（時間120分鐘 滿分100分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知向量滿足，，則
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.
詳解：因為
所以選B.
點睛：向量加減乘：
2. 已知，，點在線段的延長線上，且，則的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題可得，可得，即求．
【詳解】點在線段的延長線上，且，
，即,
所以．
所以點P的坐標為.
故選：D.
3. 如圖，在中，點在的延長線上，，如果，那么（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用向量的線性運算把向量分解成形式即可得答案.
【詳解】∵，
∴，
故選：B．
4. （ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】通過切化弦，結(jié)合二倍角公式可得，根據(jù)誘導公式計算可得結(jié)果.
【詳解】由題意得，
，
∵，
∴.
故選：A.
5. 已知平面向量，若，則向量與向量的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對式子兩邊同時平方，得到，再利用兩個向量的數(shù)量積代入數(shù)值即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
又因為，，
即，解得，
解得.又因為，故向量與向量的夾角為.
故選：B
6. 下列各式中，值不為1的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對于選項A和選項C：利用兩角和的正切公式即可；對于選項D,選項B：利用兩角和的正弦余弦公式.
【詳解】對于，A正確；
對于B，，B不正確；
對于C，，C正確；
對于D，，D正確.
故選：B
7. 已知，且，則下面正確的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知，則可依據(jù)其范圍求，以及再利用兩角和差公式計算.
【詳解】對于A，因為，則，A錯誤；
對于B，因為，
所以，B錯誤；
對于C，
，故C錯誤.
對于D，，D正確.
故選：D.
8. 如圖，已知分別是邊上的點，且滿足，，與交于，連接并延長交于點．若，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由共線、共線分別可得、，進而得、求參數(shù)，得，最后由且共線求參數(shù).
【詳解】由共線，則，，
所以①，
由共線，則，，
所以②，
由①②知：，則，故，
由，則，
由共線，則，可得.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：令、，利用不同參數(shù)及表示出為關(guān)鍵.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若角為銳角，則為鈍角
B. 若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為
C. 若角的終邊過點，則
D. 若，且，則
【答案】BD
【解析】
【分析】對于A：舉反例即可判斷；對于B，利用扇形的弧長與面積公式即可求得；對于C：利用三角函數(shù)的定義即可求得結(jié)果；對于D：先對式子兩邊平方得到，再利用齊次化方程即可求得正切值，又判斷角在第二象限且即可求得結(jié)果.
【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；
對于B，設(shè)扇形的半徑為，則，解得，所以扇形的面積，故B正確；
對于C，若角的終邊過點，可得，故C錯誤；
對于D，因為，即，
整理得：，所以，
所以，解得或，
因為，所以角在第二象限，
且，所以，故D正確.
故選：BD
10. 如圖，在中，邊是的三等分點，為中點，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用向量的線性運算即可判斷AB；對于CD，利用向量的線性運算與數(shù)量積運算即可判斷.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，由題意得為的中點，所以，B不正確；
對于C，因為為中點，，則，
所以，則，C正確；
對于D，，D正確.
故選：ACD.
11. 函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有相同的對稱中心，則（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 在區(qū)間上存在函數(shù)圖象的2個對稱中心
D. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由與函數(shù)圖象有相同的對稱中心求得的解析式，再由平移求得，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項．
【詳解】因為函數(shù)gx=sinωx+φ+bω>0,φ12，
所以，
所以
當時，.
,
,
故答案為：或.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，，且A，E，C三點共線．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，，求的坐標；
（3）已知，在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)A，E，C三點共線，得，即可列等量關(guān)系求解，
（2）根據(jù)坐標運算即可求解，
（3）根據(jù)向量相等即可列方程求解.
【小問1詳解】
．
因為A，E，C三點共線，所以存在實數(shù)k，使得，
即，得．
因為，是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以，解得；
【小問2詳解】
．
【小問3詳解】
因為A，B，C，D四點按順時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以．
設(shè)，則．
因為，所以，解得，
即點A的坐標為．
16. 在如圖所示的直角坐標系中，已知扇形半徑為1，，弧上的點滿足，設(shè).

（1）用表示，并求的最大值；
（2）求最小值.
【答案】（1），最大值為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，設(shè)，則，根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示得到，再由輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
（2）利用坐標法表示出，再由三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【小問1詳解】
由題設(shè)，
，則，

所以，
由，得，
即，解得，
所以；
所以當時，取得最大值，且.
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以
；
因為，所以當，即當時，取得最小值是.
17. 為了打造美麗社區(qū)，某小區(qū)準備將一塊由一個半圓和長方形組成的空地進行美化，如圖，長方形的邊AB為半圓的直徑，O為半圓的圓心，，現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個等腰三角形區(qū)域PMN種植觀賞樹木，其余區(qū)域種植花卉（其中P，M，N分別在線段AD，DC，圓弧AB上且底邊）.設(shè)，.
（1）當時，求的面積；
（2）求三角形區(qū)域面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)的定義求出 、 的長，然后根據(jù)面積公式算出 的面積；
（2）根據(jù)題意，用關(guān)于 的三角函數(shù)式表示出三角形區(qū)域 的面積 ，然后根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出三角形區(qū)域 面積的最大值.
【小問1詳解】
設(shè) 與 相交于點 ，則 ，
可得 ， ，
因為 等于 到 的距離，
所以，
即 的面積為 .
【小問2詳解】
過點 作 于點 ，則 ，
且三角形區(qū)域 面積為
，
設(shè) ，由 ，得
所以 ，
結(jié)合 ，可得
當 時， 取得最大值，
即三角形區(qū)域 面積的最大值為 .
18. 把函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于軸對稱.
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的值域；
（3）若在區(qū)間上存在最大值，求實數(shù)的取值范圍
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用輔助角公式，和“左加右減”變化得到，再利用關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，即可列出等式求出結(jié)果.
（2）因為，所以，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到值域.
（3）利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，得到的增區(qū)間，再利用在區(qū)間上存在最大值且在此區(qū)間上先是增函數(shù)，且，再利用性質(zhì)可得答案.
【小問1詳解】
因為，
所以把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)
的圖象，
因為關(guān)于軸對稱，所以，
又因為，所以，
所以最小正周期；
【小問2詳解】
因為，所以，所以，
所以在區(qū)間上的值域為；
【小問3詳解】
由，
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以在上單調(diào)遞增；
若函數(shù)在上存在最大值，在上單調(diào)遞增，
且，即在時取得最大值，
所以，即實數(shù)的取值范圍為
19. 如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點.
（1）若，當k為何值時，與垂直？
（2）若G為的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值為1，求的值.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和數(shù)量積的關(guān)系即可求出結(jié)果；
（2）由向量的線性運算和共線的條件得到，即可得到，再用基本不等式計算；
（3）由向量的數(shù)量積的定義得到，再由模長的計算得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可.
【小問1詳解】
因為，
所以由余弦定理得，即，所以.
若與垂直，則，
所以，所以，
解得，即時，與垂直；
【小問2詳解】
因為為的重心，所以，
又因為，所以，
由于三點共線，所以存在實數(shù)使得，所以
化簡為，所以，所以.
顯然，則，
當且僅當時，即時，取最值
則的最小值為2.
【小問3詳解】
設(shè)與的夾角為，在中，，
所以，
又
，
所以當時，有最小值，所以，解得，
即取最小值1時，．
【點睛】知識點點睛：本題考查了余弦定理解三角形,向量垂直和數(shù)量積的關(guān)系,向量的線性運算和共線的條件，基本不等式計算最值，二次函數(shù)的性質(zhì).綜合性特別強，轉(zhuǎn)化能力要求高，屬于難題

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