的增函數(shù)；
（2）若，求x的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）已知抽象函數(shù)，利用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；
（2），即，利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域列出不等式組，即可求x的取值范圍.
【小問1詳解】
證明：任取，且，
則．
因為，所以，所以，
即，所以是上的增函數(shù)．
【小問2詳解】
解：，即，
由（1）可知是上的增函數(shù)，
所以，解不等式組可得，故x的取值范圍為．
17. 隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：.研究表明：當隧道內(nèi)的車流密度達到120輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是0千米/小時.
（1）若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；
（2）隧道內(nèi)的車流量（單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時），并指出當車流量最大時的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）車流密度的取值范圍是
（2）隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時，此時車流密度約為83輛/千米.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)分段函數(shù)解不等式即可得答案；
（2）由題意得，再根據(jù)基本不等式求解最值即可得答案.
【小問1詳解】
解：由題意知當（輛/千米）時，（千米/小時），
代入，解得，
所以.
當時，，符合題意；
當時，令，解得，所以.
所以，若車流速度不小于40千米/小時，則車流密度的取值范圍是.
【小問2詳解】
解：由題意得，
當時，為增函數(shù)，所以，當時等號成立；
當時，
.
當且僅當，即時等號成立.
所以，隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時，此時車流密度約為83輛/千米.
18. 若函數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“倒函數(shù)”.
（1）判斷函數(shù)和是否為“倒函數(shù)”（不必說明理由）；
（2）若為“倒函數(shù)”，求實數(shù)m，n的值；
（3）若（恒為正數(shù)），其中是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，求證：是“倒函數(shù)”．
【答案】（1）函數(shù)和都不“倒函數(shù)”
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)定義域即可判斷；利用給定定義計算判斷即可作答.
（2）利用給定定義直接計算可得m、n的值
（3）探討的定義域，再利用給定的定義計算即可作答.
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)為“倒函數(shù)”，函數(shù)的定義域必關(guān)于數(shù)0對稱，
函數(shù)的定義域為，顯然在定義域內(nèi)，而1不在定義域內(nèi)，
即不是“倒函數(shù)”，
函數(shù)定義域為R，而，即不是“倒函數(shù)”，
所以函數(shù)和都不是“倒函數(shù)”.
【小問2詳解】
顯然，函數(shù)的定義域關(guān)于數(shù)0對稱，又是倒函數(shù)，
于是得，則，又，解得，
所以實數(shù)m、n的值分別為；
【小問3詳解】
因函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則它們的定義域必關(guān)于數(shù)0對稱，
依題意，的定義域是函數(shù)與定義域的交集，也必關(guān)于數(shù)0對稱，
因此，，
所以是倒函數(shù).
【點睛】關(guān)鍵點點睛：正確理解給定定義，是解決新定義題的關(guān)鍵.
19. 已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)在的值域；
（2）若，求證.求的值；
（3）令，則，已知函數(shù)在區(qū)間有零點，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析，
（3）
【解析】
分析】（1）化簡可得，利用二次函數(shù)單調(diào)性，即得解；
（2）由已知可得的解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運算即可求證，利用倒序相加即可求值；
（3）由已知可得，令，函數(shù)等價為在上有零點，參變分離即得解
【小問1詳解】
解：若
，
當上函數(shù)為增函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的值域為.
【小問2詳解】
解：若，則，
則，
設(shè)
則
兩式相加得，即，則
故.
【小問3詳解】
，
設(shè)，當，則，
則函數(shù)等價為，
若函數(shù)在區(qū)間有零點，
則等價為在上有零點，
即在上有解，
即在上有解，
即，
設(shè)，則，則，
則在上遞增，
則當時，，當時，，
∴，即，
即實數(shù)k的取值范圍是.

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