2022-2023學(xué)年山東省濱州市博興縣第二中學(xué)高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再求得其共軛復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C2．在平行四邊形中，為一條對(duì)角線.若，，則（    ）A．     B．     C．     D．【答案】C【分析】在平行四邊形中，由，，利用減法得到，然后利用減法求.【詳解】在平行四邊形中， ，，所以，所以.故選：C3．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形．已知點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，且，則△ABC的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法，即直觀圖中平行于軸的長(zhǎng)度不變，平行于軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，根?jù)題中所給的數(shù)據(jù)以及圖形，可知角形為直角三角形，，，，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>為等腰直角三角形且，所以，，由斜二測(cè)畫法可知，，且三角形為直角三角形，， 所以三角形ABC的面積為．故選：B.4．如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的三等分點(diǎn)處，，當(dāng)?shù)酌?/span>ABC水平放置時(shí)，液面高為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似比得到四邊形和三角形的面積比，再根據(jù)等體積的思路列等式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí)，液面高度為，此時(shí)液體體積，因?yàn)?/span>,所以，,所以，解得.故選：A.5．加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（    ）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【分析】用向量表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出，再化為千克即可得．【詳解】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．6．已知中，，，，則（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用正弦定理與大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角即可求解.【詳解】根據(jù)正弦定理，得，故，因?yàn)?/span>，所以或，又因?yàn)?/span>，所以，故.故選：A.7．在中，，，且有，則線段的長(zhǎng)為（    ）A．     B．     C．     D．【答案】C【分析】在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，，由余弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，，，所以，故選：C8．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形狀多為長(zhǎng)方體?正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德研究過此類多面體的性質(zhì)，故半正多面體又被稱為“阿基米德多面體”.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖，是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則下列關(guān)于該多面體的說法中錯(cuò)誤的是（    ）A．多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點(diǎn)的球）【答案】B【分析】求得一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，可判斷A；將半正多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體，故其頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，求得半正多面體的棱長(zhǎng)，計(jì)算表面積和體積，可判斷B，C；再由正方體的中心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，可判斷D．【詳解】解：一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面；可將半正多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體，故其頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)．半正多面體的棱長(zhǎng)為，表面積為，體積可看作正方體的體積減去八個(gè)三棱錐的體積，則，又因?yàn)檎襟w的中心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，所以有外接球．故選：B． 二、多選題9．下面關(guān)于空間幾何體的表述,正確的是（    ）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B．直角三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓錐C．正四棱柱一定是長(zhǎng)方體D．用一個(gè)平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)【答案】AC【分析】用簡(jiǎn)單幾何體的定義及特征去逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于A:棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行,故A正確.對(duì)于B:只有以直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才能得到圓錐,以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)圓錐的組合體.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是長(zhǎng)方體,故C正確.對(duì)于D:只有截面與底面平行時(shí),截面與底面之間的部分才是棱臺(tái),故D錯(cuò)誤.故選:AC.10．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（    ）A． B．C．若，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則是純虛數(shù)【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)判斷ABD；虛數(shù)無法比較大小判斷C.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D正確；故選：AD11．在中，已知，則角（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接利用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】由，得，因?yàn)?/span>，所以，又，所以或.故選：BD.12．已知非零平面向量滿足，，其中.若，則的值可能為（    ）A．  B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意求得且，以及，設(shè)，求得，則，列出不等式組，求得的取值范圍，利用，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和選項(xiàng)，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，可得，可得且，由，其中，所以，設(shè)，可得，即，代入上式，可得，即，解得，則，又由且，解得或，因?yàn)?/span>，設(shè)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合選項(xiàng)，可得的值可能為和.故選：BC. 三、填空題13．已知向量，的夾角為120°，且，，則________．【答案】1【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的概念，列出式子即可求出結(jié)果.【詳解】由得．故答案為：1.14．已知一圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為的扇形，則該圓錐的表面積為______【答案】【分析】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，根據(jù)扇形的面積和弧長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則，解得，所以該圓錐的表面積，故答案為：.15．世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則與之間的最小距離為_______.【答案】1【分析】為以O為圓心，半徑為2的圓周上的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離關(guān)系即可得最小距離【詳解】由題意，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，即為以O為圓心，半徑為2的圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，如圖所示，則當(dāng)時(shí)有最小距離為.故答案為：116．如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為4，過點(diǎn)C的平面與側(cè)棱AB，AD相交于，則的周長(zhǎng)的最小值為______．【答案】4【分析】將正三棱錐沿AC剪開，利用側(cè)面展開圖求解即可.【詳解】將正三棱錐沿AC剪開可得如下圖形，∵，即，又的周長(zhǎng)為，∴要使的周長(zhǎng)的最小，則共線，即，又正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為4，是等邊三角形，則，∴的周長(zhǎng)的最小值為4．故答案為：4. 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z滿足(1)求z；(2)求|z|.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法法則進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，則，所以；（2）.18．已知平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60°，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，且BD⊥AF，求λ的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；（2）先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，，，，則，，所以；（2），，因?yàn)?/span>，所以，解得．19．已知的周長(zhǎng)為，且.(1)求邊的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求角的度數(shù).【答案】(1)2(2) 【分析】⑴利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，再結(jié)合三角形周長(zhǎng)列方程，解方程即可得到的長(zhǎng)；⑵利用三角形的面積公式列等式，再結(jié)合⑴中的結(jié)論和余弦定理求角.【詳解】（1）因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為，所以①，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理可得②， 由①②聯(lián)立，解得．（2）由的面積得，由⑴得，由余弦定理，得，∵，∴．20．如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱.(1)當(dāng)時(shí)，求圓柱的體積；(2)當(dāng)為何值時(shí)，此圓柱的側(cè)面積最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積取最大值 【分析】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)相似比求出與的關(guān)系，求出代入圓柱的體積公式即可；（2）由（1）知，代入圓柱的側(cè)面積公式得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）設(shè)圓柱的半徑為，則，，當(dāng)時(shí)，，所以圓柱的體積．（2）由（1）知，則圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積取最大值．21．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N．（1）若A，M，N三點(diǎn)共線，求證：m＝n；（2）若m+n=1，求的最小值．【答案】（1）證明見解析 ；（2） ．【分析】（1）由向量共線定理及平面向量基本定理即得；（2）由題可得，再利用模長(zhǎng)公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由A，M，N三點(diǎn)共線，得∥，設(shè)＝λ (λ∈R)，即，∴，所以m＝n．（2）因?yàn)?/span>＝m，＝n，EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N ,∴,又m＋n＝1，所以，∴，故當(dāng)m＝時(shí)，．22．如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．【答案】(1)(2)∠ACB= 【分析】（1）依據(jù)題意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面積；（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．【詳解】（1）在△ABC中，，因?yàn)?/span>，所以．．（2）設(shè)，則，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．聯(lián)立上式，并由得，整理得，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得，即∠ACB的值為． 

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