第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．8C．16D．15
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．設(shè)，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．在方向上的投影向量為
C．若，則D．若，則
6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．函數(shù)圖象向右移個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為
D．若，則函數(shù)的最大值為
8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，
C．的解集是D．都有
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知函數(shù)，，則（ ）
A．與的值域相同B．與的最小正周期相同
C．曲線與有相同的對稱軸D．曲線與有相同的對稱中心
10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，且，則
B．若是等比數(shù)列，且，則
C．若，則是等差數(shù)列
D．若是公比大于1的等比數(shù)列，則
11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)，且，令，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是________．
13．已知的外心為，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．若，則________．
14．若存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時(shí)，________．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。
15．（13分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若，則面積為，求、的值．
16．（15分）已知數(shù)列中，．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17．（15分）已知直三棱柱中，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為？
18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，若橢圓的離心率為，且點(diǎn)到直線的距離為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為，．
①求證：為定值，并求出該定值；
②設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值．
19．（17分）已知函數(shù)，且在區(qū)間上的最小值為0．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，對任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)．
①求證：函數(shù)在區(qū)間具有性質(zhì)；
②記，其中，求證：．
高三數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
1-5 ADBDB 6-8 CDC 9 ABC 10 AB 11 BCD
12．8 13． 14．
四、解答題：
15．（13分）解：（1）由正弦定理得，，
又，，
，，，
，，．
（2）面積為，，，
，，由得，
即，，
，或，．
16．（15分）解：（1）因?yàn)?，所以?br>即，為常數(shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）由（1）知，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，
故，
所以，
兩式相減得，，
所以．
17．（15分）解：（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故．
同時(shí)有，且，故．
由于，，且和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面．
由于在平面內(nèi)，故．
取的中點(diǎn)，由于，分別是和的中點(diǎn)，故，而，故，即．
由于，分別是和的中點(diǎn)，可以得到，
所以有平行四邊形，故．
設(shè)和交于點(diǎn)，由于，，，
從而得到全等于，故．
這就得到，從而，即．
而，故 ．
由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面．
由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面．
（2）有，又因?yàn)槠矫?，和在平面?nèi)，故，．
由于，，兩兩垂直，故我們能夠以為原點(diǎn)，，，分別作為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
由于題設(shè)條件和需要求證的結(jié)論均只依賴于線段間的比值，不妨設(shè)，
這就得到，，，，，，，．
據(jù)題設(shè)有，顯然，此時(shí)．
從而有，，，．
設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則，
．即，，從而可取，．
此時(shí)平面與平面所成的角的余弦值為
，
故條件等價(jià)于，即，解得，
所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為．
18．（17分）解：（1）設(shè)橢圓的焦距為．
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即．
由，得，即．
所以直線的方程為，即．
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，其中，且，即．
設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，．
聯(lián)立消去并整理，得，
則，．
①
，為定值，得證．
②方法一：易知直線的方程為，令，得，故．
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)．直線的方程為，令，得，故．
聯(lián)立消去并整理，得，
解得或（舍去），則．
所以的面積
由①可知，，故，代入上式，得．
因?yàn)辄c(diǎn)在軸下方且不在軸上，故或，即，
所以．
顯然，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故只需考慮，令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，
所以面積的最大值為．
方法二：易知直線的方程為，令，得，故．
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)．易直線的方程為，
令，得，故．
由①可知，，故，所以是線段的中點(diǎn)．
故的面積，其中為點(diǎn)到直線的距離．
思路1 顯然，當(dāng)過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓相切時(shí)，取最大值．
設(shè)直線的方程為，即．
聯(lián)立消去并整理，得，
由，解得（正值舍去），
所以平行直線與直線之間的距離為，
即的最大值為．
所以面積的最大值為．
思路2 因?yàn)橹本€的方程為，
所以．
依題意，，，，故，
所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在楠圓上，所以，即．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
故，所以，
即面積的最大值為．
19．（17分）解：（1），，，，，
，等號不同時(shí)取，
所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，．
若，即，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上的最小值為，符合題意．
若，即，此時(shí)，，
又函數(shù)在區(qū)間的圖象不間斷，
由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，與題意矛盾，舍去．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）①由（1）可知，當(dāng)時(shí)，．
要證函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)．即證當(dāng)時(shí)，．
即證當(dāng)時(shí)，．
令，，則，
即，．
又，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，．
即當(dāng)時(shí)，，得證．
②由①得，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，．
下面先證明兩個(gè)不等式：，其中；，其中．
令，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時(shí)，．
令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
所以當(dāng)時(shí)，，故，即．
由不等式可知，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，．
結(jié)合不等式可得，當(dāng)時(shí)，
，
所以當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，有，
所以．
又，所以．
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

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