一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習(xí)）下列物理量中哪個(gè)是向量（ ）
A．質(zhì)量B．功C．溫度D．力
【解題思路】根據(jù)向量的定義判斷即可．
【解答過程】質(zhì)量、功、溫度只有大小沒有方向不是向量，故ABC錯(cuò)誤，
力既有大小又有方向，是向量，故D正確，
故選：D．
2．（3分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．2022cm長(zhǎng)的有向線段不可能表示單位向量
B．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度已選定，則l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得OA，OB是單位向量
C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東30°的向量不可能是共線向量
D．一人從A點(diǎn)向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量AB不能表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移
【解題思路】根據(jù)單位向量、共線向量等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】一個(gè)單位長(zhǎng)度取2020cm時(shí)，2020cm長(zhǎng)的有向線段剛好表示單位向量，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)單位向量的知識(shí)可知，B選項(xiàng)正確；
方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東30°的向量是一對(duì)方向相反的向量，
因此是平行向量，所以兩向量為共線向量，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)位移的定義可知，向量AB表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
3．（3分）（2022春·河北衡水·高二開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．AB=CDB．AB=CDC．AB>CDD．BC|b|，則a>b.其中正確的序號(hào)為
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
【解題思路】根據(jù)向量的概念逐一判斷即可.
【解答過程】解：零向量與它的相反向量相等，故（1）錯(cuò)誤；
當(dāng)向量a為零向量時(shí)，其方向是任意的，不能說a與b的方向相同或相反，故（2）錯(cuò)誤；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正確；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比較大小，故（4）錯(cuò)誤.
故選：D.
7．（3分）（2022秋·山東聊城·高一期中）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；
②已知向量AB∥CD，則A,B,C,D四點(diǎn)必在一直線上；
③若a∥b,b∥c，則a∥c；
④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】由平面向量的概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，
【解答過程】對(duì)于A，單位向量的方向不確定，故起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，向量AB∥CD，則A,B,C,D四點(diǎn)共線或AB//CD，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若a∥b,b∥c，當(dāng)b=0時(shí)，a,c不一定平行，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若A,B,C三點(diǎn)共線，則AC//BC，此時(shí)起點(diǎn)不同，終點(diǎn)相同，故D錯(cuò)誤，
故選：A.
8．（3分）（2022秋·寧夏·高一階段練習(xí)）有下列命題：
①若a→=b→，則a→=b→；
②若AB→=DC→，則四邊形ABCD是平行四邊形；
③若m→=n→，n→=k→，則m→=k→；
④若a→//b→，b→//c→，則a→//c→.
其中，假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】根據(jù)平面向量的概念及向量平行的相關(guān)知識(shí)逐個(gè)判斷即可.
【解答過程】a→=b→，則a→，b→的方向不確定,則a→，b→不一定相等, ①錯(cuò)誤;
若AB→=DC→,則AB→,DC→的方向不一定相同,所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形,②錯(cuò)誤;
若m→=n→,n→=k→,則m→=k→,③正確；
若a→//b→，b→//c→，則b→=0→時(shí),a→//c→不一定成立,所以④錯(cuò)誤.
綜上,假命題的是①②④,共3個(gè).
故選:C.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022秋·廣東東莞·高一階段練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是
A．向量AB與CD是共線向量,則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上
B．零向量與零向量共線
C．若a=b,b=c，則a=c
D．溫度含零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量
【解題思路】利用零向量，平行向量和共線向量的定義，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.
【解答過程】向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上，故A錯(cuò)誤；
零向量與任一向量共線，故B正確；
若a=b,b=c，則a=c，故C正確；
溫度是數(shù)量，只有正負(fù)，沒有方向，故D錯(cuò)誤.
故選：AD.
10．（4分）（2022秋·江西九江·高一期末）如圖，在四邊形ABCD中，若AB=DC，則圖中相等的向量是（ ）
A．AD與BCB．OB與OD
C．AC與BDD．AO與OC
【解題思路】由條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后逐一判斷即可.
