2021-2022學(xué)年江蘇省無(wú)錫市輔仁高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，和共軛復(fù)數(shù)的概念求得，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)論．【詳解】由題意，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A．2．從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球（球除顏色外其他均相同）的口袋中任取2個(gè)球，以下給出了四組事件：①至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球；②至少有1個(gè)黃球與都是黃球；③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球；④至少有1個(gè)黃球與都是白球．其中互斥而不對(duì)立的事件共有（    ）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】A【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷【詳解】解：對(duì)于①，至少有個(gè)白球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是白球；至少有1個(gè)黃球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是黃球，所以這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件，對(duì)于②，至少有1個(gè)黃球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是黃球，所以至少有1個(gè)黃球與都是黃球有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件，對(duì)于③，恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球是同一個(gè)事件，所以不是互斥事件，對(duì)于④，至少有1個(gè)黃球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是黃球，與都是白球不可能同時(shí)發(fā)生，且一次試驗(yàn)中有一個(gè)必發(fā)生，所以是對(duì)立事件，所以這4組事件中互斥而不對(duì)立的事件共有0組，故選：A3．下列命題正確的是（    ）（1）已知平面，和直線，，若，，，，則；（2）已知平面和直線，，若，，則；（3）已知平面，和直線，，且m，n為異面直線，，.若直線l滿足，，，，則與相交，且交線平行于；（4）在三棱錐中，，，，垂足都為P，則P在底面上的射影是三角形ABC的垂心.A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）【答案】C【分析】根據(jù)空間直線、平面間位置關(guān)系判斷（1）（2），由線面垂直的判定定理的性質(zhì)定理判斷（3）（4）．【詳解】（1）中只有當(dāng)是相交直線時(shí)才有，否則與可能相交，（1）錯(cuò)；（2）中直線可能平行，也可能是異面直線，（2）錯(cuò)；（3）平面與不可能平行（否則有），因此與相交，設(shè)交線為，如圖，則由線面垂直的性質(zhì)得，，過(guò)直線上任一點(diǎn)作直線，則是相交直線，設(shè)直線確定平面，由得，，因此由線面垂直的判定定理得，，所以，（3）正確；（4）如圖，因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，又平面，所以，是在底面內(nèi)的射影，即平面，又平面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是的垂心，（4）正確．故選：C．4．已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為r的半圓，且該圓錐的體積為，則r=（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】用表示出圓錐的母線、底面半徑、高，再由圓錐體積公式列方程求解．【詳解】由題意圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，，，所以，．故選：B．5．已知向量，點(diǎn)，，記為在向量上的投影向量，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義求解．【詳解】由已知，，，在向量上的投影向量為，所以，故選：B．6．由下列條件解，其中有兩解的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】只有是已知兩邊及一邊的對(duì)角，且已知角為銳角才可能出現(xiàn)兩解，此時(shí)先求另一邊所對(duì)的角，再結(jié)合邊角關(guān)系來(lái)判斷解的個(gè)數(shù)【詳解】對(duì)于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解,所以只有唯一解，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦定理可知只有唯一解，由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減，所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，所以只有唯一解，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理可得,所以,由可知，因此滿足的有兩個(gè)，所以有兩解，所以C正確；對(duì)于D.由余弦定理可知只有唯一解，由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減,所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，所以只有唯一解,所以D錯(cuò)誤故選：C7．已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量旋轉(zhuǎn)的定義求得旋轉(zhuǎn)后向量坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】為坐標(biāo)原點(diǎn)，由已知，，又，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A．8．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類(lèi)比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論不正確的是（    ）A．這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B．若，，則C．若AB=2A?B?，則D．若A?是AB?的中點(diǎn)，則三角形ABC的面積是三角形A?B?C?