一、單選題（本大題共8小題）
1．已知全集為R，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．定義集合A★B=，設(shè)，則集合A★B的非空真子集的個數(shù)為（ ）
A．12B．14C．15D．16
4．一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A．B．
C．D．
5．若，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
6．若“”是“”的必要條件，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
7．對于集合，定義，，設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
8．若對于任意，恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列全稱命題與特稱命題中，是真命題的為（ ）
A．設(shè)A，B為兩個集合，若，則對任意，都有
B．設(shè)A，B為兩個集合，若A不包含于B，則存在，使得
C．是無理數(shù)，是有理數(shù)
D．是無理數(shù)，是無理數(shù)
10．下列命題正確的是（ ）
A．已知，則“”是“”的充分不必要條件
B．若，則的最大值是
C．或為有理數(shù)是為有理數(shù)的既不充分又不必要條件
D．若，，，則的最小值是
11．若，且，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有92%的學(xué)生喜歡足球或游泳，54%的學(xué)生喜歡足球，74%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 .
13．已知，，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
14．已知，則的最小值為 ，取最小值時的值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．設(shè)集合，，
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
16．已知集合為實數(shù)集，或，.
(1)若，求；
(2)設(shè)命題：；命題：，若命題是命題的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
17．已知命題，命題.
(1)當(dāng)命題為假命題時，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)命題為真命題時，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若命題和中有且僅有一個是假命題，求實數(shù)的取值范圍.
18．已知.
(1)求的最小值，并求此時的值；
(2)求的最大值，求此時的值.
19．某公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：.已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的1.5倍與“平均每件促銷費的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完.
(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數(shù)；
(2)該公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大?并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）
參考答案
1．【答案】D
【分析】由已知集合的描述，結(jié)合交、并、補運算即可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于A項，顯然集合A并不是集合B的子集，所以A錯誤；
對于B項，易知集合B并不是集合A的子集，所以B錯誤；
對于C項，，所以C錯誤；
對于D項，由，則，，所以D正確.
故選D．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出正確結(jié)果.
【詳解】命題“，”的否定為：“，”.
故選D.
3．【答案】B
【分析】結(jié)合非空真子集個數(shù)()的算法即可.
【詳解】，所以集合的非空真子集的個數(shù)為.
故選B.
4．【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出a、b、c的關(guān)系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【詳解】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達定理得，代入得
，
故選D.
5．【答案】D
【分析】應(yīng)用特殊值法判斷A,B,C；作差法計算判斷D.
【詳解】對于A：若，則結(jié)論錯誤，故A錯誤；
對于B：當(dāng)時，，故B錯誤；
對于C：當(dāng)時，，故C錯誤；
對于D：，
因為，所以，，
所以，即，故D正確.
故選D.
6．【答案】B
【分析】解一元二次不等式，由必要條件的定義即可判斷的范圍.
【詳解】或，
“或”是的必要條件，所以，即實數(shù)的最大值為.
故選B.
7．【答案】C
【分析】根據(jù)題中集合新定義的特性結(jié)合集合的基本運算可求解出結(jié)果.
【詳解】集合，，
則，，
由定義可得且，
且，
所以，故ABD錯誤，C正確.
故選C．
8．【答案】B
【分析】原問題等價于，利用均值不等式求出的最大值即可得答案.
【詳解】因為對于任意，恒成立，
所以，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
所以，即a的取值范圍為.
故選B.
9．【答案】ABD
【分析】對于AB，由集合直接的包含，不包含關(guān)系的定義判斷；
對于C，找出一個不符合即錯誤；
對于D，找出一個符合即正確；
綜上得出答案.
【詳解】對于A：根據(jù)的定義可知，任意，都有，故A正確；
對于B：若A不包含于B，則存在，使得，故B正確；
對于C：是無理數(shù)，而還是無理數(shù)，故C錯誤；
對于D：是無理數(shù)，而還是無理數(shù)，故D正確.
故選ABD.