【解答過程】因?yàn)锳B=DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AD=BC，AO=OC，OB=-OD，AC≠BD，
故選：AD.
11．（4分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若a=b，則a=b
B．若a=b,b=c，則a=c
C．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“AB=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件
D．“a=b”的充要條件是“a=b且a∥b”
【解題思路】根據(jù)平面向量的性質(zhì)、平行的性質(zhì)與充分必要條件的定義逐個(gè)辨析即可.
【解答過程】對(duì)于A，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等.但它們的方向不一定相同；
對(duì)于B，由平面向量相等可得B正確；
對(duì)于C，若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則當(dāng)AB=DC時(shí)，AB=DC且AB//DC，故四邊形ABCD為平行四邊形；
當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，AB=DC且AB//DC，故且AB,DC同向，故AB=DC，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使a=b，也不能得到a=b，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
12．（4分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（ ）
A．向量CH,DG的模相等B．|AE|=10
C．向量DG,HF共線D．|DG|+|HF|=10
【解題思路】對(duì)于ABD，通過計(jì)算向量的模進(jìn)行判斷即可，對(duì)于C，通過判斷直線DG,HF的位置關(guān)系來判斷兩向量是否共線
【解答過程】對(duì)于A，因?yàn)镃H=32+12=10,DG=22+22=22，所以CH≠DG，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)锳E=32+12=10，所以B正確，
對(duì)于C，因?yàn)椤螩DG=∠CFH=45°，所以DG∥HF，所以向量DG,HF共線，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)镈G+HF=22+22+32+32=52≠10，所以D錯(cuò)誤，
故選：BC.
三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
13．（4分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列各量中，是向量的是 ③ .（填序號(hào)）
①密度；②體積；③重力；④質(zhì)量.
【解題思路】由向量的概念判斷即可.
【解答過程】向量指具有大小和方向的量.①②④僅有大小，沒有方向；③既有大小又有方向.
故答案為：③.
14．（4分）（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，則經(jīng)過1h，該船的實(shí)際航程是 335 km.
【解題思路】根據(jù)實(shí)際航線是垂直于河岸，作出圖形，求得實(shí)際速度后可得結(jié)論．
【解答過程】如圖，AB是水流方向，AC是垂直于河岸的方向，是船的實(shí)際航線，因此AD是船在靜水中的航行方向，vAD=20m/min， vAB=10m/min，則∠DAC=30°，
vAC=20×cs30°=103(m/min)，
故該船1h行駛的航程為103×60=6003(m)=335(km).
故答案為：335．
15．（4分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的有 ①②③ ．（填序號(hào)）
①AO=OC；②AO//AC；③AB與CD共線；④AO=BO．
【解題思路】利用正方形的幾何性質(zhì)結(jié)合相等向量、共線向量的定義判斷可得出結(jié)論.
【解答過程】對(duì)于①，AO與OC方向相同，長(zhǎng)度相等，則AO=OC，則①正確；
對(duì)于②，因?yàn)锳、O、C三點(diǎn)共線，則AO//AC，則②正確；
對(duì)于③，∵AB//CD，則AB與CD共線，則③正確；
對(duì)于④，AO、BO方向不相同，故AO≠BO，則④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
16．（4分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列五個(gè)命題：
①向量P1P2與OA共線，則P1,P2,O,A必在同一條直線上；
②如果向量a與b平行，則a與b方向相同或相反；
③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是P1P2=OA；
④若a=b，則a、b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.
其中正確的命題有 0 個(gè).
【解題思路】利用向量共線可判斷①②③；利用相等向量可判斷④；利用零向量與任何向量共線可判斷⑤.
