全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
5.本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊，必修第二冊第六章6.1.1~
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的運算可求得結(jié)果.
【詳解】由題意知，又，
所以．
故選：D．
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)和充分必要條件的定義即可判斷.
【詳解】由于當時，有，但，故條件不是必要；
當時，有，故條件時充分的.
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
3. 在矩形中，為線段的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】選做基底，根據(jù)向量的加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則運算，即可求得答案.
【詳解】在矩形中，為的中點，
故選：D.
4. 已知與210°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則是（ ）
A. 第二或第四象限角B. 第一或第三象限角
C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】用終相同的角寫出角的表示，計算，讓整數(shù)取相鄰的整數(shù)代入確認．
【詳解】由與210°角的終邊關(guān)于x軸對稱，可得，
∴，
取可確定終邊在第一或第三象限角.
故選：B．
5. 若正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】由正數(shù)，滿足，
得，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為．
故選：B
6. 把函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀叮v坐標不變），再將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換法則可求得結(jié)果.
【詳解】將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀逗?，得到?br>再將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，得到．
故選：A．
7. 已知函數(shù)，若對任意的，都有，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義并結(jié)合二次函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】設(shè)， ，
若對任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，在上遞增，且，
所以，解得，即的取值范圍是.
故選：C.
8. 若，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角正弦公式對化簡；由正切差角公式對化簡；由二倍角公式對化簡；最后由余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因為，
由所以，
即；
又，
故；
因為，所以，
又，
又，所以.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A，舉反例即可求解BC，作差法即可判斷D.
【詳解】因為，所以，所以，故A正確；
當時，，故B錯誤；
當時，，故C錯誤；
，又，所以，即，故D正確.
故選:AD.
10. 已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D. 函數(shù)的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用冪函數(shù)的定義以及函數(shù)奇偶性的定義可求出的值，可判斷A選項；利用求出、的值，可判斷B選項；利用作差法可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為為冪函數(shù)，有，解得或．
當時，，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；
當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱．
由上知，，故A正確；
對于B選項，由，故B錯誤；
對于C選項，因為，
由，有，故C正確；
對于D選項，由（當且僅當或時取等號），
可得函數(shù)的最小值為，故D正確．
故選：ACD．
11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（ ）
A. 若的最小正周期為，則
B. 若的圖象關(guān)于點中心對稱，則
C. 若在上單調(diào)遞增，則取值范圍是
D. 若方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】將點的坐標代入解析式，求得的值，根據(jù)周期公式可判斷選項A，根據(jù)已知點可求得的值，可判斷B，根據(jù)的取值范圍得到的取值范圍，再依據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間可判斷選項C，根據(jù)零點個數(shù)以及整體代入法可求得選項D.
【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
所以，而，所以，即，
選項A，的最小正周期是，則，A正確；
選項B，的圖象關(guān)于點中心對稱，
則（因為），B錯誤；
選項C，時，，
則，，解得，C正確；
選項D，時，，
方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，
即方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，
則，解得，D錯誤．
故選：AC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，則點的坐標為_____.
【答案】
【解析】
【分析】令即可求得.
【詳解】令，解得，此時，
所以函數(shù)（，且）的圖象恒過定點.
故答案為：
13. 中國折扇有著深厚的文化底蘊，這類折扇上的扇環(huán)部分的作品構(gòu)思奇巧，顯出清新雅致的特點.已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中的弧長為的弧長為，則該扇環(huán)的面積為__________.
【答案】384
【解析】
【分析】由扇形的弧長和面積公式求解即可.
【詳解】設(shè)該扇形內(nèi)弧半徑為，由弧長公式和已知可得：，解得，
則外弧半徑為，所以該扇環(huán)的面積為.
故答案為：384.
14. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用差角的余弦公式以及輔助角公式化簡計算即可.
【詳解】由題意知
.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. （1）計算；
（2）計算．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；
（2）根據(jù)對數(shù)的的運算性質(zhì)及換底公式計算可得.
【詳解】（1）
；
（2）
．
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求分段函數(shù)的解析式即可.
（2）由函數(shù)的圖象可得且，進而可得.
【小問1詳解】
因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，
當時，；
當時，，所以，
綜上，；
小問2詳解】
函數(shù)的圖象如圖所示：
所以且，解得或，
故的取值范圍是．
17. （1）若，，求的值；
（2）已知，，， ，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和與差余弦公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，，
所以，，
所以；
（2）因為，，所以，
又，，且，
所以，因為，
所以，
又，而在上單調(diào)遞減，則，
所以，
由
，
又，所以.
18. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．
（1）求的值；
（2）判斷的單調(diào)性，并證明；
（3）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的特性可求得結(jié)果，注意最后驗證是否滿足題意；
（2）根據(jù)定義法可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，可得到不等式恒成立問題，再根據(jù)分離參數(shù)法可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為函數(shù)是一個奇函數(shù)，
所以，即，
可得，即，
所以，解得或．
當時，，此時，不符合題意；
當時，，此時，滿足題意，
綜上，；
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，
又是奇函數(shù)且定義域為，所以在上單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
若對任意實數(shù)，不等式恒成立，
即，
又是奇函數(shù)，所以，
又在上單調(diào)遞增．所以對任意實數(shù)恒成立，
又，
所以當時，取得最大值，所以，
解得，即的取值范圍是.
19. 已知函數(shù)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且．
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的最大值；
（3）記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得到周期，即可求得的值，再根據(jù)函數(shù)值可求得的值，最后根據(jù)輔助角公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)三角形變換得到變換后的解析式，再根據(jù)最值得到的值，即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)的取值范圍，分情況得到的取值范圍，整體法求得最值，得到的表達式，即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知，函數(shù)最小正周期為，所以，
所以，所以，
故，
解得，
所以；
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
可得的圖象，
再向上平移1個單位長度，得到的圖象，
所以，
又，所以當時，，
又，所以，
要使最大，則最大，最?。?br>所以當最大，最小時，
即取得最大值，
最大值為；
【小問3詳解】
因為，所以，
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
此時；
又，所以，所以，
所以的取值范圍為；
當時，在上單調(diào)遞減，
所以，，
此時；
又，所以，所以，
所以的取值范圍為，
綜上，函數(shù)的值域為．
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖形變化以及最值，關(guān)鍵點有；
（1）根據(jù)對稱中心以及對稱軸得到周期，根據(jù)周期公式得到參數(shù)；
（2）輔助角公式是將含有多個三角函數(shù)名稱的解析式轉(zhuǎn)化為只含有一個三角函數(shù)名稱的解析式；
（3）對于三角函數(shù)的題，最常用的方法就是整體代入討論法.

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