10．【答案】BC
【分析】對于A，求解分式不等式，根據(jù)集合的包含關(guān)系，直接判斷即可；對于B，配湊法結(jié)合基本不等式直接求解即可；對于C，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)運算性質(zhì)依次舉例分析充分性和必要性即可；對于D，利用基本不等式和“1”的妙用，直接求解即可.
【詳解】對于A：，則，解得；
設(shè)集合，，則為的真子集.
所以“”是“”的必要不充分條件，故A錯誤；
對于B：，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，故B正確；
對于C：，中有一個數(shù)為有理數(shù)時，不一定為有理數(shù)（如：），
所以或為有理數(shù)不一定能推導(dǎo)出為有理數(shù)；
為有理數(shù)時，，可能均為無理數(shù)（如：），
所以此時為有理數(shù)不一定能推導(dǎo)出或為有理數(shù)，
所以或為有理數(shù)是為有理數(shù)的既不充分也不必要條件，故C正確；
對于：因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是，故錯誤.
故選BC.
11．【答案】ABC
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A選項，根據(jù)基本不等式判斷BCD選項.
【詳解】對于A：因為，且，所以，
所以，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，取最小值，
故有成立，故A正確；
對于B：因為，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，故B正確；
對于C：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，故C正確；
對于D：，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤.
故選ABC.
12．【答案】36%
【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運算即可．
【詳解】由題可得如下所示韋恩圖：

既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是.
13．【答案】或
【分析】根據(jù)列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】因為，所以集合不是空集，
又，所以或，
解得或.
14．【答案】
【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，代入得到，再利用基本不等式即可得到最小值.
【詳解】因為，所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可知，代入集合分類討論的取值即可得；
（2）根據(jù)并集結(jié)果可得，再對集合是否為空集進行分類討論即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由集合可得，
由可得，
故，解得或，
當(dāng)時，，此時不滿足題意，舍去，
當(dāng)時，，滿足題意，
故；
（2）由得，
當(dāng)時，即時，滿足題意；
當(dāng)時，即時，滿足題意；
當(dāng)時，即時，，解得，
綜上可得，或；
即實數(shù)的取值范圍為.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，再利用補集與交集定義計算即可得；
（2）由題意可得集合是集合的真子集，再分及討論并計算即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時，，且，
故；
（2）因為命題是命題的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，
當(dāng)，即，即時，此時滿足題意；
當(dāng)，即，即時，
只需或，即或，
又，所以；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
17．【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用存在量詞命題的否定，結(jié)合二次不等式恒成立問題即可得解；
（2）利用存在量詞命題的真假性，結(jié)合二次方程的判別式即可得解；
（3）利用（1）（2）中的結(jié)論，分類討論命題和的真假性得到關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得解.
【詳解】（1）因為命題，
當(dāng)命題為假命題時，，為真命題，
當(dāng)時，恒成立，滿足題意；
當(dāng)時，可得，解得，
綜上，.
（2）若命題為真命題，
則，解得或.
（3）若命題和中有且僅有一個是假命題，由（1）（2）知，
若命題為假命題，則，若命題為真命題，則或；
若命題q為真命題，則或，若命題為假命題，則；
當(dāng)命題為假命題，為真命題時，，解得；
當(dāng)命題為假命題，為真命題時，，解得.
所以若命題和中有且僅有一個是假命題，則或.
18．【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）由，求得，化簡得到，即可求解.
【詳解】（1）因為，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為.
（2）因為，且，
又因為，所以，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因為，
故的最大值為.
19．【答案】(1)
(2)7萬元，最大利潤為42萬元
【分析】（1）根據(jù)題意表示出年生產(chǎn)成本，年銷售收入，從而可表示出年利潤；
（2）由（1）知，變形后利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知，當(dāng)年生產(chǎn)（萬件）時，年生產(chǎn)成本為：，
當(dāng)銷售（萬件）時，年銷售收入為：，
由題意，，
即.
（2）由（1）知，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，又即時，等號成立.
此時，.
所以該公司下一年促銷費投入7萬元時年利潤最大，最大利潤為42萬元.

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