【解答過程】對(duì)于①，向量P1P2與OA共線，則直線P1P2與直線OA可能平行，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，若a為零向量，零向量與任意向量平行，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，P1P2=OA，則四點(diǎn)P1,P2,O,A可能共線，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，a=b，只能說明a、b的長(zhǎng)度相等但確定不了方向，故④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，零向量與任何向量平行，故⑤錯(cuò).
所以正確的命題有0個(gè)，
故答案為：0.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說明理由：
（1）若向量a 與b 同向，且a>b，則a>b；
（2）若向a=b，則a 與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
（3）對(duì)于任意向量a=b，若a 與b的方向相同，則a =b；
（4）由于0 方向不確定，故0 不與任意向量平行；
（5）向量a 與b平行，則向量a 與b方向相同或相反．
【解題思路】（1）根據(jù)平面向量的定義判斷.（2）a=b只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，方向不確定.（3）根據(jù)平面向量的定義判斷.（4）規(guī)定：0與任意向量平行（5）考慮零向量的情況.
【解答過程】（1）不正確．因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大?。?br>（2）不正確．由|a=b只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系．
（3）正確．因?yàn)閨a=b，且a 與b同向，由兩向量相等的條件，可得a =b
（4）不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行．
（5）不正確．因?yàn)橄蛄縜 與b若有一個(gè)是零向量，則其方向不定．
18．（6分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：
（1）與AB→相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與AB→方向相同且模為32的向量共有幾個(gè)；
【解題思路】根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.
【解答過程】解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，
每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為2且都與AB→平行，
則AB→=22+22=22，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，
則與AB→相等的向量共有5個(gè)，如圖1；
（2）與AB→方向相同且模為32的向量共有2個(gè)，如圖2.
19．（8分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖,在ΔABC中,已知向量AD=DB,DF=EC,求證:AE=DF.
【解題思路】先證明四邊形CEDF是平行四邊形,再證明AE=DF即可.
【解答過程】證明 ∵AD=DB,∴D為AB的中點(diǎn).
∵DF=EC,
∴|DF|=|EC|,DF//EC,
∴四邊形CEDF是平行四邊形,
∴DF=EC,DE=FC,
∴E為AC的中點(diǎn),
∴AE=EC,
∴AE=DF.
20．（8分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了102 米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．
（1）作出向量AB，BC，CD；
（2）求AD 的模．
【解題思路】（1）利用方位根據(jù)向量的定義作出向量.
（2）根據(jù)（1）作出的平面圖形，利用平面幾何知識(shí)求解.
【解答過程】（1）作出向量AB，BC，CD；如圖所示：
（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝52+102＝55(米)，
所以AD=55米.
21．（8分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC和△A'B'C'是在各邊的三等分點(diǎn)處相交的兩個(gè)全等的正三角形，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，寫出圖中給出的長(zhǎng)度為a3的所有向量中，
（1）與向量GH相等的向量；
（2）與向量GH共線的向量；
（3）與向量EA平行的向量.
【解題思路】（1）利用相等向量定義可得解；
（2）利用共線向量定義可得解；
（3）利用平行向量定義可得解.
【解答過程】（1）與向量GH相等的向量，即與向量GH大小相等，方向相同的向量，有HC，LB'；
（2）與向量GH共線的向量，即與向量GH方向相同或相反的向量，有HC，LB'，GB，LE，EC'；
（3）與向量EA平行的向量，即與向量EA方向相同或相反的向量，有EF，F(xiàn)B，HA'，HK，KB'.
22．（8分）（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
（1）OA，使|OA|＝42，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
（2）AB，使|AB|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
（3）BC，使|BC|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
【解題思路】（1）由點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處和|OA|＝42，可得出點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，可作出向量OA；
（2）由點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|＝4，得出在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，可作出向量|AB|；
（3）由點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|＝6，再由勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，作出向量|BC|．
【解答過程】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|OA|＝42，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量OA如下圖所示．
（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量|AB|如下圖所示．
（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量|BC|如下圖所示．

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