面積的7倍【答案】C【分析】利用線段相等得出點(diǎn)重合判斷A，利用正弦定理求解判斷B，利用余弦定理解三角形判斷CD．【詳解】選項(xiàng)A，若三個(gè)全等的鈍角三角形是等腰三角形，則，從而三點(diǎn)重合，不合題意，A正確；選項(xiàng)B，若，，設(shè)，則，，，在中由正弦定理得，解得，B正確；選項(xiàng)C，若AB=2A?B?，記，，設(shè)，則，在中由余弦定理得，，（負(fù)值舍去），，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若A?是AB?的中點(diǎn)，設(shè)，則，，由余弦定理得，，而，所以，D正確．故選：C．9．一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為8，則此組數(shù)據(jù)的（    ）A．眾數(shù)為7 B．極差為6C．中位數(shù)為8 D．方差為【答案】ABD【分析】由平均數(shù)定義求得參數(shù)，然后再由眾數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義求解．【詳解】由題意，，因此眾數(shù)是7，極差是，5 個(gè)數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)是7，方差為，故選：ABD． 二、多選題10．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），其中真命題為（    ）A．若 B．若，則C．若，則 D．【答案】AB【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算判斷A，由復(fù)數(shù)的乘方的模的運(yùn)算法則計(jì)算后判斷BCD．【詳解】由已知,，A正確；時(shí)，，，B正確；時(shí)，，C錯(cuò)誤；，，顯然D錯(cuò)誤．故選：AB．11．已知點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若A、B、C三點(diǎn)共線，則   B．存在實(shí)數(shù)m，使得C．若三角形是直角三角形，則或D．設(shè)，當(dāng)時(shí)，三角形與三角形的面積相等【答案】AD【分析】由斜率的性質(zhì)判斷AC，由向量的夾角公式判斷B，由三角形面積公式判斷D．【詳解】由題意在直線上，如圖，選項(xiàng)A，則已知，解得，A正確；選項(xiàng)B，由已知，，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，此方程無(wú)解，因此不存在，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若三角形是直角三角形，由圖可知若，則，解得，若，則，解得，若，則，解得，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，與不共線，而到直線（即直線）的距離相等，因此角形與三角形的面積相等，D正確．故選：AD．12．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是（    ）A．平面平面B．平面C．異面直線與所成角的取值范圍是D．三棱錐的體積不變【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對(duì)于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對(duì)于D，先利用線線平行得到點(diǎn)到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對(duì)于A，連接，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，所以，因?yàn)樵谡叫?/span>中，又與為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，同理可得，因?yàn)?/span>與為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.  對(duì)于B，連接，，如圖，因?yàn)?/span>，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以與所成角即為與所成的角，因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，當(dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最小值；當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，即點(diǎn)到面平面的距離不變，不妨設(shè)為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化嚴(yán)密推理. 三、填空題13．某校共有師生2400人，其中教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80，那么___________.【答案】192【分析】根據(jù)女學(xué)生的抽樣比與總體的抽樣比相等列等式可求出的值.【詳解】由于女學(xué)生的抽樣比與總體的抽樣比相等，則，解得.故答案為：.14．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走d m到達(dá)B處，在B處測(cè)得山頂P的仰角為，則山高_________m.（結(jié)果用d、、、表示）【答案】【分析】用山高表示出，然后在中應(yīng)用正弦定理可得．【詳解】設(shè)山高，則，延長(zhǎng)交于，如圖，則，因此，，，，在中由正弦定理得，所以，故答案為：．15．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑.已知在鱉臑中，平面，，則該鱉臑的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為_______.【答案】/【分析】證明是鱉臑外接球直徑，然后設(shè)，由體積法求得其內(nèi)切球半徑，再計(jì)算比值．【詳解】由題意，，又平面，平面，則，同理，，，平面，所以平面，而平面，所以，所以是鱉臑外接球直徑，設(shè)，則，因此，，，，，設(shè)鱉臑內(nèi)切球半徑為，則，所以，因此鱉臑外接球半徑與內(nèi)切球半徑比為，故答案為：．16．已知三角形ABC中，點(diǎn)G、O分別是的重心和外心，且，，則邊的長(zhǎng)為________.【答案】6【分析】由數(shù)量積的定義得出外心滿足性質(zhì)：，，由中線向量性質(zhì)，再由數(shù)量積的運(yùn)算得出，利用平方后求得，即，然后由直角三角形性質(zhì)得長(zhǎng)．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于，連接，作于，則分別是的中點(diǎn)，，同理，，，，又，即，，所以，即，所以，故答案為：6．   四、解答題17．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，為提倡節(jié)約用水，我市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了2021年 100個(gè)家庭的月均用水量（單位：t），將數(shù)據(jù)按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.   (1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的頻率；(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，求全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計(jì)值；(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.【答案】(1)0.3(2)4.92（t）(3)6.56 【分析】（1）直接由頻率分布直方圖計(jì)算；（2）用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)的頻率再相加可得均值；（3）由頻率分布直方圖分別求出前3組和前4組的頻率，得出75%分位數(shù)在第4組，求出頻率0.75對(duì)應(yīng)的值即可得．【詳解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的頻率為.（2）全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計(jì)值為（t）；（3）因?yàn)?/span>，，所以全市家庭月均用水量的75％分位數(shù)為.18．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù).(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)且，代入化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)的分類(lèi)求解；（2）由（1）代入求得，再由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)與定義計(jì)算．【詳解】（1）設(shè)且.則為實(shí)數(shù)，所以，所以，所以 ；（2）由（1），，所以．19．（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由.（2）甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊考核測(cè)試，每人每次有兩次射擊機(jī)會(huì)，若兩次機(jī)會(huì)中至少有一次中靶，則考核通過(guò).已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙兩人射擊互不影響.求兩人中恰有一人通過(guò)考核的概率.【答案】（1）事件A與B獨(dú)立，理由見(jiàn)解析；（2）0.2212.【分析】（1）驗(yàn)證是否有即可得；（2）設(shè)C=“甲通過(guò)考核”，D=“乙通過(guò)考核”，由對(duì)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算．【詳解】（1），，，則，所以事件A與B獨(dú)立；（2）設(shè)C=“甲通過(guò)考核”，D=“乙通過(guò)考核”.，，.即恰有一人通過(guò)考核的概率為0.2212.20．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求A；(2)若a=2，求△ABC面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理、商數(shù)關(guān)系可求得；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最大值后可得面積最大值．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由余弦定理得，整理得，因?yàn)?/span>，所以，所以，則，所以.（2）由余弦定理得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形ABC的面積最大值為．21．如圖，在直三棱柱中，平面平面.(1)求證：；(2)若，平面與平面的夾角的大小是與平面所成角的大小的2倍，求側(cè)棱BB1的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）在平面中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，由面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直，從而得線線垂直，然后證明平面后可證得線線垂直；（2）以BC、BA、BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，用空間向量法求二面角和線面角后根據(jù)已知可求得．【詳解】（1）證明：在平面中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D.因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，所以平面.又平面A1BC，則.在直三棱柱中，平面ABC，BC平面ABC，則.又，平面，則平面，又平面ABC，所以.（2）分別以BC、BA、BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，則,，，.，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，得平面A1BC的法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，得平面A1B1C的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角的大小為，與平面所成角的大小為.，，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得，又，所以，即.22．在三角形ABC中，，E為AC中點(diǎn)，，線段AD與BE交于點(diǎn)M.(1)用向量和表示；(2)若.在直線BC上是否存在點(diǎn)H，使得線段AH長(zhǎng)度為定值，若存在，則求出線段AH的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由B、M、E三點(diǎn)共線設(shè)，由又A、M、D三點(diǎn)共線，設(shè)，都用表示后，由向量相等求得，從而得出結(jié)論；（2）假設(shè)存在點(diǎn)H，設(shè)，則，，由已知，，求得，再由定值得出值，從而可得線段AH的長(zhǎng)度．【詳解】（1）因?yàn)?/span>B、M、E三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又A、M、D三點(diǎn)共線，設(shè)，則，因?yàn)?/span>不共線，所以，解得.所以.（2），?，?由??可得，，假設(shè)存在點(diǎn)H，設(shè)，則.則當(dāng)時(shí)，.所以存在點(diǎn)H，使得AH長(zhǎng)度為定值． 

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